2022年初中数学“最值问题”_集锦 3.pdf

1 “最值问题”集锦平面几何中的最值问题 01 几何的定值与最值 07 最短路线问题 14 对称问题 18 巧作“对称点”妙解最值题 22 数学最值题的常用解法26 求最值问题29 有理数的一题多解34 4 道经典题37 平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率下面介绍几个简例在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（1） 应用几何性质： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短； 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 定圆中的所有弦中，直径最长。运用代数证法： 运用配方法求二次三项式的最值； 运用一元二次方程根的判别式。例 1、A、B两点在直线 l 的同侧，在直线 L 上取一点 P，使 PA+PB 最小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 38 页 - - - - - - - - - 2 分析：在直线 L 上任取一点 P，连结 A P，BP ，在ABP 中 AP +BP AB ，如果 AP +BP AB,则 P必在线段 AB上，而线段 AB与直线 L 无交点，所以这种思路错误。取点 A关于直线 L 的对称点 A，则 AP AP，在ABP中 AP+BPAB,当 P移到 AB 与直线 L 的交点处 P点时AP+BPAB，所以这时PA+PB 最小。1 已知 AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC 的周长最大 ( 图 391)？分析 本例是求半圆 AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R由于 AB CD ，必有 AC=BD 若设 CD=2y ，AC=x ，那么只须求梯形ABDC 的半周长 u=x+y+R的最大值即可解 作 DE AB于 E，则x2=BD2=AB BE 2R (R-y) 2R2-2Ry，所以所以求 u 的最大值，只须求 -x2+2Rx+2R2最大值即可-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)23R2，上式只有当 x=R时取等号，这时有所以2y=R=x 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C ，D ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 38 页 - - - - - - - - - 3 这时，梯形的底角恰为60和 1202 . 如图 392 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8 米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设 x 表示半圆半径， y 表示矩形边长 AD ，则必有2x+2y+x=8，若窗户的最大面积为S，则把代入有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大3. 已知 P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时， PA+PB 最大(图 393)？分析与解因为 P点是半圆上的动点，当P近于 A或 B时，显然 PA+PB 渐小，在极限状况(P 与 A重合时 ) 等于 AB 因此，猜想 P在半圆弧中点时， PA+PB 取最大值设 P为半圆弧中点，连 PB ，PA ，延长 AP到 C，使 PC=PA ，连 CB ，则 CB是切线为了证 PA+PB 最大，我们在半圆弧上另取一点P，连 PA，PB，延长 AP 到 C，使 PC=BP ，连 CB，CC ，则 PC B=PBC= PCB=45 ，所以 A，B，C，C四点共圆，所以 CC A=CBA=90 ，所以在 ACC 中， AC AC ，即 PA+PB PA+P B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 38 页 - - - - - - - - - 4 4 如图 394，在直角 ABC中，AD是斜边上的高， M ，N分别是 ABD ，ACD 的内心，直线 MN 交 AB ，AC于 K，L求证： SABC2SAKL证 连结 AM ，BM ，DM ，AN ，DN ，CN 因为在 ABC中，A=90，AD BC于 D ，所以 ABD= DAC ，ADB= ADC=90 因为 M ，N分别是 ABD 和ACD 的内心，所以1=2=45， 3=4，所以ADN BDM ，又因为 MDN=90 =ADB ，所以MDN BDA ，所以BAD= MND 由于 BAD= LCD ，所以MND= LCD ，所以 D ，C ，L，N四点共圆，所以ALK= NDC=45 同理， AKL= 1=45，所以 AK=AL 因为AKM ADM ，所以AK=AD=AL 而而从而所以 SABCSAKL5. 如图 395已知在正三角形ABC内( 包括边上 ) 有两点 P，Q 求证： PQ AB 证 设过 P，Q的直线与 AB ，AC分别交于 P1，Q1，连结 P1C，显然， PQ P1Q1因为 AQ1P1+P1Q1C=180 ，所以 AQ1P1和P1Q1C中至少有一个直角或钝角若AQ1P190，则 PQ P1Q1AP1AB ；若P1Q1C90，则 PQ P1Q1P1C同理， AP1C和BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设BP1C90，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 38 页 - - - - - - - - - 5 则 P1CBC=AB 对于 P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ AB 6. 设ABC是边长为 6 的正三角形，过顶点A引直线 l ，顶点 B，C到 l 的距离设为 d1，d2，求 d1+d2的最大值 (1992 年上海初中赛题 )解 如图 396，延长 BA到 B，使 AB =AB ，连 BC，则过顶点 A的直线 l 或者与BC相交，或者与 BC相交以下分两种情况讨论(1) 若 l 与 BC相交于 D ，则所以只有当 l BC时，取等号 (2) 若 l 与 BC相交于 D ，则所以上式只有 l BC时，等号成立7. 如图 397已知直角 AOB中，直角顶点 O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO ，BO分别与单位圆交于C，D试求四边形 ABCD 面积的最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 38 页 - - - - - - - - - 6 解 设O与 AB相切于 E，有 OE=1 ，从而即AB 2当 AO=BO 时，AB有最小值 2从而所以，当 AO=OB 时，四边形 ABCD 面积的最小值为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 38 页 - - - - - - - - - 7 几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量( 如线段长度、角度大小、图形面积) 等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理 ( 公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性( 目标不明确 ) ，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】【例 1】 如图，已知 AB=10 ，P是线段 AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 AP和 PB为边作等边 APC和等边 BPD ，则 CD长度的最小值为思路点拨如图，作 CC AB于 C，DD AB于 D ，DQ CC ，CD2=DQ2+CQ2，DQ=21AB一常数，当 CQ越小， CD越小，本例也可设 AP=x，则 PB=x10，从代数角度探求CD的最小值注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1) 中点处、垂直位置关系等；(2) 端点处、临界位置等【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为 T，圆交 AC 、BC于 M 、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（） A从 30到 60变动 B从 60到 90变动C 保持 30不变 D保持 60不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 38 页 - - - - - - - - - 8 研究的量取得定值与最值【例 3】如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a，BC=b(ab) ，P为 AB边上的一动点，直线 DP交 CB的延长线于 Q ，求 AP+BQ 的最小值思路点拨设 AP=x，把 AP 、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式abba222 ( 当且仅当ba时取等号 ) 来求最小值【例 4】 如图，已知等边 ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于 A、B的点 M ，设直线AC与 BM 相交于 K，直线 CB与 AM相交于点 N ，证明：线段 AK和 BN的乘积与 M点的选择无关思路点拨即要证 AK BN是一个定值，在图形中ABC 的边长是一个定值，说明AK BN与 AB有关，从图知 AB为ABM 与ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK BN=AB2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题【例 5】已知 XYZ是直角边长为 1 的等腰直角三角形 ( Z=90) ，它的三个顶点分别在等腰 RtABC( C=90 )的三边上，求 ABC直角边长的最大可能值思路点拨顶点 Z 在斜边上或直角边CA(或 CB)上，当顶点 Z在斜边 AB上时，取 xy 的中点， 通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z在(AC 或 CB)上时， 设 CX=x， CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量， 建立几何元素间的函数、 方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是：(1) 利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2) 构造二次函数求几何最值学力训练1如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P为边 BC上任意一点（可与 B点或 C点重合） ，分别过 B、C 、D作射线 AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则 BB +CC +DD 的最大值为，最小值为2如图， AOB=45 ，角内有一点 P，PO=10 ，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点 O)，则 PQR 的周长的最小值为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 38 页 - - - - - - - - - 9 3如图，两点 A、B在直线 MN外的同侧， A到 MN 的距离 AC=8 ，B到 MN 的距离 BD=5 ，CD=4 ，P在直线 MN 上运动，则PBPA的最大值等于4如图，A点是半圆上一个三等分点， B点是弧 AN的中点， P点是直径 MN上一动点，O的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为 ( ) A1 B22 C2 D135如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P从 A点出发，沿看圆柱的侧面移动到 BC的中点 S的最短距离是 ( ) A212 B 2412 C 214 D 2426如图、已知矩形 ABCD ，R，P户分别是 DC 、BC上的点，E，F分别是 AP 、RP的中点，当 P在 BC上从 B向 C移动而 R不动时，那么下列结论成立的是( ) A线段 EF的长逐渐增大 B线段 EF的长逐渐减小C 线段 EF的长不改变 D线段 EF的长不能确定7如图，点 C是线段 AB上的任意一点 (C 点不与 A、B点重合 ) ，分别以 AC 、BC为边在直线 AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形 BCE ，AE与 CD相交于点 M ，BD与 CE相交于点 N (1) 求证： MN AB ；(2) 若 AB的长为 l0cm，当点 C在线段 AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN 的长度最长 ?若存在，请确定C点的位置并求出 MN 的长；若不存在，请说明理由(2002 年云南省中考题 ) 8如图，定长的弦ST在一个以 AB为直径的半圆上滑动， M是 ST的中点， P是 S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置， SPM 是一定角9已知 ABC是O的内接三角形， BT为O的切线，B为切点，P为直线 AB上一点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 38 页 - - - - - - - - - 10 过点 P作 BC的平行线交直线 BT于点 E，交直线 AC于点 F(1) 当点 P在线段 AB上时( 如图)，求证： PA PB=PE PF ；(2) 当点 P为线段 BA延长线上一点时，第 (1) 题的结论还成立吗 ?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由10如图，已知；边长为4 的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中 AF=2 ，BF=l，在 AB上的一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是 ( ) A8 B12 C225 D14 11如图，AB是半圆的直径， 线段 CA上 AB于点 A，线段 DB上 AB于点 B，AB=2 ；AC=1 ，BD=3 ，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是 ( ) A22 B21 C23 D2312如图，在 ABC中，BC=5 ，AC=12 ，AB=13 ，在边 AB 、AC上分别取点 D、E，使线段 DE将ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度13如图， ABCD 是一个边长为 1 的正方形， U、V分别是 AB 、CD上的点， AV与 DU相交于点 P，BV与 CU相交于点 Q 求四边形 PUQV 面积的最大值14利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0 米的圆， 问如何设计 ( 求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大? 15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示 ) 其中，正方形 MNPQ 与四个相同矩形 ( 图中阴影部分 )的面积的和为 800平方米(1) 设矩形的边 AB=x( 米)，AM=y( 米)，用含x的代数式表示y为(2) 现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40 元设该工程的总造价为S(元)，求 S关于工的函数关系式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 38 页 - - - - - - - - - 11 若该工程的银行贷款为235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000 元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由( 镇江市中考题 ) 16某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE ，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积( 精确到1m2) 参考答案名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 38 页 - - - - - - - - - 12 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 38 页 - - - - - - - - - 13 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 38 页 - - - - - - - - - 14 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 38 页 - - - - - - - - - 15 最短路线问题通常最短路线问题是以 “平面内连结两点的线中， 直线段最短”为原则引申出来的 人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的例如，在地球（近似看成圆球）上 A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心 O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法例 1 如下图，侦察员骑马从 A地出发，去 B地取情报在去 B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线作点 A关于河岸的对称点 A，即作 AA垂直于河岸， 与河岸交于点 C，且使 AC=A C，连接 AB交河岸于一点 P，这时 P 点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB就是侦察员应选择的最短路线证明：设河岸上还有异于P点的另一点 P，连接 PA，PB， PAPA+P BPA+PBAB=PA +PB=PA+PB，而这里不等式 PAPBAB成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以 PA+PB 是最短路线此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段AB，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等看下面例题例 2 如图一只壁虎要从一面墙壁上A点，爬到邻近的另一面墙壁上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 38 页 - - - - - - - - - 16 解：我们假想把含 B点的墙顺时针旋转90（如下页右图），使它和含A点的墙处在同一平面上，此时转过来的位置记为，B点的位置记为 B，则 A、B之间最短路线应该是线段AB ，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线 4PB就是从 A点沿着两扇墙面走到 B点的最短路线证明：在墙棱上任取异于P点的 P点，若沿折线AP B走，也就是沿在墙转90后的路线 AP B走都比直线段 APB 长，所以折线 APB是壁虎捕蛾的最短路线由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线例 3 长方体 ABCD ABCD中，AB=4 ，AA=2，AD=1 ，有一只小虫从顶点D 出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 DB间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D点出发，到 B点共有六条路线供选择从 D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（ 2），这时在这个平面上D 、B间的最短路线距离就是连接D、B两点的直线段，它是直角三角形ABD 的斜边，根据勾股定理，D B2=D A2+AB2=（1+2）242=25，DB=5容易知道，从 D 出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5从 D点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D 、B两点间的最短路线（上页图（3），有：D B222+（1+4）2=29容易知道，从 D出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29从 D点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（见图），名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 38 页 - - - - - - - - - 17 D B2=（2+4）2+12=37容易知道，从 D出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（ 2），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5 个单位长度利用例 2、例 3 中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和 B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段 AP1P2B ，P1、P2是线段 AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B 就是 AB间的最短路线圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题例 4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图， 如果将金线的起点固定在 A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A、B分别与 A、B重合），连接 AB ，再将上页右图还原成上页左图的形状， 则 AB 在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线请看下面例题例 5 有一圆锥如下图， A、B在同一母线上， B为 AO的中点，试求以 A为起点，以 B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 38 页 - - - - - - - - - 18 解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A、B分别与 A、B重合），在扇形中连AB ，则将扇形还原成圆锥之后，AB 所成的曲线为所求例 6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的 B点去寻找食物，已知 A点沿母线到桶口 C点的距离是 12 厘米， B 点沿母线到桶口 D 点的距离是 8厘米，而 C、D两点之间的（桶口）弧长是15 厘米如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将 BD延长到 F，使 DF BD ，即以直线 CD为对称轴，作出点 B的对称点 F，用 F 代替 B，即可找出最短路线了解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到 F，使 DF=BD ，即作点 B关于直线 CD的对称点 F，连结 AF ，交桶口沿线 CD于 O 因为桶口沿线 CD是 B、F的对称轴，所以 OB OF ，而 A、F之间的最短线路是直线段AF，又 AF=AO OF ，那么 A、B之间的最短距离就是AO OB ，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内 B点爬去延长 AC到 E，使 CE=DF ，易知 AEF是直角三角形， AF是斜边， EF=CD ，根据勾股定理，AF2=（AC+CE ）2+EF2 （128）2152625=252，解得 AF=25 即蚂蚁爬行的最短路程是25 厘米例 7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短分析 因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值因此，从 A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出 B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 38 页 - - - - - - - - - 19 解：如上图，过 A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作 DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点即两村的最短路程是AE ED DB 例 8 在河中有 A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到 A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作 A、B关于甲岸线、 乙岸线的对称点 A和 B，连结 A、B分别交甲岸线、乙岸线于E、F 两点，则 AEFBA是最短路线，即最短路程为：AEEF FBBA 证明：由对称性可知路线AEFB的长度恰等于线段 AB的长度而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A、B之间的折线，它们的长度都大于线段 AB，例如上图中用“”表示的路线 AEFB的长度等于折线 AE FB的长度，它大于 AB的长度，所以 AEFBA是最短路线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 38 页 - - - - - - - - - 20 LOCBAADOCALBABAPL对称问题教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。一、点关于一条直线的对称问题问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小狗到河边喝上水，同是回家又最近？问题数学化：设小明与小狗在A处，家在 B处，小河为 L，小明要在直线 L 上找一个点 C （小狗在 C处饮水） ， 使得 AC+BC最短。 （如图所示）知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。中学数学中常见的对称有两类，一类是轴对称，一类是中心对称。轴对称有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线 PQ的轴对称点 N的方法是：过 M作 MO 垂直于 PQ于点 O ，并延长 MO 到点 N，使 NO=MO，则点 N就是点 M关于直线 PQ的对称点。问题分析：过 A作 AO垂直于直线 L 于点 O ，延长 AO到点 A，使AO=AO ，连接 AB，交直线 L 于点C，则小明沿着 ACB的路径就可以满足小狗喝上水，同时又使回家的路程最短。问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。问题的延伸 1：已知直线 L 外有一个定点 P，在直线 L 上找两点 A、B，使 AB= m ，且 PA+PB 最短。 （其中 m为定值）提示：作 PC平行于 AB ，且 PC=AB ，则问题变为：在直线L 上找一个点 B，使它到 P、C两点的距离之和最短。问题的延伸 2：在两条相交线之外有一个定点 P，分别在两条直线上找点 B、 C使得 PB+BC+CP 最短，如何确定 B、C的位置？提示：分别作点 P关于直线 L1和直线 L2的对称点 P1和 P2，连接P1P2分别与两直线交于 B、C点，则PB+BC+PC 最短。证明方法同上。LBACBL2L1PP2P1CBL2L1P名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 38 页 - - - - - - - - - 21 二、桥该建在哪里：问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间的路程最短？问题数学化：在直线 L1和直线 L2之间作一条垂线段 CD ，使得 BC+CD+DA 最短。知识介绍：关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。 ）问题分析：由于 CD的长度一定，所以BC+CD+DA 最短，只需 BC+DA 最短既可。我们想办法把线段 AD平移到和线段 BC共线的位置，于是变化为下面两图。问题的总结与结论：一般来说，我们利用图形的对称性寻找到最近的位置，然后利用三角形和对称的性质去证明你所选取的位置是题目中所要求的位置即可。问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又该如何呢？如图，把A向下平移到 A的位置，使线段AA 等于河 L1L2的宽度；把 B向上平移到 B的位置，使线段 BB 等于河 L3L4的宽度。连接线段BA，交 L2于点 C，交 L3于点 F。过 C、F分别作垂线段 CD 、FE，就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河流建更多的桥又如何呢？三、对称问题的进一步延伸。我们已经可以应用轴对称的特点找到一些特殊位置使得线段和最小，那么对于线段差最小的问题，是否可以得出一些相关的结论呢？1、直线 L 的异侧有两个点 A、B，在直线 L 上求一个点 C ，使得： A、B到 C的距离的ABL2L1DAACBL2L1QADACBL2L1PFEBL4L3ADACBL2L1LBALACBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 38 页 - - - - - - - - - 22 差的绝对值最小。2、你认识一些什么样的轴对称图形，它们各自有什么样的几何性质？等腰三角形、矩形、正多边形等。四、如何平分土地：问题超市：水渠旁有一大块耕地， 要画一条直线为分界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC边是灌溉用的水渠的一岸。两个人不知道怎么平分土地最能满足个人的需要，你看这个土地的形状（比较规则的L 形） （如右图所示） ，应该怎样平分呢？问题数学化：如何在由两个矩形所组成（割、补）的图形中寻找一条直线，使得图形被分成两部分，且两部分的面积相等，而且，均含有BC边的一部分。问题分析：1、如何才能把一个矩形的面积等分。如图，可以应用矩形的两条对角线所在的直线AC 、BD ，每组对边的中点所在直线 MP 、NQ ，且这四条直线都交于同一点O ，对矩形的对称中心。即经过对称中心O的任意一条直线都可以平分矩形的面积。2、利用这个结论，土地可以看成是两个矩形进行割、补得到的，分别在每个图中作两个矩形的对称中心，经过这两个点作一条直线，这条直线就可以把这两个矩形的面积进行平分，分别如上面三个图形所示：问题的延伸：三个方案确定之后，两个农民并不满意，他们认为：“这三种方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC边并没有被平分。”两人为了灌溉方使，都想把靠近水源的 BC边也平分了，谁会愿意要水源少的那块地呢？这三种分地的方法并不公平。那为了既平分土地，也平分水源，有什么办法呢？问题的分析：（如右图所示）直线 QR就是原来的分界线 l ，取线段 QR 的中点为 S，取线段 BC的中点为 P，则直线 PS就是满足两个农民要求的分界线。问题的证明：TRS与PQS中，三组内角对应相等，且 RS=PS ， 则两个三角形全等， 所以两个三角形的面积相等，于是经过直线 TP的分界仍保证了土地的平分，且过点P也使得水源得到了平分。思考：如果用后两种方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？FECDBAOQPNMCDBAlFECDBAlFECDBAlFECDBARQTPSFECDBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 38 页 - - - - - - - - - 23 1终始321终始终始54321五、台球桌上的数学问题问题超市：台球被打到台球桌边上，反弹回来，就是我们常用的对称问