2022年逻辑联结词相关知识小结 .pdf

湖南周友良一、学习目标（1）了解 “ 或”“且 ”“非” 的复合命题的构成；（2）理解逻辑联结词“ 或”“且”“非” 的含义。（3）判断复合命题的真假。教学重点： 判断复合命题的真假。教学难点： 对逻辑联结词 “ 或 ”“且”“非” 的含义的理解二、知识精讲(一) 逻辑联结词1逻辑联结词： “ 或”“且”“非” 这些词就叫做 逻辑联结词 。2简单命题 ：不含逻辑联结词的命题。3复合命题 ：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。常用小写的拉丁字母p， q， r， s， 表示命题故复合命题有三种形式：p 或 q；p 且 q；非 p4逻辑联结词 “ 或”“且”“非” 与集合的 “ 交”“并”“补 ” 的关系：复合命题的构成与集合理论之间的关系(1)复合命题p 或 q设命题 p 所述范畴记为集合A命题 q 所述范畴记为集合B则复合命题： p 或 q 所述范畴对应于集合AB，韦恩图如图1 (2)复合命题 p 且 q设：命题p 所述范畴记为集合A命题 q 所述范畴记为集合B则复合命题： p 且 q 所述范畴对应于集合A B，韦恩图如图2 (3)复合命题：非P设命题 P 所述范畴记为集合A，全集为 U，则复合命题非P 所述范畴对应于集合CuA。韦恩图如图3 应用：命题：非 (P 或 q)对应于集合Cu(AB)。而 (非 P)且(非 q)对应于集合 (CuA) (CuB)，由集合理论德摩根律：Cu(AB)=(CuA)(CuB)，可以清楚看到，使学生更加深刻地认识到：非 (P 或 q)(非 P)且 (非 q)的正确性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 、将命题：若x+y0 则 x0 或 y0 改变成否命题。解：其否命题为：若x+y0 则 x0 且 y0 例 2、将命题： “ 菱形的对角互相垂直平分” 改变成逆否命题。解：其逆否命题为：对角线不垂直或不平分的四边形不是菱形。（二）判断复合命题的真假1“ 非 p” 形式复合命题的真假可以用下表表示：p非 p真假假真2“ p 且 q” 形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp 且 q真真真真假假假真假假假假3“ p 且 q” 形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP 或 q真真真真假真假真真假假假注： 1 像上面表示命题真假的表叫真值表；2 由真值表得：“ 非 p” 形式复合命题的真假与p 的真假相反；“ p 且 q” 形式复合命题当p 与 q 同为真时为真，其他情况为假；“ p 或 q” 形式复合命题当p 与 q 同为假时为假，其他情况为真；4判断复合命题真假的步骤：（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假。三、难点分析关于非命题问题 1： 怎样构造简单命题的非命题? 非命题也叫命题的否定。非命题与原命题的真值相反。原命题为真，非命题为假；原命题为假，非命题为真。对量词和判断词的否定：判断词“ 是 ” 的否定是 “ 不是 ” ；“ 有 ” 的否定是 “ 没有 ” ； “ 存在 ”名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 不存在 ” 。量词 “ 所有 ” 的否定是 “ 不所有 ” 即“ 有的 ” ；“ 每一个 ” 的否定是 “ 至少有一个不 ” ；“ 都是 ” 的否定是 “ 不都是 ” 即“ 至少有一个不是” ； “ 都不是 ” 的否定是 “ 不都不是 ” 即“至少有一个是 ” 。对单称命题的否定只要直接否定判断词。如“3 是正数 ” 的非命题就是“3 不是正数 ” 。对全称命题的否定在否定判断词时还要否定全称量词变成特称命题。对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定。如“ 整数是有理数 ” 就是全称命题“ 所有整数都是有理数” ；它的非命题是 “ 有的整数不是有理数”对特称命题的否定要否定特称量词变成全称命题。如特称命题“ 有的实数的平方不是正数” 的非命题是 “ 所有实数的平方都是正数” ；命题 “ 所有的分数都是无理数” 的非命题是 “ 有的分数不是无理数” 。问题 2： 怎样构造复合命题的非命题? 对复合命题的否定：“ 两个命题的或命题” 的否定是这 “ 两个命题的非命题的且命题” ；“两个命题的且命题” 的否定是这 “ 两个命题的非命题的或命题” 。例如 “3 1或 2 5 或 25 或21” 的非命题是 ”35且2 1”。该结论的逻辑表达式是：（1）非（ p或q）（非 p）且（非 q） （2）非（ p且q）（非 p）或（非 q） ，这其实就是逻辑运算的摩根律；可用真值表证明如下：(1)非（ p或q）（非 p）且（非 q）命题 p命题qp或q非（ p或q）非 p非q（非p）且（非 q）T T T F F F F T F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T (2)非（ p且q）（非 p）或（非 q）命题 p命题qp且q非（ p且q）非p非q（非p）或（非 q）T T T F F F F T F F T F T T F T F T T F T F F F T T T T 3 复合命题 “ 若 P 则 q” 形式的否定。“ 若 P 则 q” 型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。“ 若 P 则 q” 的否定命题真值性与命题“ P 且非 q” 相同，故是等价命题。我们就此认为：命题”若 P 则 q” 的否定为 “ P 则非 q” ，且习惯表达为“ 虽然 P，却非 q” 的形式，或是“ 尽管 P，然而非 q”. 4 含量词命题的否定。数学命题中出现“ 全部 ” 、“ 所有 ” 、“ 一切 ” 、 “ 任何 ” 、“ 任意 ” 、 “ 每一个 ” 等与 “ 存在着 ” 、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - ” 、 “ 有些 ” 、“ 某个 ” 、 “ 至少有一个 ” 等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“ ”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么它的否定又怎么样？在具体操作中就是从命题P 把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 由此看来， 要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表：词语：是 一定是都是 大于小于 且词语的否定：不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语：必有一个至少有 n 个 至多有一个所有 x 成立 所有 x 不成立词语的否定：一个也没有至多有 n-1 个 至少有两个存在一个 x 不成立存在有一个成立5 命题的否定与否命题的区别。命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：一，任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“ 若 P 则 q” 提出来的。二，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。原命题“ 若 P 则 q” 的形式，它的否定命题在前面已讲过，命题” 若 P 则 q”的否定为 “ P 则非 q” ，且习惯表达为“ 虽然 P，却非 q” 的形式，或是“ 尽管 P，然而非 q”.；而它的否命题为 “ 若非 P，则非 q” ， （记为 “ 若p，则q” ）即是说既否定条件又否定结论。四、范例分析：例 1 写出下列命题的否定命题与否命题。并判断其真假性。（1） 若 xy,则 5x5y。（2） 正方形的四条边相等。（3） 已知 a,b 为实数，若2x+ax+b0 有非空实解集，则2a-4b0 。解：（ 1）的否定：若 xy，则 5x5 y。 假命题否命题：若x y 则 5x5 y。 真命题（原命题为：若xy 则 5x5y。真命题）（2）的否定：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等。假命题否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题（原命题是真命题）。（3）的否定： 存在两个实数a,b，虽然满足2x+ax+b0 有非空实解集， 但使2a-4b0。假命题否命题：已知a,b 为实数，若2x+ax+b0 没有非空实解集，则2a-4b0。真命题（原命题为：对任意的实数a,b, 若2x+ax+b0有非空实解集，则2a-4b0真命题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 已知0c.设:P函数xcy在 R 上单调递减 . :Q不等式1|2|cxx的解集为 R. 如果P和Q有且仅有一个正确，求c 的取值范围 . 分析 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了 “ 解不等式 ” 一类高考试题的命题方向 .在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系， 属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“ 多考一点想，少考一点算” 的命题原则. 解答 :函数xcy在 R 上单调递减10c，不等式1|2|cxx的解集为 R函数|2|cxxy在 R 上恒大于 1，cxcxccxcxx22222|2|函数|2|cxxy在 R 上的最小值为c2，不等式1|2|cxx的解集为 R12c，即21c，若P正确，且Q不正确，则210c；若Q正确，且P不正确，则1c；所以 c 的取值范围为)1210(，. 例 3 已知条件axp|15:|和条件01321:2xxq，请选取适当的实数a的值， 分别利用所给的两个条件作为A、B 构造命题： “ 若 A 则 B” ，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题 . 分析 本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式， 考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证， 所找到的实数a只需满足2151a，且51a1 即可 .这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 已知条件p即ax15，或ax15，51ax，或51ax，已知条件q即01322xx，21x，或1x；令4a，则p即53x，或1x，此时必有qp成立，反之不然. 故可以选取的一个实数是4a，A 为p，B 为q，对应的命题是若p则q，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题. 例 4 已知)0(012:2|311:|22mmxxqxp，；?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 . 分析 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章， 从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难. 解答 由，2|311|x得102x，由)0(01222mmxx，得)0(11mmxm，?p即2x，或10 x，而 ?q即mx1，或mx1)0(m；由?p是?q的必要不充分条件，知?q?p，设 A=102|xxx，或，B=)0(11|mmxmxx，或，则有 AB，故，010111mmm且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得30m，此即为 “?p是?q的必要不充分条件” 时实数m的取值范围 . 以上各例，意在表明“ 解不等式 ” 一类的命题可以有哪些形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是以上命题的共同特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -