2022年初中最短路径问题汇编 .pdf

1 初中数学最短路径问题典型题型知识点：“两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “点关于线对称” ， “线段的平移” 。 “饮马问题” ，“造桥选址问题” 。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线 L 的两侧，在L 上求一点 P，使得 PA+PB最小。二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角 MON内部任意一点，在MON的两边 OM ，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 例：如图， A、B是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物， ?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。例：某班举行晚会，桌子摆成两直条( 如图中的 AO ，BO)，AO桌面上摆满了桔子， OB桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？A B a A OBC 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 例：如图： C 为马厩， D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。例: 一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？五、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可求出最短路程例：如图所示， 是一个圆柱体， ABCD 是它的一个横截面，AB=，BC=3 ，一只蚂蚁，要从 A点爬行到 C点，那么，最近的路程长为（）A7 B C D 5 F AO B DC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 六、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程. 例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为（）A5cm Bcm C4cm D3cm 例：如图是一个长4m ，宽 3m，高 2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A4.8 B C5 D例：有一棵9 米高的大树，树下有一个1 米高的小孩，如果大树在距地面4 米处折断（未完全折断） ，则小孩至少离开大树米之外才是安全的例：如图，在一个长为2 米，宽为1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块， 它的棱长和场地宽AD平行且 AD ， 木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达 C处需要走的最短路程是米 （精确到 0.01 米）例：如图， AB为 O直径， AB=2 ， OC为半径， OC AB,D 为 AC三等分点，点 P为 OC上的动点，求AP+PD 的最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 七、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8 ，底面圆的半径r=2 ，若一只小蚂蚁从 A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）八、题中出现一个动点。当题中只出现一个动点时, 可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短 , 或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD 中，点 E为 AB上一定点，且BE=10,CE=14,P 为 BD上一动点，求PE+PC 最小值。九、题中出现两个动点。当题中出现两个定点和两个动点时, 应作两次定点关于动点所在直线的对称点 . 利用两点之间线段最短求出最值。例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形 ABCD 周长最短时 , 求mn。十、题中出现三个动点时。在求解时应注意两点：(1) 作定点关于动点所在直线的对称点, (2) 同时要考虑点点, 点线, 线线之间的最短问题. 例：如图，在菱形 ABCD 中,AB=2, BAD=60,E,F,P 分别为 AB,BC,AC上动点, 求 PE+PF最小值例：如图， AOB=45 ，角内有一动点P ，PO=10 ，在 AO ，BO上有两动点 Q，R，求 PQR周长的最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -