2022年八年级下期数学培优思维训练 .pdf

1 八年级下期数学培优思维训练三、平行四边形（特殊平行四边形）（一）知识梳理：（二）方法归纳：（三）范例精讲：1.如图，在 RT ABC中， ACB=90 ，AD平分 CAB ， CE AB于 E，交 AD 于 G，DF AB于 F. 求证：四边形 CGFD是菱形. 2.（1）如图，四边形 ABCD为正方形， DE AC ，AEAC，AE与 CD相交于 F求证： CE CF. （2）如图，四边形 ABCD为正方形， DEAC，且 CE CA，直线 EC交 DA延长线于 F求证： AE AF. （3）过正方形 ABCD的顶点 B 引对角线 AC的平行线 BE ，在 BE上取一点 F，使 AF=AC ，若作菱形 CAFE. 求证： AE及 AF三等分 BAC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页2 3. 如图，E，F，分别是正方形ABCD的边 AB、BC的中点， M 为 BC的延长线上一点，CH平分 DCM交 AD延长线于 H ，FG AF交 CH于 G. 求证：（1）ABF DAE ，AFDE；（2）AEF FCG ；（3）四边形 EFGD是平行四边形 . 4. 如图，在 ABC中，分别以 AB、AC、BC为边在 BC的同侧作等边 ABD 、ACE 、BCF. （1）求证：四边形 DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）当 ABC满足_ 条件时，四边形DAEF是矩形；当 ABC满足_ 条件时，四边形DAEF是菱形；当 ABC满足_ 条件时，四边形DAEF是正方形；当 ABC满足_ 条件时，以 D、A、E、F为顶点的四边形不存在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3 5. 如图，E、F分别是正方形 ABCD的边 AB、BC上的点，且 EF AC ，在 DA的延长线上取一点 G，使 AGAD，EG与 DF相交于点 H. 求证： AHAD. 6.若以直角三角形 ABC的边 AB为边，在 ABC的外部作正方形 ABDE ，AF是 BC边的高，延长 FA至点 G使 AG=BC. 求证： BG=CD. 7.如图 1，正方形 ABCD中，M 为 AB 的中点， E 为 AB 延长线上一点， MNDM，交 CBE的平分线于点 N（1）DM 与 MN 相等吗？试说明理由（2）若将条件“ M 为 AB 的中点”改为“ M 为 AB 上任意一点”，其它条件不变，如图2，则 DM 与 MN 相等吗？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4 8.如图，菱形 ABCD的边长是 2，BD=2，E、F分别是边 AD，CD上的两个动点，且AE+CF=2. （1）求证： BDE BCF ；（2）判断 BEF的形状，并说明理由 . 9.正方形 ABCD中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M，N当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN时（图 1） ，易证 BM+DN=MN（1）当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时（图 2） ，线段 BM，DN和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时， 线段 BM，DN和 MN 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想；（3）运用在（ 1）解答中所积累的经验，完成下题：如图4，在直角梯形 ABCD中，ADBC（BC AD） ，B=90，AB=BC ，E是 AB上一点，且 DCE=45 ，BE=4 ，DE=10 ，求直角梯形 ABCD的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页5 10. 正方形 ABCD中，点 O是对角线 DB的中点， 点 P是 DB所在直线上的一个动点， PE BC于 E，PF DC于 F. （1）当点 P与点 O 重合时（如图），猜测 AP与 EF的数量及位置关系， 并证明你的结论；（2）当点 P在线段 DB上 （不与点 D、O、B 重合）时（如图），探究（ 1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点 P在 DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论. 11. 如图，点 P是正方形 ABCD对角线 AC上一动点， 点 E在射线 BC上，且 PB=PE ，连接 PD ，O为 AC中点（1）如图 1，当点 P在线段 AO上时，猜想 PE与 PD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图 2，当点 P在线段 OC上时， （1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图 3，当点 P在 AC的延长线上时，请在图3 中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论； 若不成立，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页6 12. 如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形， M 为对角线 BD （不含 B点）上任意一点，将 BM 绕点 B逆时针旋转 60 得到 BN，连接 EN、AM、CM（1）求证： AMBENB ；（2） 当 M 点在何处时， AM+CM的值最小； 当 M 点在何处时， AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长13.以四边形 ABCD的边 AB、BC、CD 、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH （1）如图 1，当四边形 ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图 2，当四边形 ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明） ；（2）如图 3，当四边形 ABCD为一般平行四边形时，设ADC= （0 90） ，试用含的代数式表示HAE ；求证： HE=HG ；四边形 EFGH是什么四边形？并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页7 （四）思维训练：1. 在ABC中，C=90 ，AC=BC ，AD=BD ，PE AC于点 E， PF BC于点 F. 求证： DE=DF. 2. 如图，矩形 ABCD ，延长 CB到点 E，使 CE=CA ，点 F是 AE的中点 . 求证： BF DF. 3. 如图，在 AEC中，以 AEC为锐角，点 B 是线段 AC的中点，点 D 是线段 CE的中点四边形 BCGF和 CDHN都是正方形 AH的中点是 M求证： FMH 是等腰直角三角形ADCBEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页8 4.（1）如图 ，在正方形 ABCD中，AEF的顶点 E，F分别在 BC ，CD边上，高 AG与正方形的边长相等，求 EAF的度数（2）如图 ，在 RtABD 中，BAD=90 ，AB=AD ，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且MAN=45，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90 至ADH 位置，连接 NH，试判断 MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图 中，连接 BD分别交 AE，AF于点 M，N，若 EG=4 ，GF=6 ，BM=3，求 AG，MN 的长5. 在图 1 到图 3 中，点 O 是正方形 ABCD对角线 AC的中点， MPN 为直角三角形，MPN=90正方形 ABCD保持不动， MPN 沿射线 AC向右平移，平移过程中P点始终在射线 AC上，且保持 PM 垂直于直线 AB于点 E，PN垂直于直线 BC于点 F（1）如图 1，当点 P与点 O 重合时， OE与 OF的数量关系为 _；（2）如图 2，当 P在线段 OC上时，猜想 OE与 OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图 3，当点 P在 AC的延长线上时， OE与 OF的数量关系为 _；位置关系为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页9 6. 正方形 ABCD中，点 O 是对角线 AC的中点， P是对角线 AC上一动点，过点 P作 PF CD于点 F如图 1，当点 P与点 O 重合时，显然有 DF=CF （1）如图 2，若点 P在线段 AO上（不与点 A、O重合） ，PE PB且 PE交 CD于点 E求证： DF=EF ；写出线段 PC 、PA 、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点 P在线段 OC上（不与点 O、C重合） ，PE PB且 PE交直线 CD于点 E请完成图3 并判断（ 1）中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）7. 已知正方形 ABCD （1）如图 1，E是 AD上一点，过 BE上一点 O 作 BE的垂线，交 AB于点 G，交 CD于点 H，求证： BE=GH ；（2）如图 2，过正方形 ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交 AD，BC于点 E，F，交 AB，CD于点 G，H，EF与 GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点 O 在正方形 ABCD的边上或外部时，过点O 作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3 所示，过正方形 ABCD外一点 O 作互相垂直的两条直线m，n，m 与 AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与 AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页10 8. 操作示例：对于边长为a 的两个正方形 ABCD和 EFGH ，按图 1 所示的方式摆放，在沿虚线 BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1 中的四边形 BNED 从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形； S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED实践与探究：（1）对于边长分别为a，b（ab）的两个正方形 ABCD和 EFGH ，按图 2 所示的方式摆放，连接 DE ，过点 D 作 DMDE ，交 AB于点 M，过点 M 作 MNDM，过点 E作 ENDE，MN与 EN相交于点 N；证明四边形 MNED是正方形，并用含a，b 的代数式表示正方形MNED的面积；在图 2 中，将正方形 ABCD和正方形 EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形） ；（2）对于 n（n 是大于 2 的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页11 9. 如图， 操作： 把正方形 CGEF 的对角线 CE放在正方形 ABCD的边 BC的延长线上（CG BC ） ，取线段 AE的中点 M探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明说明： （1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3 步） ；（2）在你经历说明（ 1）的过程后，可以从下列 、 、 中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取 完成证明得 10 分；选取 完成证明得 7 分；选取 完成证明得 5分DM 的延长线交 CE于点 N， 且 AD=NE ； 将正方形 CGEF6 绕点 C逆时针旋转 45（如图） ，其他条件不变； 在 的条件下，且 CF=2AD 附加题：将正方形CGEF 绕点 C旋转任意角度后（如图） ，其他条件不变探究：线段MD、MF 的关系，并加以证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页12 10. 操作：将一把三角尺放在边长为1 的正方形 ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线 AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点 Q 探究：设 A、P两点间的距离为 x（1）点 Q在 CD上时，线段 PQ与线段 PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图 1） ；（2）点 Q 边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2） ；（3）点 P在线段 AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由（如图 3） （图 4、图 5、图 6 的形状、大小相同，图4 供操作、实验用，图5 和图 6 备用） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页