2022年初三数学圆知识点复习专题经典 2.pdf

1 圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点 B在圆上；3、点在圆外dr点 A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rddCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页2 drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr；外切（图 2）有一个交点dRr；相交（图 3）有两个交点RrdRr；内切（图 4）有一个交点dRr；内含（图 5）无交点dRr；图 1rRd图3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可图 2rRd图4rRd图 5rRd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页3 推出其它 3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC弧BD练习 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧练习 2、垂径定理1、 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB 是_cm. 2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是48cm，OEDCBAOCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页4 那么油的最大深度为 _cm. 3、如图，已知在O中，弦CDAB，且CDAB，垂足为H，ABOE于E，CDOF于 F .（1）求证：四边形OEHF是正方形 . （2）若3CH，9DH，求圆心O到弦AB和CD的距离 . 4、已知：ABC 内接于O，AB=AC ，半径 OB=5cm ，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长5、如图， F 是以 O 为圆心， BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点， AD BC 于 D，求证： AD=21BF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页5 练习 3、度数问题1、 已知：在O中，弦cm12AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径 . 2、已知：O 的半径1OA，弦 AB、AC 的长分别是2 、3.求BAC的度数。练习 4、相交问题OABDEFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页6 如图，已知 O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm ，EB=2cm ， BED=30 ，求 CD 的长. 练习 5、平行问题在直径为 50cm 的O 中，弦 AB=40cm ，弦 CD=48cm ，且 AB CD，求：AB 与 CD 之间的距离 . 练习 6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于 C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD. A B D C E O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页7 练习 7、平行与相似已知：如图，AB是O的直径，CD是弦，于CDAEE，CDBF于F. 求证：FDEC. 六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF； 弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACBFEDCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页8 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或90C90CAB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【练习 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【2】如图，已知 O 中，AB 为直径， AB=10cm ，弦 AC=6cm ， ACB 的平分线交 O 于 D，求 BC、AD 和 BD 的长DCBAOCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页9 【3】如图所示，已知AB 为O 的直径， AC 为弦， OD BC，交 AC 于 D，BC=4cm （1）求证： AC OD；（2）求 OD 的长； （3）若 2sinA1=0，求O 的直径【4】四边形 ABCD 中，AB DC，BC=b，AB=AC=AD=a ，如图，求BD的长【5】如图 1，AB 是半O 的直径，过 A、B 两点作半O 的弦，当两弦交点恰好落在半O 上 C 点时，则有 AC ACBC BC=AB2（1）如图 2，若两弦交于点 P 在半O 内，则 AP ACBP BD=AB2是否成立？请说明理由（2）如图 3，若两弦 AC、BD 的延长线交于 P 点，则 AB2= 参照（ 1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页10 填写相应结论，并证明你填写结论的正确性八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDD A EC练习 1、如图 7-107，O 中，两弦 AB CD，M 是 AB 的中点，过 M 点作弦 DE 求证： E，M ，O ，C四点共圆九、切线的性质与判定定理EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页11 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理： 切线垂直于过切点的半径 （如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA利用切线性质计算线段的长度练习 1：如图，已知： AB 是O 的直径， P 为延长线上的一点， PC 切O 于 C，CD AB 于 D，又 PC=4，O 的半径为 3求： OD 的长NMAOPBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页12 利用切线性质计算角的度数练习 2：如图，已知： AB 是O 的直径， CD 切O 于 C，AE CD 于 E，BC 的延长线与 AE 的延长线交于 F，且 AF=BF 求：A 的度数利用切线性质证明角相等练习 3：如图，已知： AB 为O 的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、N求证：MCN= MDN利用切线性质证线段相等练习 4：如图，已知： AB 是O 直径， CO AB，CD 切O 于 D，AD 交 CO 于 E求证： CD=CE 利用切线性质证两直线垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页13 练习 5：如图，已知：ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径作O，交 BC 于 D，DE 切O 于 D，交 AC 于 E求证： DE AC十一、圆幂定理（选学）（1） 相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点 P ，PA PBPC PD（2） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线， PB是割线2PAPC PB（4） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。PODCBAOEDCBADECBPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页14 即：在O中，PB、 PE是割线PC PBPD PE练习1.如图1，正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆O，过 A 作半圆切线，切点为F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。练习2.O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE6cm，BE2cm，CD7cm，求：CE 的长图2 练习3.如图3，P 是O 外一点， PC 切O 于点 C，PAB 是O 的割线，交 O 于 A、B 两点，如果 PA：PB1：4，PC12cm ，O 的半径为 10cm，求圆心 O 到 AB 的距离图3 练习4.如图4，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D， （1）求证：； （2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD 的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页15 图4 练习5.如图5，PA、PC 切O 于 A、C，PDB 为割线。求证： AD BCCD AB 图5 练习6.如图6，在直角三角形 ABC 中， A90，以AB 边为直径作 O，交斜边 BC 于点 D，过 D 点作O 的切线交 AC 于 E。求证： BC2OE 。图6 十二、两圆公共弦定理（选学）圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO 垂直平分AB。即：1O 、2O 相交于A、B两点12OO 垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1） 公切线长：12RtO O C中，22221122ABCOOOCO；BAO1O2CO2O1BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页16 （2）外公切线长：2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1） 、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。（2） 、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3） 、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。（4） 、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。（5） 、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。（6） 、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。2、正多边形的对称性（1） 、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。（2） 、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。（3） 、正多边形的画法360n中心角7）设正多边形的边长为 a, 半径为R,，边心距为 r, 周长为 L=na. 面积S=1/2 L r( 常用的辅助线，半径为 R ，边心距为 r，边长 a的一半 ) 2211222rSLrnaraR，（ ）边心距（ ）边心距面积边心距（ ）DCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页17 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。3 正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3:2OD BD OB；4 正四边形同 理 ， 四 边 形 的 有 关 计 算 在RtOAE中 进 行 ，:1:1:2OEAE OA：5 正六边形同 理 ， 六 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAB中 进 行 ，:1:3: 2AB OB OA.练习一填空题1 在一个圆中，如果60的弧长是 ，那么这个圆的半径r=_. 2 正 n 边形的中心角的度数是_. 3 边长为 2 的正方形的外接圆的面积等于_. 4 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_. 练习二选择题5正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）. （A）两角互余（ B）两角互补（ C）两角互余或互补（ D）不能确定6圆内接正三角形的边心距与半径的比是（）. （A）2：1 （ B）1：2 （C）4:3（D）2:37正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（）（A）43（ B ）23（C ）21（D）418在四个命题： （1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（）ECBADOBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页18 （A）1 （B） 2 （C）3 （D）4 9已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a，以 B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影部分面积为（）. （A） （ 1- ）a2（B）1- （C）44（ D ）44a2 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形： （1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h3 .圆锥侧面展开图（1） SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr hSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页19 练习一 1 如图， OAB是以 6cm为半径的扇形，作 CAO 90交弧 AB于点 A交 OB的延长线于点 C,如果弧 AB的长等于3cm,AC=4cm, 则图中阴影部分的面积为（）A.15cm2 B.6 cm2 C. 4 cm2 D. 3 cm22，如图， AB是 0 的直径， C、D是 AB上的三等分点，如果O 的半径为 l ，P是线段 AB上的任意一点， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A/3 B/6 c/2 D2/3 3 图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池。若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为 ( ) A 12m B18m C20m D24m 4 如图， AB是O的直径，点 D、E是半圆的三等分点， AE 、BD的延长线交于点 C，若 CE=2 ，则图中阴影部分的面积是( ) A.334 B.32 C.332 D.315 如图，扇子的圆心角为，余下扇形的圆心角为，为了使扇子的外形美观，通常情况下 与 的比按黄金比例设计，若取黄金比为06，则 = 度5 题6题7 题8 题9 题6 如图， ABCD 是各边长都大于 2 的四边形，分别以它的顶点为圆心、1 为半径画弧（弧的端点分别在四边形的相邻两边上） ，则这 4 条弧长的和是 _ 7 如图，墙 OA 、OB的夹角AOB 120o，一根 9 米长的绳子一端栓在墙角O处，另一端栓着一只小狗，则小狗可活动的区域的面积是米2。 （结果保留 ） 。8 如图 4，将正方形 ABCD 中的ABP绕点 B顺时针旋转能与 CBP ，重合，若 BP=4 ，则点 P所走过的路径长为9 如图，在 RtABC中，已知 BCA=90o ，BAC=30o ， AB=6cm 。把ABC以点 B为中心逆时针旋转，使点C旋转到 AB边的延长线上的点 C 处，那么 AC边扫过的图形 ( 图中阴影部分 )的面积是 _cm2( 不取近似值 ) 。OACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页20 十六，圆内接多边形1， 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2， 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆. 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心; 外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.到三个顶点的距离相等这个三角形叫做这个圆的内接三角形十七，三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。中考真题如图，在 RT ABC 中 ABC=90 ，斜边AC 的垂直平分线交BC 与 D 点，交 AC 与 E 点，连接BE （1）若 BE 是 DEC 的外接圆的切线，求 C 的大小（2）当 AB=1,BC=2 是求 DEC 外接圆的半径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页