2022年全等三角形经典例题含答案 .pdf
学习好资料欢迎下载全等三角形一、目标认知学习目标：1了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。重点：1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；2 . 三角形全等的性质和条件。难点：1. 掌握用综合法证明的格式；2 . 选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图， ABD ACE ，AB =AC ，写出图中的对应边和对应角.思路点拨 : AB =AC ，AB和 AC是对应边， A是公共角， A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析： AB和 AC是对应边， AD和 AE 、BD和 CE是对应边， A和A是对应角， B和C ，AEC和ADB是对应角 . 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习好资料欢迎下载举一反三：【变式 1】如图， ABC DBE . 问线段 AE和 CD相等吗？为什么？【答案】证明：由 ABC DBE ，得 AB=DB,BC=BE，则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD 。【变式 2】如右图，。求证： AE CF 【答案】AE CF 2、如图，已知 ABC DEF ，A=30 ， B=50，BF=2 ，求 DFE的度数与 EC的长。思路点拨 :由全等三角形性质可知： DFE= ACB ，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB 的度数与 BF的长即可。解析： 在ABC 中，ACB=180 - A-B，又A=30 ， B=50，所以 ACB=100 . 又因为 ABC DEF ，所以 ACB= DFE ，BC=EF（全等三角形对应角相等， 对应边相等）。所以 DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等， 对应边相等。举一反三：【变式 1】 如图所示，ACD ECD ， CEF BEF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习好资料欢迎下载ACB=90 . 求证：（ 1）CD AB ；（2）EF AC. 【答案】(1）因为 ACD ECD ，所以 ADC= EDC （全等三角形的对应角相等）. 因为 ADC+ EDC=180 ，所以 ADC=EDC=90 . 所以 CD AB. (2）因为 CEF BEF, 所以 CFE= BFE （全等三角形的对应角相等） . 因为 CFE+ BFE=180 ，所以 CFE= BFE=90 . 因为 ACB=90 , 所以 ACB= BFE. 所以 EFAC. 类型二：全等三角形的证明3、如图， AC BD ，DF CE ，ECB FDA ，求证： ADF BCE 思路点拨 :欲证ADF BCE ，由已知可知已具备一边一角， 由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC BD而得解析： AC BD(已知) AB-BD AB-AC(等式性质 ) 即 ADBC 在ADF与BCE中ADF BCE(SAS) 总结升华： 利用全等三角形证明线段 ( 角) 相等的一般方法和步骤如下：(1) 找到以待证角 (线段) 为内角 (边)的两个三角形，(2) 证明这两个三角形全等；(3) 由全等三角形的性质得出所要证的角( 线段) 相等举一反三：【变式 1】如图，已知 AB DC ，AB DC ，求证： AD BC 【答案】 AB CD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习好资料欢迎下载34 在ABD 和CDB 中ABD CDB(SAS) 12(全等三角形对应角相等 ) AD BC(内错角相等两直线平行 ) 【变式 2】如图，已知 EB AD于 B，FC AD于 C ，且 EB FC ，AB CD 求证 AFDE 【答案】 EB AD(已知) EBD 90(垂直定义 ) 同理可证 FCA 90EBD FCA AB CD ，BC BC AC AB+BC BC+CD BD 在ACF和DBE中ACF DBE(S AS) AF DE(全等三角形对应边相等 ) 类型三：综合应用4、如图， AD为ABC的中线。求证：AB+AC2AD.思路点拨 :要证 AB+AC2AD，由图想到： AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD ，即倍长中线。解析： 延长 AD至 E，使 DE=AD ，连接 BE 因为 AD为ABC 的中线，所以 BD=CD. 在ACD 和EBD中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习好资料欢迎下载所以 ACD EBD(SAS). 所以 BE=CA. 在ABE中，AB+BEAE，所以 AB+AC2AD. 总结升华： 通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC, BAC=90 , 1=2，CE BD的延长线于 E，求证： BD=2CE. 【答案】分别延长CE 、BA交于 F. 因为 BE CF,所以 BEF= BEC=90 . 在BEF和BEC中，所以 BEF BEC(ASA). 所以 CE=FE= CF. 又因为 BAC=90 ,BECF. 所以 BAC= CAF=90 ， 1+BDA=90 ， 1+BFC=90 . 所以 BDA= BFC. 在ABD 和ACF中，所以 ABD ACF(AAS) 所以 BD=CF. 所以 BD=2CE. 5、如图， AB CD ，BE DF ，BD ，求证： (1)AECF ，(2)AECF ，(3) AFE CEF 思路点拨 : (1) 直接通过 ABE CDF而得， (2) 先证明 AEB CFD ，(3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习好资料欢迎下载由(1)(2) 可证明 AEF CFE而得，总之，欲证两边 (角)相等，找这两边 (角)所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1) 在ABE与CDF中ABE CDF(SAS) AE CF(全等三角形对应边相等 ) (2) AEB CFD( 全等三角形对应角相等 ) AE CF(内错角相等，两直线平行) (3) 在AEF与CFE中AEF CFE(SAS) AFE CEF(全等三角形对应角相等 ) 总结升华：在复杂问题中， 常将已知全等三角形的对应角( 边) 作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式 1】如图，在 ABC中，延长 AC边上的中线 BD到 F，使 DF BD ，延长 AB边上的中线 CE到 G ，使 EG CE ，求证 AFAG 【答案】在 AGE 与BCE中AGE BCE(SAS) AG BC(全等三角形对应边相等 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习好资料欢迎下载在AFD与CBD 中AFD CBD(SAS) AF CB(全等三角形对应边相等 ) AF AG(等量代换 ) 6、如图 ABAC ，BD AC于 D，CE AB于 E，BD 、CE相交于 F求证： AF平分 BAC 思路点拨 :若能证得得 AD=AE ，由于 ADB 、AEC都是直角，可证得RtADF RtAEF ，而要证 AD=AE ，就应先考虑 RtABD 与 RtAEC ，由题意已知AB=AC ，BAC 是公共角，可证得RtABD RtACE 解析： 在 RtABD与 RtACE中RtABD RtACE(AAS) AD=AE( 全等三角形对应边相等 ) 在 RtADF与 RtAEF中RtADF RtAEF(HL) DAF= EAF(全等三角形对应角相等 ) AF平分 BAC( 角平分线的定义 ) 总结升华：条件和结论相互转化， 有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习好资料欢迎下载已知：如图，在 ABC与ABC中 AB=A B，BC=B C，AD BC于 D，ADBC于 D且 AD=AD求证： ABC ABC 证明： 在 RtABD与 RtABD 中RtABD Rt ABD(HL) B=B( 全等三角形对应角相等 ) 在ABC 与ABC中ABC ABC(SAS) 【变式 2】已知，如图， AC 、BD相交于 O ，AC=BD ，CD 90 求证：OC=OD 【答案】 C= D=90 ABD 、ACB为直角三角形在 RtABD和 RtABC中RtABD RtABC(HL) AD=BC 在AOD 和BOC 中AOD BOC(AAS) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习好资料欢迎下载OD=OC7、ABC 中，AB=AC ，D是底边 BC上任意一点， DE AB ，DF AC ，CGAB垂足分别是 E、F、G.试判断：猜测线段 DE、DF 、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨 : 寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析： 结论： DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DM CG于 M DE AB ，CG AB ，DM CG 四边形 EDMG 是矩形DE=GM DM/AB MDC= B AB=AC B=FCD MDC= FCD 而 DM CG ，DF AC DMC= CFD 在MDC 和FCD中MDC FCD （AAS ）MC=DF DE+DF=GM+MC=CG 总结升华：方法二（补短法）作CM ED交 ED的延长线于 M （证明过程略）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习好资料欢迎下载总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：如果将条件“ D是底边 BC上任意一点”改为“ D是底边 BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE 、DF和 CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
