2022年八上数学第一章全等三角形 .pdf

学习必备欢迎下载八上数学第一章全等三角形第 1 课时全等图形预习目标 1认识全等图形，理解全等图形的概念与特征 2能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形 3通过画图和分割图形等活动，积累对全等图形的认识，感受图形变换的思想，教材导读阅读教材P6P7内容，回答下列问题： 1全等图形能完全 _的图形叫做全等图形因此，两个图形全等，它们的形状、_分别相同，它们的面积和周长也_，与图形的 _没有关系 2图形的全等变换(1) 如图，观察图，我们发现经过图的_、图的 _、图的 _一运动后，虽然图形的 _改变了，但 _和_没有改变，所以运动前后的两个图形是_图形 (2)我们将 _、_、_这样的图形变换称为图形的全等变换例题精讲例 1 下列各组图形中，全等的图形是 ( ) 提示：从概念来看，两个图形全等，它们的形状和大小都相同选项A中一个是六边形，另一个是五边形，因此它们不是全等图形；选项B中它们的大小和形状都相同，虽然它们摆放的位置不同，但经过旋转和平移后能够完全重合，因此它们是全等图形；选项C中的正方形与圆的组合方法不同，因此它们不是全等图形；选项D中的两个图形的大小不一样，因此它们不是全等图形解答： B点评： 只要两个图形的形状与大小相同，无论它们怎么摆放，它们之间相距多远，它们就是全等图形；反之，只要两个图形的形状与大小有一项不相同，它们就不是全等图形例 2 观察如图、中的多边形，其中一个经过怎样的变换可以和另一个重合（图中每一个小方格的边长为1 个单位长度） ? 提示：确定图形如何变换，可以找出图形上的对应点解答：如图，图是将多边形I 绕点 A逆时针旋转90，然后向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到多边形图是将多边形沿点B所在的竖线翻折，然后向右平移1个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到多边形，点评：图形的变换与变换的顺序无关，因此图形变换的说法可以有多种热身练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载1下列各组图形中，全等的图形是 ( ) 2下列各组图形中，全等的图形是 ( ) 3下列图形中，不能分成两个全等图形的是 ( ) 4由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片_全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片 _全等图形（填“是”或“不是”）5如图是有四个景点的菱形公园，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分（不写画法） (1)用直线分割 (2)每个部分各有一个景点 (3)各部分的大小、形状完全相同6找出下面各组图中的全等图形第 2 课时 全等三角形预习目标 1知道全等三角形的定义，能正确地找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角，会用符号表示两个三角形全等 2能说出全等三角形的对应边相等和对应角相等的性质，能够进行简单的说理和计算 3经历三角形的平移、翻折、旋转变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载教材导读阅读教材P9P10内容，回答下列问题：1全等三角形的概念及表示方法 (1)概念：两个能 _的三角形叫做全等三角形如上图所示的_与 _是全等三角形 (2)对应关系：全等三角形重合在一起，重合的点叫做_，重合的边叫做_，重合的角叫做_如图、，点A与点 D、点 B与点 _、点_与点 F 是对应顶点； AB与 _、_与 EF、_与_ 是对应边； A与 _、 _与 E 、 _与 _是对应角 (3)表示方法：我们用符号“_” 表示全等，读作 “_” 如 ABC与 DEF全等， 记作 “_” ，读作“ _”注意：表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上 2全等三角形的性质由于全等三角形能够完全重合，我们容易得出全等三角形具有“对应边_，对应角 _”的性质，如图、，AB _，_EF，_； A _，_与 E， _ _例题精讲例 1 如图， ABC和 AED全等， ABAE ， C20，DAE 130 (1)用符号“”表示这两个三角形的全等关系： (2)D _， BAC _ (3)B _， E _ (4)BAE与 DAC相等吗？为什么？提示：表示两个三角形全等时，要注意将其对应顶点的字母写在对应的位置上，结合图形，由于ABAE ，说明 AB与 AE是对应边，点B与点 E是对应顶点，从图中可以看出BAC与 EAD ， B与 E， C与 D是对应角解答： (1) ABC AED (2) 20 130 (3) 30 30 (4) BAE与 DAC相等 BAC EAD ， BAC EAC EAD EAC BAE DAC 点评：用符号“”表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上；反之，如果已知用“”表示的两个三角形全等的关系，那么我们可以不用看图，就能得到对应顶点、对应边和对应角例 2 如图， ABC DFE ，且点 B、F、 C 、E在同一条直线上，A75， B65， BC 8 cm，CE 3 cm求： (1) CF的长 (2)E的度数提示： (1) 欲求 CF的长，已知BC的长为 8 cm，故只要求出BF的长由ABC DFE ，得 BC FE，可得 BFCE 3 cm (2)欲求 E的度数，由 ABC DFE ，得 E ACB ，因此只要求出/ACB的度数即可已知A、 B的度数，根据三角形的内角和等于180，可得到 ACB的度数解答： (1) ABC DFE ，BC FE，即 BFFC FCCE BFCE 3 cmBC 8 cm，FC BC BF83 5(cm) (2) A75， B65， ACB 180 A B 180 75 65 40精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载 ABC DFF ， E ACB 40点评：解答本题的关键是正确理解和运用全等三角形的性质热身练习1如图， ACB ACB ， BCB30，则 ACA的度数为 ( ) A 20B30C35D402如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N间的距离如果PQO NMO ，那么只需测出其长度的线段是 ( ) A PO BPQ CMO DMQ 3如图，若OAD OBC ，且 O65， C 20，则 OAD _4如图， ABC ADE， C E，AB AD，则另外两组对应边为_，另外两组对应角为_5已知 ABC ABC 若 ABC的面积为10 cm2，则 ABC 的面积为 _；若 ABC的周长为16 cm，则 ABC的周长为 _6如图， ABC A1B1C1，且 A110， B 40，则 C1_7 如图，ABE和 ADC是 ABC分别沿着AB 、 AC边翻折 180形成的，若 BAC 150， 则 _第 3 课时 探索三角形全等的条件(1) 预习目标 1经历探索三角形全等条件的过程，理解三角形全等必须具备三个条件 2理解“边角边”定理，学会用它来判定两个三角形全等教材导读阅读教材P13P14 内容，回答下列问题： 1三角形全等的基本条件从三角形的6 个元素（ 3 条边、 3 个角）中，任意选取3 个元素，共有 _种情况、 _种不同的选法（如下框架图）在其中的任意一种选法中，如果选取的3 个元素对应相等，那么这两个三角形_全等（填“一定”或“不一定”） 2三角形全等的条件“边角边”两_及其 _分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“_”） 3运用“边角边”判定两个三角形全等(1) 观察与发现：在如图与图中，AB_DE ， B_E，BC_EF ；在如图与图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载中，AB_DE ， B_ E ， BC EF； 在如图与图中， AB_DE ， B_E， BC_EF ；在如图与图中，AB_DE ， B_E，BC_EF(填“”或“”) (2) 结论：图 _与图 _中的两个三角形全等例题精讲例如图， AB AC ，点 E 、F 分别是 AB 、AC的中点，求证：AFB AEC 提示：要证明AFB AEC ，已知一组边AB与 AC对应相等，且根据图形不难得到它们具有公共的A，因此，还需要判断夹这个A的另一组边AF、AE是否对应相等，显然，已知点E、F 分别是 AB、AC的中点可使问题得以解决点评：图中的公共边、公共角往往是证明两个三角形全等的重要隐含条件热身练习1下列说法：有2 条边对应相等的两个三角形全等；有两边和1 个角对应相等的两个三角形全等； 2 条直角边对应相等的两个直角三角形全等；边长相等的2 个等边三角形全等其中正确的有( ） A 1 个B2 个C3 个D4 个2如图，如果ABAC ，那么只要再知道_ _，就可以根据“SAS ”得到 ABD ACD ；如果已知BD CD ，那么只要再知道_ _，就可以根据“ SAS ”得到 ABD ACD 3如图，点E、C在线段 BF上， BE CF，AC DF， ACB F求证： ABC DEF 4如图，点E、F在 AC上， AB CD ，AB CD ，AE CF求证： ABF CDE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载5如图，点A、B、C在同一条直线上，BD AC ，垂足为B，点 E在 BD上，且 AB BE ，BD BC 求证： ABD EBC 第 4 课时 探索三角形全等的条件 (2) 预习目标 1能够判定具备“边角边”条件的两个三角形全等，并能够运用变换的思想来观察两个全等的三角形 2能够结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明 3学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化教材导读阅读教材P15P16 内容，回答下列问题： 1(1) 如图， ABC ADC ，可以把 ABC沿着 AC边_得到 ADC (2)如图， AEC BED ，可以把 AEC绕点 E_得到 BED (3) 如图，AEC BFD ， 可以把 AEC先沿着 EC边所在的直线 _， 再绕点 _得到 BFD 2(1) 如图，由AEC BED ，根据全等三角形的性质，可知AC_， A _，则AC_BD (2)如图，由AFC BFD ，根据全等三角形的性质，可知AE _， AEC _，则AE_BF ；同理，可知AC _， C _测 AC_BD 因此，要证明两条线段相等或两个角相等，可以将问题转化为证明它们所在的两个三角形全等例题精讲例 1 如图，点 A、F、C、D在同一直线上，点B和点 E分别在直线AD的两侧，且AB DE ，A D，AFDC 求证： BC EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载提示： 要证明 BC EF，可以证明 ACB DFE ，因此可以证明ABC DEF 显然， 根据所给的条件，可以运用“边角边”判定这两个三角形全等，使问题得以解决解答： AFDC ， AF FCDC CF，即 AC DF在 ABC和 DEF中，点评：初学判定两个三角形全等时，我们必须将数学语言和图形语言结合起来，判断对应边、对应角是否相等，再运用三角形全等的条件加以判定例 2 如图，点E、A、C在同一条直线上，AB CD ，AB CE，AC CD 求证： BC ED 提示：观察图形可知，BC与 ED分别是 BAC与 ECD的边，因此要证明BC ED ，只需要证明BAC ECD 点评：要得到两条线段相等或两个角相等，证明它们所在的两个三角形全等是常见的解题策略热身练习1如图，在ABC中， ABAC ，AD平分 BAC ，则 _2如图， AB DC ， ABC DCB ，则 ABC _， 1 _3如图， CAD BAE ，AD AC ，AE AB ，则可以判定 ( ) A ADC AFD B AFF ABD C ABC AED D 以上答案都不对4如图， AC与 BD交于点 O ， DO CO ，AO BO ，则图中全等三角形有 ( ) A 2 对B3 对C4 对D5 对5如图， AC 、BD相交于点 O，且 OA OC ，OB OD 求证： AD BC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载6如图，在ABC中， ABAC ，分别以AB 、AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE ，使 BAD CAE 90求证： BD CE 7如图，在ABC中， ABAC ， BAC ACB 60，点 D、 E分别在 BC 、AC边上，且 AE CD ， AD 、BE相交于点F (1)求证： ABE CAD (2)求 BFD的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载第 5 课时 探索三角形全等的条件(3) 预习目标 1经历探索三角形全等“角边角”条件的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的过程 2掌握三角形全等的“角边角”条件，能运用“角边角”判定两个三角形全等，并解决一些简单的实际问题 3能够结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明 4进一步学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化教材导读阅读教材P17P18 内容，回答下列问题： 1用尺规作全等三角形按下列作法，用直尺和圆规作ABC ，使 ABa， A ， B ( 自己动手做一做) 操作、发现：所作的三角形都是_三角形 2三角形全等的条件“角边角” (1)两_及其 _分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“_”）(2) 观察如图所示的图形：发现：在图与图中， B_ E， BC_EF ， C_F； 在图与图中， B_E，BC_EF ，C_ F；在图与图中，B_E，BC_EF ，C_ F （填“”或“”）结论：图 _与图 _中的两个三角形全等例题精讲（2）如图，点A 、C、B、D在同一条直线上，BE DF ， A F，AB FD求证： AEFC提示：由平行线的性质可以得到两个角相等，从而可以运用“ASA ”来证明线段AE 、FC 所在的两个三角形全等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载点评：证明两条线段相等时，往往寻找它们所在的两个三角形全等例 2 如图， BE AD ，CFAD ，垂足分别是E、F，且 BE CF请你判断AD是 ABC的中线还是角平分线，并证明你的结论提示：可以通过证明BDF CDF来确定其为中线解答： AD是 ABC的中线证明如下：点评：本题考查同学们运用“ASA ”证明两个三角形全等的能力，同时也培养了同学们对问题的探究能力热身练习1如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打破成三块，现在他要到玻璃店去配一块形状和大小完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上玻璃 ( ) A BCD和2如图， 1 2 90， AD AE ，那么图中有 _对全等三角形3如图， 1 2， ABC ABD 求证： AC AD 4如图，点E、C在线段 BF上， BE CF，AB DE ， ACB F求证： ABC DEF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载5如图，点B、F、 C、E在同一条直线上，点A、D在 BE的两侧， AB DE ，ACDF，BFCE 求证： AC DF6如图， AB AC ，AD平分 BAC ，AB平分 DAE ，AE BE ，垂足为E求证： AE AD 第 6 课时 探索三角形全等的条件(4) 预习目标 1经历探索三角形全等“角角边”条件的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载 2掌握三角形全等的“角角边”条件，并能运用“角角边”判定两个三角形全等 3能够进一步结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明 4进一步学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化教材导读阅读教材P19P20 内容，回答下列问题： 1三角形全等的条件“角角边”两 _分别相等且其中一组_的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“_”） 2体验三角形全等的“角角边”条件(1) 观察与发现：在如图与图中，B_E， C_F，AB_DE ；在如图与图中， B_E， C_ F，AB_DE ；在如图与图中，B_E， C_F， AB_DE （填“”或“”） (2)结论：图 _与图 _中的两个三角形全等例题精讲例 1 如图，点B、E、C、F 在同一条直线上，AB DE ， A D， AC DF求证： (1) ABC DEF (2) BECF提示： (1) 根据已知条件，要证明ABC DEF ，已经具备“AB DE ， A D ”，而由AC DF，可以得到 ACB F，因此运用“ AAS ”证明 ABC DEF (2) 根据全等三角形的性质可知BCEF，即可推出 BE CF 解答： (1) AC DF， ACB F在 ABC和 DEF中，点评：本题考查运用“AAS ”证明两个三角形全等，并运用全等三角形的性质确定对应边的相等关系例 2 如图，在 ABC中， ACB 90， AC BC ，BE CE于点 E，AD CE于点 D求证： DE AD BE 提示：根据垂直的定义以及等量代换，可知CBE ACD ，再由 BECE ，AD CE得到BEC CDA 90，最后根据BC AC ，运用“ AAS ”可证得 BEC CDA 根据全等三角形的对应边相等，可知CE AD ，BECD ，从而证得DE AD BE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载点评：本题考查运用“AAS ”证明两个三角形全等，并运用全等三角形的性质确定图中边与边之间的等量关系，渗透了转化的数学思想热身练习1如图，已知ABC的六个元素，下列甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的是 ( ) A 甲、乙B甲、丙C 乙、丙D乙2如图，在四边形ABCD 中， AB CD ，AB CD ，AC 、BD交于点 O，则下列结论正确的是 ( ) A AB BC ，CD AD B BO DO ，AO CO C AD BC ，AC BD D AB AD ，AC BD 3如图， 1 2， 3 4，则图中全等的三角形有_4如图， BAC ABD ，请你添加一个条件：_，使 OC OD(填一个即可 ) 5如图， AD BC ， A90，以点B为圆心， BC的长为半径作弧，交射线AD与点 E，连接 BE ，过点 C作 CF BE ，垂足为F求证： AB FC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载6如图，AC、BD互相平分于点O，过点 O的直线分别交AB 、CD于点 E、F，那么 OE与 OF相等吗？为什么？第 7 课时 探索三角形全等的条件 (5) 预习目标 1进一步掌握“边角边”、“角边角”和“角角边”的判定条件，能够解决一些简单的问题 2能够结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明，会用，”或“”的表述方式进行推理 3进一步掌握文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化，教材导读阅读教材P21P22 内容，回答下列问题： 1用“，”的表述方式进行证明已知：如图（见课本21 页图 1-16 ），点 A、B、C、D在同一条直线上，EAFB，EC FD， EA FB求证： AB CD 即 AB BCCD BC 证明： EA FB ，EC FD(已知 ) ， A=_ ， ECA=_ （两直线平行，同位角相等）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载在 EAC和 FBD中，EAC FBD(AAS) AC _（ _），即 AB+BC=CD+BCAB=CD( 等式的性质 ) 2用符号“”表述推理过程：上面的推理过程可以用符号“”简明地表述如下：例题精讲例 1 如图， E F， ECA FBD ，EC FB求证： ABCD 提示：欲证明AB CD ，可先证明AC DB 结合图形只要证明EAC FDB即可解答：在 EAC和 FDB中，点评：本题是从结论出发，逆向求出使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看成“结论”，一步一步逆求，直至归结为已知条件这种“由未知（结论）想需知”的逆向推理，称为“分析法”例 2 如图，将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图所示），再将这两张三角形纸片按如图所示摆放，使点B、F、C、D在同一条直线上 (1)求证： AB ED (2) 若 PB BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明提示：本题是一道操作题，应注意在操作过程中的图形变换是全等变换，从而根据全等三角形的性质证明垂直解答： (1) ABC与 DEF是由一张长方形纸片沿对角线剪开而得到的点评：本题也可以用“，”的表述方式进行证明，热身练习1如图，在下列条件中，不能判定ABD ACD的是 ( ) A BAD CAD ， AB AC B ADB ADC ， BD CD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载 C B C， BAD CAD D B C，BD CD 2如图，点B在 DAC的平分线AE上，请添加一个适当的条件：_，使 ABD ABC(填一个即可 ) 3如图， AB AC ，AD是 BAC的平分线，若点E是 AD上的任意一点，连接BE 、CE ，则 EBD与 ECD有什么关系？请说明理由4如图， 1 2， 3 4，AB与 DC相等吗？请说明理由5如图， 四边形 ABCD是正方形， 点 G是 BC上的任意一点， 连接 AG ，DE AG于 E，BFDE ，交 AG于 F求证： AFBF EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页