2022年全等三角形的判定复习与总结 .pdf
D B A 全等三角形的判定一、知识点梳理知识梳理 : 一般三角形直角三角形条件边角边（ SAS ）, 角边角（ ASA ）边边边（ SSS ）, 角角边（ AAS ）斜边、直角边（ HL ）性质对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应线段（如对应边上的高、中线、对应角平分线）相等备注判定三角形全等必须至少有一组对边相等注意： 判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA ）和角角角（ AAA ）不能作为判定两个三角形全等的方法。技巧平台：证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：已知条件寻找的条件选择的判定方法两角夹边或任一边ASA或 AAS 一角及其对边任一角AAS 一角及邻边角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角SAS或 ASA或 AAS 两边夹角或另一边或直角SAS或 SSS或 HL 二、例题讲解例 1. （SSS ）如图，已知 AB=AD ，CB=CD, 那么 B=D吗？为什么？分析：要证明 B=D，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接AC边即可构造全等三角形。解：相等。理由：连接AC ，在 ABC 和ADC 中，ACACCDCBADABABC ADC （SSS ） ，B=D （全等三角形的对应角相等）点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - B D C A A E F B D C C B E D A A B D C 例 2.（SSS ）如图，ABC是一个风筝架， AB=AC,AD 是连接 A与 BC中点 D的支架，证明：AD BC.分析：要证 AD BC ，根据垂直定义， 需证 ADB= ADC, 而ADB= ADC 可由ABDACD 求得。证明：D 是 BC 的中点，BD=CD 在ABD与ACD 中，ADADCDBDACABABD ACD(SSS) ，ADB= ADC （全等三角形的对应角相等）ADB+ ADC= 180 （平角的定义）ADB= ADC= 90 ，AD BC （垂直的定义）例 3. （SAS ）如图， AB=AC,AD=AE, 求证： B=C. 分析：利用 SAS 证明两个三角形全等，A是公共角。证明：在 ABE与ACD 中,ADAEAAACABABE ACD(SAS), B=C（全等三角形的对应角相等）例 4.（SAS ）如图，已知 E,F 是线段 AB上的两点，且 AE=BF,AD=BC, A=B,求证：DF=CE. 分析：先证明 AF=BE ，再用 SAS证明两个三角形全等。证明：AE=BF( 已知) AE+EF=BF+FE, 即 AF=BE 在DAF与CBE 中,BEAFBABCADDAF CBE(SAS), DF=CE （全等三角形的对应角相等）点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边 （即 AF=BE ）相等即可，进而推出对应边相等。练习、如图， AB,CD互相平分于点 O ，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需添加辅助线） 。例 5. （ ASA ）如图，已知点 E,C 在线段 BF上，BE=CF,AB DE,ACB= F,求证： AB=DE. O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - A E A B D C D A B C E A D B E C F 分析：要证 AB=DE ，结合 BE=CF ，即 BC=EF ，ACB= F逆推，即要找到证 ABC DEF的条件。证明:AB DE,B=DEF. 又BE=CF ，BE+EC=CF+EC,即 BC=EF. 在ABC与DEF中,FACBEFBCDEFBABC DEF(ASA),AB=DE. 例 6. （AAS ）如图，已知 B,C,E 三点在同一条直线上， AC DE,AC=CE, ACD= B,求证：ABC CDE. 分析：在 ABC与CDE 中，条件只有 AC=CE, 还需要再找另外两个条件，由AC DE ，可知 B=D,于是 ABC CDE的条件就有了。证明：AC DE ，ACB= E,且ACD= D. 又ACD= B,B=D. 在ABC与CDE 中,CEACEACBDB, ABC CDE(AAS). 解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。例 7. （HL ）如图，在 RtABC中， A=90 , 点 D为斜边 BC上一点，且 BD=BA, 过点 D作BC得垂线，交 AC于点 E，求证： AE=ED. 分析：要证 AE=ED ，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接 BE即可。证明：连接 BE. EDBC于 D,EDB= 90 . 在 RtABE与 RtDBE 中，BEBEBDBARtABE RtDBE(HL),AE=ED. 解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - C B A D B D C A A C D B E C B D 三、课堂同步练习1. 如图，AB=AD,CB=CD,ABC与ADC 全等吗？为什么？2. 如图，C是 AB的中点， AD=CE,CD=BE,求证 ACD CBE. 3. 如图， ABC中，AB=AC,AD 是高，求证： (1)BD=CD;(2) BAD= CAD. 4. 如图，AC CB,DB CB,AB=DC, 求证 ABD= ACD. 5. 如图，点 B,E,C,F 在一条直线上， AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证 A=D. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - B F C E A D A B O D C 6. 如图，AC和 BD相交于点 O ，OA=OC,OB=OD.求证 DC AB. 7. 如图，点 B,E,C,F 在一条直线上， FB=CE,AB ED,AC FD.求证 AB=DE,AC=DF. 8. 如图， 1=2，ABC=DCB。求证： AB=DC。9. 已知 BEED，12,求证：ABECDEABCD12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
