2022年选择性必修第一册模块综合试卷 .pdf

模块综合试卷(时间： 120 分钟满分： 150 分) 一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分) 1直线 l 过点 (3,0)，且与直线y2x3 垂直，则直线l 的方程为 () Ay12(x3) B y12(x3) Cy12(x3) D y12(x3) 答案B 解析因为直线y2x3 的斜率为2，所以直线 l 的斜率为12.又直线 l 过点(3,0)，故所求直线的方程为y12(x 3)2双曲线x2m212y24 m21 的焦距是 () A2 2 B8 C4 D42 答案B 解析依题意知， a2m212，b24m2，所以 ca2b216 4.所以焦距 2c8. 3过点 P( 2,4)作圆 C：(x2)2(y1)225 的切线 l，直线 m：ax3y 0与切线 l 平行，则切线 l 与直线 m 间的距离为 () A4 B 2 C.85D.125答案A 解析根据题意，知点P 在圆 C 上， 切线 l 的斜率 k1kCP1142243，切线 l 的方程为 y443(x2)，即 4x3y20 0. 又直线 m 与切线 l 平行， 直线 m 的方程为 4x3y0. 故切线 l 与直线 m 间的距离 d|020|42 324. 4若 a(1， ， 2)，b(2， 1，1)，a 与 b 的夹角为 120 ，则 的值为 () A17 或 1 B 17 C 1 或 17 D1 答案A 解析由已知 a b 2 2 4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - | |a12452，| |b4116，cos 120 a b| |a| |b 452612，解得 17 或 1. 5若点 P 为圆 x2y21 上的一个动点，点A(1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|PB|的最大值是 () A2 B 2 2 C4 D42 答案B 解析 点 P 为圆 x2y21 上的一个动点，且点 A(1,0)，B(1,0) 为两个定点，|PA|2|PB|24，(|PA|PB|)22(|PA|2|PB|2)8，|PA|PB|2 2，当且仅当 |PA|PB|2时“”成立，故|PA|PB|的最大值是22. 6已知 F 是抛物线 y24x 的焦点， 过点 F 且斜率为3的直线交抛物线于A，B 两点， 则|FA|FB|的值为 () A.83B.163C.833D.8 23答案A 解析直线 AB 的方程为 y3(x1)，由y2 4x，y3 x1 ，得 3x210 x30，故 x1 3，x213，所以 |FA|FB| |x1x2|83，故选 A. 7直三棱柱ABCA1B1C1中， BCA90 ，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点， BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为() A.110B.25C.3010D.22答案C 解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设 BC2，则 B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 所以 BM(1， 1,2)，AN(1,0,2)，故 BM 与 AN 所成角 的余弦值 cos |BM AN|BM| |AN|3653010. 8已知点P 是双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)右支上一点， F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是() A.2 B.3 C2 D.5 答案D 解析如图所示，由双曲线的渐近线方程为y bax，得直线 PF1：yab(xc)，原点 O 到直线 PF1的距离 daca2b2a，因此 |OM|a，又|OF1|c，得 |F1M|b，则根据几何图形的性质可得|F1P|2b，|F2P|2a，根据双曲线的定义得|F1P|F2P|2a2b2a，因此可得b 2a，即 b24a2c2a2，所以 e2c2a25，即 e5，故选 D. 二、多项选择题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分全部选对的得5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分) 9关于空间直角坐标系Oxyz 中的一点 P(1,2,3)，下列说法正确的是() AOP 的中点坐标为12，1，32B点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为( 1， 2， 3) C点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2， 3) D点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标为(1,2， 3) 答案AD 解析A 显然正确；点P 关于 x 轴对称的点的坐标为(1，2，3)，故 B 错；点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1， 2， 3)，故 C 错； D 显然正确10在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列命题中真命题的是() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - A(AA1ADAB)23AB2B.A1C (A1B1 A1A )0 C.AD1 与A1B 的夹角为 60D正方体的体积为|AB AA1 AD| 答案AB 解析(AA1 AD AB)2(AA1 A1D1 D1C1 )2AC1 23AB2，故 A 为真命题；A1C (A1B1 A1A )A1C AB1 0，故 B 为真命题；AD1 与 A1B 的夹角是 D1C 与D1A 夹角的补角，而D1C 与D1A 的夹角为 60 ，故 AD1 与 A1B 的夹角为120 ，故 C 是假命题；正方体的体积为|AB|AA1 |AD|，故 D 为假命题11已知 ab0，O 为坐标原点，点P(a，b)是圆 x2y2r2外一点，过点P 作直线 lOP，直线 m 的方程是 axbyr2，则下列结论正确的是() AmlBm lCm 与圆相离Dm 与圆相交答案AD 解析直线 OP 的斜率为ba，直线 l 的斜率为ab，直线 l 的方程为 axbya2b2，又 P(a，b)在圆外， a2b2r2，故 ml，圆心 (0,0)到直线 ax byr2的距离 d| |r2a2b20)的焦点 F，与抛物线C 交于点 A，B两点 (点 A 在第一象限 )，与抛物线的准线交于点D，若|AB 8，则以下结论正确的是() A.1|AF1|BF1 B.|AF 6 C.|BD2|BFDF 为 AD 中点答案BCD 解析根据题意作出其图象，过A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1如图直线 l 的倾斜角为3，即 xFA60 ，则 FDA1 30 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 设|BD|x，则 Rt DBB1，Rt DAA1中，可得 |BB1|x2，|AA1|4x2. 所以 |BB1|BF|x2，|AA1|AF|4x2，|AB|AF|BF|4x2x24x8，解得 x4. 所以 |BF|2，|AF|6，所以 B 正确所以1|AF1|BF16121，所以 A 不正确所以 |BD|4，满足 |BD| 42|BF|，所以 C 正确而|DF |BD|BF|426 |AF|，所以 D 正确故选： BCD. 三、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分) 13已知 l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，1)的两条平行直线，则当 l1，l2间的距离最大时，直线 l1的方程是 _答案x2y30 解析当直线 AB 与 l1，l2均垂直时， l1， l2间的距离最大A(1,1)，B(0， 1)，kAB1101 2，1lk12. 直线 l1的方程为 y112(x1)，即 x2y30. 14 若圆 C 的半径为 1， 其圆心与点 (1,0)关于直线 yx对称，则圆 C 的标准方程为 _答案x2(y1)21 解析由题意知圆C 的圆心为 (0,1)，半径为 1，所以圆 C 的标准方程为x2(y1)21. 15如图， P 为 ABC 所在平面外一点，P APBPC1， APB BPC60 ， APC90 ，若 G 为 ABC 的重心，则PG 长为 _，异面直线P A 与 BC 所成角的余弦值为_(本题第一空2 分，第二空3 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 答案5312解析由题意得 ABC 90 ，连接点P 和线段 AC 的中点 D，连接 BD，如图：易知 BDPD22，则 PDB90 ，又G 为ABC 的重心， GD13BD26，PGPD2DG253. AP BC AP()PCPBAP PCAP PB12，cosAP，BCAP BC|AP|BC|12，异面直线PA 与 BC 所成角的余弦值为12. 16设 F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N 两点，且满足MAN120 ，则该双曲线的离心率为 _答案213解析不妨设 M 在第一象限， N 在第三象限，易知A(a，0)，由已知条件知圆的方程为x2y2c2，由ybax，x2y2c2，得 M(a，b)，N(a， b)，AM(2a， b)，AN(0， b)，又MAN120 ，cosAM，ANb24a2b2 b12，4a23b2， 4a23(c2a2)，7a23c2，ca213，即双曲线的离心率为213. 四、解答题 (本大题共6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知直线 l1的方程为 x2y40，若 l2在 x 轴上的截距为32，且 l1l2. (1)求直线 l1与 l2的交点坐标；(2)已知直线l3经过 l1与 l2的交点，且在 y轴上的截距是在x 轴上的截距的2 倍，求 l3的方程解(1)设 l2的方程为 2xym0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 因为 l2在 x 轴上的截距为32，所以 30m0，m 3，即 l2：2x y30. 联立x2y40，2xy30得x2，y1.直线 l1与 l2的交点坐标为 (2,1)(2)当 l3过原点时， l3的方程为 y12x. 当 l3不过原点时，设l3的方程为xay2a1(a0)，又直线 l3经过 l1与 l2的交点，所以2a12a1，得 a52，l3的方程为2xy50. 综上， l3的方程为 x2y0 或 2x y50. 18(12 分 )已知抛物线y22px(p0)有一内接 OAB，O 为坐标原点，若OA OB0，直线OA 的方程为y2x，且 |AB|4 13，求抛物线方程解由y 2x，y22px，解得 Ap2，p ，又OA OB0，所以 OAOB，故直线 OB 的方程为 y12x. 由y12x，y22px，解得 B(8p， 4p)因为 |AB|413，所以p2 8p2(p4p)21613，所以 p85，所以抛物线方程为y2165x. 19(12 分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 DD1的中点求证：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - (1)BD1平面 AB1C；(2)平面 EAC平面 AB1C. 证明(1)以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则 E(0， 0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，B(2，2， 0)，D1(0，0，2)，所以 AC(2，2，0)，AE (2，0， 1)， AB1 (0，2，2)，BD1(2， 2， 2)，设平面 AB1C 的法向量 m (x， y，z)，则m AC 2x2y0，m AB12y2z0，取 x1，得 m(1，1， 1). 因为 BD1 2m，所以 BD1 m，所以 BD1平面 AB1C. (2)设平面 AEC 的法向量 n(x，y，z)，则n AE 2xz 0，n AC 2x2y0，取 x1，得 n(1， 1，2)，m n1120，平面 EAC平面 AB1C. 20(12 分)已知椭圆x2b2y2a21(ab0)的离心率为22，且 a22b. (1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m，使直线l：xym0 与椭圆交于A，B 两点，且线段AB 的中点在圆x2y25 上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由解(1)由题意得ca22，a22b，b2a2c2，解得a2，c1，b1，故椭圆的方程为x2y221. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 联立直线与椭圆的方程得x2y221，xy m 0，即 3x22mxm2 20，所以 (2m)243 (m22)0，即 m23，且 x0 x1 x22m3，y0 x0m2m3，即 M m3，2m3，又因为 M 点在圆 x2y25 上，所以 m322m325，解得 m 3，与 m20)，则有 D(0,2,0)，E(2,1,0)， C(2,4,0)，P(0,0， )，AC(2,4,0)，AP(0,0， )， DE(2， 1,0)，DE AC4400，DE AP0，DEAC，DEAP，又 ACAPA，DE平面 PAC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 又 DE? 平面 PED，平面 PED平面 PAC. (2)解由(1)知，平面 PAC 的一个法向量是DE(2， 1,0)，PE(2,1， )，设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 ，sin |cosPE，DE | 415 5255，解得 2. 0， 2，即 P(0,0,2)，设平面 PCD 的一个法向量为n(x，y，z)，DC(2,2,0)，DP(0，2,2)，由 nDC，nDP，2x2y0，2y2z0，不妨令 x1，则 n(1， 1， 1)cosn， DE2135155，平面 PCA 和平面 PCD 夹角的余弦值为155. 22(12 分)已知椭圆 C：9x2y2m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；(2)若 l 过点m3，m ，延长线段OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率，若不能，说明理由(1)证明设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，M(xM，yM)由ykx b，9x2y2m2，得(k29)x22kbx b2m20，xMx1x22kbk29，yMkxM b9bk29，直线 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOM k 9. 即直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值9. (2)解四边形 OAPB 能为平行四边形直线 l 过点m3，m ，l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k0，k3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 由(1)得 OM 的方程为 y9kx. 设点 P 的横坐标为xP. 由y9kx，9x2 y2 m2，得 x2Pk2m29k281，xP mk3k29，将点m3，m 的坐标代入直线l 的方程得 bm 3k3，xMmk k33 k29. 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段 OP 互相平分，即xP2xM， km3k292mk k 33 k29，解得 k147，k247. ki0，ki3，i1,2，当 l 的斜率为 47或 47时，四边形OAPB 为平行四边形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -