2022年初三数学二次函数知识点总结与对应的练习 .pdf

学习好资料欢迎下载初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1二次函数的概念：形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的取值范围是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二、二次函数的基本形式1. 2yax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。4. 2ya xhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 c a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y有最大值0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习好资料欢迎下载三、二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0) 【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律： 概括成八个字“左加右减，上加下减” 在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移 ” 四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法 ：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x ，20 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 六、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习好资料欢迎下载y有最小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标） . 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a：二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结，a决定抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异” 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧3. 常数项c：总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习好资料欢迎下载二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况 . 图象与x轴的交点个数： 当240bac时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点 . 当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数对应练习试题一、选择题1、下例函数中，是二次函数的是（ ) 0与 x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0与 x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0与 x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习好资料欢迎下载 A ，22xy B，xxy12 C，22)2(xxy D，123xxy2. 二次函数247yxx的顶点坐标是 ( )A.(2, 11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）3. 把抛物线22yx向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)yx B. 22(1)yx C. 221yx D. 221yx4. 函数2ykxk和(0)kykx在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 5. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示 , 则下列结论 : a,b同号; 当1x和3x时, 函数值相等 ; 40ab当2y时, x的值只能取 0. 其中正确的个数是 ( ) A.1 个 B.2个 C. 3个 D. 4个6、下列关系中，是二次函数关系的是（）A：当距离 S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系。B：在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系。C：圆的面积S与圆的半径 r 之间的关系。D：正方形的周长 C与边长a之间的关系。7. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的顶点坐标（ -1 ，-3.2 ）及部分图象(如图), 由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是121.3xx和（） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 8. 已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(,)ac bc在（）A第一象限B第二象限C 第三象限 D 第四象限9. 方程222xxx的正根的个数为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习好资料欢迎下载A.0 个 B.1个 C.2个. 3 个10. 已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2. 则这条抛物线的解析式为A. 22yxx B. 22yxxC. 22yxx或22yxx D. 22yxx或22yxx二、填空题11二次函数23yxbx的对称轴是2x，则 b_。12已知抛物线 y=-2（x+3）2+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 _. 13一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当x0 时，函数值 y 随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。14抛物线22(2)6yx的顶点为 C，已知直线3ykx过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。15. 二次函数2241yxx的图象是由22yxbxc的图象向左平移 1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的 , 则 b= ,c= 。16如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是 40 米，在线段 AB上离中心 M处 5 米的地方，桥的高度是 (取 3.14). 三、解答题：17. 已知二次函数图象的对称轴是30 x, 图象经过 (1,-6),且与 y 轴的交点为 (0,52). (1) 求这个二次函数的解析式; (2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0? (3) 当 x 在什么范围内变化时 , 这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习好资料欢迎下载18. 某种爆竹点燃后， 其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式2012hv tgt（0t 2） ，其中重力加速度 g 以 10 米/ 秒2计算这种爆竹点燃后以v0=20米/ 秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？（2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内， 判断爆竹是上升， 或是下降，并说明理由 . 19. 如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为 D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5 ：4的点 P的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习好资料欢迎下载20. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为 260元时，月销售量为 45吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加7. 5 吨综合考虑各种因素， 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为x（元） ，该经销店的月利润为y（元） （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由二次函数练习试题答案一，选择题、1A 2.A 3 C 4A 5 B 6.C 7D 8 B 9 C 10 C 二、填空题、114b 12 x-3 13 如224 ,24yxyx等 （答案不唯一） 14 1 15 -8 7 16 15 三、解答题17 (1) 设抛物线的解析式为2bxcyax, 由题意可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习好资料欢迎下载解得15,3,22abc所以215322yxx(2)1x或-5 (3)3x18 （1）由已知得，211520102tt，解得123,1tt当3t时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米 （2）由题意得，2520htt25(2)20t，可知顶点的横坐标2t，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升19 （1）直线3yx与坐标轴的交点A（3，0） ，B（0， 3） 则9303bcc解得23bc所以此抛物线解析式为223yxx （ 2）抛物线的顶点D（1， 4） ，与x轴的另一个交点C （ 1，0）. 设 P2( ,23)a aa，则211(423) :(44)5: 422aa. 化简得2235aa当223aa0 时，2235aa得4,2aaP（4，5）或 P（ 2，5）当223aa0 时，2235aa即2220aa，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（ 4， 5）或（ 2，5） 20 （1）5.71024026045=60（吨） （2）260(100)(457.5)10 xyx，化简得：23315240004yxx （ 3）24000315432xxy23(210)90754x红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210 元（ 4）我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额)5.71026045(xxW23(160)192004x来说，当 x 为 160 元时，月销售额W最大当x 为 210 元时，月销售额W不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元 1732518000， 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对32652baabcc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页