2022年八年级数学第十四章教案 .pdf

名师精编优秀教案14.1.1 直角三角形三边的关系（1）教学目标： 1. 探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2会应用勾股定理解决实际问题教学重点： 探索勾股定理的证明过程教学难点： 运用勾股定理解决实际问题教学过程：一。探索勾股定理试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边 a直角边 b斜边 c 关系1 2 根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b 、 c 之间的关系由图 14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系图 14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q 的面积之和等于大正方形R的面积即AC222，图 14.1.1 这说明， 在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 试一试观察图 14.1.2 ，如果每一小方格表示1 平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积平方厘米；正方形 Q的面积平方厘米；（每一小方格表示1 平方厘米）图 14.1.2 正方形 R的面积平方厘米我们发现，正方形P 、Q 、R的面积之间的关系是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页名师精编优秀教案由 此 ， 我 们 得 出 直 角 三 角 形 的 三 边 的 长 度 之 间 存 在 关系由图 14.1.2得出一般直角三角形的三边关系. 若 C=90, 则222cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABC中， C=90, 则222cba(a 、b 表示两直角边，c 表示斜边 ) 变式：222222,acbbca2介绍勾股定理的历史背景。二例题分析：例 1.Rt ABC中， AB=c,BC=a,AC=b,B=90（1）已知 a=8,b=10, 求 c. (c=6) （2）已知 a=5,c=12, 求 b (b=13) 注意：“ B为直角”这个条件。三、引申提高：例 2 如图 14.1.4 ，将长为5.41 米的梯子AC斜靠在墙上，长为2.16 米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离（精确到0.01 米）解如图 14.1.4 ，在 Rt 中， .米， . 米，根据勾股定理可得AC22222. . （米）答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离约为 4.96 米四巩固练习： 1 书本 P51.1.2 五课时小结：1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方2. 已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。六课堂作业：P55 2.3 14.1.1 直角三角形三边的关系（2）教学目标： 1. 用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。2会应用勾股定理解决实际问题教学重点： 利用勾股定理解决实际问题教学难点： 构造直角三角形求解。教学过程：一复习引入：1. 勾股定理的内容是什么？2. 一直角三角形中有两条边的长为1 和 2，求第三边。二体验勾股定理的几种探求方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页名师精编优秀教案试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形大正方形的面积可以表示为，又可以表示为对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论图 14.1.5 图 14.1.6 用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的由下面几种拼图方法，试一试，能否得出222cba的结论。（1）（2）（3）（4）（ 5）探究点拔： 1. 将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（ 2），（ 3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出222cba。2. 将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到222cba。3. 通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得222cba。三应用：例 1. 如图 , 为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使 ABC恰好为 Rt，通过测量， 得到 AC长 160 米， BC长 128 米，问从 A点穿过湖到点B有多远？解： RtABC中， AC=100 ，BC=128 ，根据勾股定理得:AB961281602222BCAC(米 ) 答：从 A点穿过湖到点B有 96 米。说明： 运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形。若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理。例 2 . 在一棵树的10 米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？解：设米米米，则)30(,302010 xBCACADxBD. Rt ABC中，222)30(20)10(xx解之得：.5x)(1510米树高x四引申提高：例 3有一个棱长为1 米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A 向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？cbacbacbacbacbaCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页名师精编优秀教案分析：最短路程为展开图中的5212AB米五小结： 1. 说明勾股定理成立时要有一定的拼图能力。2. 构造直角三角形， 将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理建立方程求解。六课堂作业：P53 练习 1.2 14.1.2直角三角形的判定教学目标： 1. 掌握直角三角形的判别条件。 2.熟记一些勾股数。能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。教学 重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。教学 难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题。教学过程：一 . 复习引入：1、 复习直角三角形的性质：角的性质、边的性质。2、 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？二、讲述新课：1、 古代埃及人作直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第4 个结和第8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第4 个结处。他们真的能够得到直角三角形吗？2、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13； 7，24，25； 8 ，15，17。（1）这三组数都满足222abc吗？（2） 分别以这三组树为三边长作出三角形，用量角器量一量， 它们都是直角三角形吗？3、从做一做中，你能猜想到什么结论？勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系222abc，那么这个三角形是直角三角形. 例 1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7 ， 24 ， 25 ； （2） 12 ， 35 ， 37 ； （3） 13 ， 11 ， 9 解因为 25222，222，BABA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页名师精编优秀教案222，所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（ 2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（ 3）的数为边长的三角形不是直角三角形4、勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。练习： 在一根长为180 个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60 个单位、 45 个单位和75 个单位的三段线段。自己握住绳子的两个端点（A点和 D点），两名同伴分别握住B点和 C点，一起将绳子拉直，会得到一根什么形状？为什么？记住常用的勾股数能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数，32+42=523、4、 5 是一组勾股数同理 6 、8、10 是一组勾股数，5、12、 13 也是一组勾股数；此外，还可用下面的方法产生无数组勾股数：由例2 a=n2-1 b=2n c=n2+1 n=2 a=3 b=4 c=5 n=3 a=8 b=6 c=10 n=4 a=15 b=8 c=17 三、随堂练习：1、P54练习 1.2 题四、小结：（1）只要有两边的平方和等到于第三边的平方，这样的三角形是直角三角形，简记为：a2+b2=c2C=900 （2）应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较；（3）常用的勾股数有3、4、5、； 6、 8、10； 5、12、 13 等。（4）判定一个直角三角形，我们除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用今天的勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用；（5）在定理中出现的a、b、c 并不是固定的，要理解其实质；五、布置作业：P55 5.6 勾股定理的应用（一）一、教学目标1、会用勾股定理解决简单的实际问题。2、树立数形结合的思想。二、重点、难点1、重点：勾股定理的应用。2、难点：实际问题向数学问题的转化。3、难点的突破方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页名师精编优秀教案数形结合， 从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中， 注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白； 优化训练，在不条件、 不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用三. 举例例 1 如图 14.2.1 ，一圆柱体的底面周长为20cm ，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程图 14.2.1 分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2 ），得到矩形 D，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线 AC之长（精确到. cm）图 14.2.2 解如图 14.2.2 ，在 Rt中，底面周长的一半cm ， AC22BCAB22104229（cm）（勾股定理）答： 最短路程约为cm 例 2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 图 14.2.3 分析 由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH 如图 . . 所示，点D在离厂门中线0.8 米处，且CD ，与地面交于H解在 RtOCD 中，由勾股定理得22ODOC228.01 . 米，C . . . （米）. （米）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页名师精编优秀教案因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门四. 随堂练习： 1、 P58练习 1.2 题五、作业课本 P60习题第 1 2 3题勾股定理的应用（二）一、教学目标1、会用勾股定理解决较综合的问题。2、树立数形结合的思想。二、重点、难点1、重点：勾股定理的综合应用。2、 难点：勾股定理的综合应用。教学过程：一. 举例例 3 如图 14.2.5 ，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1） 从点 A出发画一条线段，使它的另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出所有的以（1）中的为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数分析 只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求图 14.2.5 图 14.2.6 解（1） 图 14.2.6中长度为22（2） 图 14.2.6中、 D就是所要画的等腰三角形例 4 如图 14.2.7 ， 已知 CD m ， AD m ， ADC ， BC m ， m 求图中阴影部分的面积图 14.2.7 解在 RtADC中，AC22222（勾股定理）， AC m 22222， ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b 、 c 有关系： a2b2 c2，那么这精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师精编优秀教案个三角形是直角三角形）， S 阴影部分ACB ACD 1/2 1/2 （m2）二、随堂练习P60练习 1 2题三 作业 P60习题 4 5 6题回顾与思考教学目标1知识目标 ：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。2能力目标 ：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。3德育目标 ：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。教学重点： 掌握勾股定理及其逆定理。教学难点： 准确应用勾股定理及其逆定理。教具准备： 投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等教学方法： 启发式教育教学过程一、回顾与思考 1直角三角形的边存在着什么关系？ 2直角三角形的角存在着什么关系？ 3直角三角形还有哪些性质？4如何判断一个三角形是直角三角形？ 5你知道勾股定理的历史吗？三、讲例问题： 如图，一个3m长的梯子 AB ，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为 2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端B也外移 0.5m 吗？（留几分钟的时间给学生思考）分析： 1、求梯子的底端B距墙角 O多少米？ 2、如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m 至 C ，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动0.5 米吗？（2）能否求出OD的长？解：根据勾股定理，在RtOAB中， AB=3m ，OA=2.5m ，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75 。OB 1.658m； 在 Rt OCD 中， OC=OA-AC=2m， CD=AB=3m， OD2=CD2-OC2= 32-22=5。 OD 2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移 0.58m。例 2 议一议 P19 拼图与勾股定理观察图 2 验证： c2a2b2证明：大正方形面积可表示为c2，也可以表示为21ab4（ ba）2 所以 c221ab 4（ ba）2B O A B D C A O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页名师精编优秀教案2ab b2 2aba2a2 b2 故 c2a2十 b2 例 3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与 BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸： AD 4，AB 3，DB 5，DC 12，BC 13，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ABC和 DBC是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。解：在 ABC中， AB2AD2324291625BD2 所以 ABC为直角三角形，A90在 DBC中， BD2DC2 52 12225144169132BC2 所以 DBC是直角三角形，CDB 90因此这个零件符合要求。四、随堂练习一、判断题。 1由于 0.3 ，0.4 ， 0.5 不是勾股数，所以以0.3 ，0.4 ，0.5 为边长的三角形不是直角三角形（） 2由于以0.5 ，1.2 ，1.3 为边长的三角形是直角三角形，所以0.5 ，1.2 ，1.3 是勾股数（）二、填空题。 1已知三角形的三边长分别为5cm ，12cm，13cm，则这个三角形是 2 ABC中， C 90， B30， AC1，以 BC为边的正方形面积为 3三条线段m 、n、 p 满足 m2一 n2 p2，以这三条线段为边组成的三角形为三、选择题。 1分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、 17；（ 4）4、 5、6 其中能构成的直角三角形的有（）。 A4 组 B3 组 C2组 Dl 组 2三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b 都是正整数），则这个三角形是（） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定三 作业1已知 a 、b、c 是三角形的三边长，a 2n22n， b2n 1，c2n2 2n1（ n 为大于 1的自然数）。试说明LABC为直角三角形。 2若三角形ABC的三边 a、b、c 满足 a2b2c2十 33810a24b 26c 试判断 ABC的形状。 3在等腰 ABC中，BAC 90，P为 ABC内一点， PA l ，PB 3，PC27，求 CPA的大小。 4四边形 ABCD中 A90， AB 4cm ， AD 3cm，CD 12cm ，BC13CC ，求 S四边形 ABCD D B A 3 4 5 12 C 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师精编优秀教案第 14 章 勾股定理单元复习教学目标：1 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2.如果三角形的三边长a、b、c 有 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；3、勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用。教学重点：勾股定理的应用教学难点：实际问题向数学问题的转化教学过程：一、创设情境引入新课想一想：1 直角三角形有那些特征？( 学生分组探讨 ) （1）一般三角形具有的特征它都有。（2） 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2 直角三角形有那些识别方法？( 学生分组探讨) （1）有一个角是直角的三角形。（2） 两个角互余的三角形。（3） 如果三角形的三边长a、b、c 有关系 a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形。3 你能说几组勾股数呢？( 学生互相交流 ) 3、4、5； 5、 12、13; 7 、24、25； 8 、15、 17; 9 、40、41. 二、合作交流自主探索如图， 以 RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为123SSS，请同学们想一想123SSS，之间有何关系呢？联想（1） 若以 RtABC的三边为直径作半圆，其面积分别为123SSS，请同学们想一想123SSS，之间有何关系呢？（2）若以 RtABC的三边为边作等边三角形，其面积分别为123SSS，请同学们想一想123SSS，之间有何关系呢？探究 2 如图， 一个 3m长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时 AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端 A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移 0.5m 吗？解：根据勾股定理，在Rt OAB中， AB=3m ，OA=2.5m ， OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75 。OB 1.658m；在 RtOCD 中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。 OD 2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.658 0.58m ABC3S2S1SB D C A O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师精编优秀教案如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移 0.58m。探究 3 . 如图沿 AE折叠矩形，点D恰好落在 BC 边上的点F处，已知AB =8cm，BC = 10cm，求 EC的长 . 解：点 F、D关于 AE对称 AFE AD E AF=AD ，EF =ED AFE = ADE 四边形ABCD 是矩形BC=AD AB =CD C = ADE =900 又 AB =8cm BC =10cm AF=10cm CD =8cm 在Rt ABF 中 BF= FC =4cm 设 EC =xcm 则 DE=EF= （8-x ）cm 在 CFE 中，EF2=EC2+FC2 （8-x ）2 = x2+42 解得 x=3 答： EC的长为 3cm. 探究 4 有一个水池 , 水面是一个边长为10 尺的正方形 , 在水池正中央有一根新生的芦苇, 它高出水面 1 尺. 如果把这根芦苇拉向岸边, 它的顶端恰好到达岸边的水面, 请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 探究 5 如图，公路MN和小路 PQ在点 P处交汇，且QPN=30 ，点 A处有一所学校，AP=160m ，假设拖拉机行驶时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上以 18km/h 的速度沿 PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间？P M N Q A C B 5尺1尺x水池A B F C D E 68102222ABAF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师精编优秀教案三、随常练习巩固新知1 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8 厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是_平方厘米2 根据下列条件，分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形（1）a=7, b=24, c=25. （2）a=m2-n2，b=2mn, c=m2+n2. （m ，n 是正整数，且m n） ABC是直角三角形吗？请说明理由3 已知，如图，长方形ABCD中， AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B与点 D重合，折痕为EF ，则 ABE的面积为多少？四、课堂小结1 你能说说出本章的知识结构吗？2 本节课有什么收获，请你谈谈？五、作业布置1 国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m ，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高2 园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB米，4BC米，12CD米，13DA米，且ABBC，这块草坪的面积是多少？3 在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘 A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问：这棵树有多高? A B E F D C 直角三角形勾股定理应用判定直角三角形的一种方法B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页