2022年初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案185 .pdf

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。2yaxbxcabc，0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数0abc，的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2xx是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2ya xh左加右减。的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，轴y时，随的增大而增大；时，0 xyx0 x随的增大而减小；时，有最小yx0 xy值00a向下00，轴y时，随的增大而减小；时，0 xyx0 x随的增大而增大；时，有最大yx0 xy值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，轴y时，随的增大而增大；时，0 xyx0 x随的增大而减小；时，有最小yx0 xy值c0a向下0c，轴y时，随的增大而减小；时，0 xyx0 x随的增大而增大；时，有最大yx0 xy值c的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小yxxhy值0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页4. 的性质：2ya xhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk， 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk，(h0)(h0)(k0)(h0)(h0)(k0)(k0)|k|y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移；值正上移，负下移” hk概括成八个字“左加右减，上加下减” 四、二次函数与的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得2ya xhk2yaxbxc到前者，即，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，六、二次函数的性质2yaxbxc1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a2bxa2424bacbaa，0a向下0h，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大yxxhy值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小yxxhy值k0a向下hk，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大yxxhy值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页当时，随的增大而减小；2bxayx当时，随的增大而增大；2bxayx当时，有最小值2bxay244acba2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，0a2bxa2424bacbaa，2bxa随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值yx2bxayx2bxay244acba七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，） ；2yaxbxcabc0a2. 顶点式：（，为常数，） ；2()ya xhkahk0a3. 两根式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数x240bac解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0aaa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大0aaa2. 一次项系数 b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴（同左异右b 为 0 对称轴为y 轴）ab3. 常数项 c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0cyxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0cyy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负0cyxy总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 .20axbxc2yaxbxc0y图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元240bacx1200A xB x，12()xx12xx，二次方程的两根 . 200axbxca 当时，图象与轴只有一个交点；0 x 当时，图象与轴没有交点 .0 x当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10axx0y当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有20axx0y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；2yaxbxcy(0)c二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是( )247yxxA.(2, 11) B.（ 2，7） C.（ 2，11） D. （2， 3）2. 把抛物线向上平移1 个单位，得到的抛物线是（）22yxA. B. C. D. 22(1)yx22(1)yx221yx221yx3. 函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )2ykxk(0)kykx4. 已知二次函数的图象如图所示, 则下列结论 : a,b 同号; 2(0)yaxbxc a当和时, 函数值相等 ; 当时, 的值只能取0. 其中正1x3x40ab2yx确的个数是 ( ) A.1 个 B.2个 C. 3个 D. 4个5. 已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2 ）及部分图象 ( 如图 ), 由2(0)yaxbxc a图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（x20axbxc121.3xx和） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（2yaxbxc(,)ac bc）A第一象限 B第二象限C第三象限 D 第四象限7. 方程的正根的个数为（）222xxxA.0 个 B.1个 C.2个. 3 个8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为yA. B. 22yxx22yxxC. 或 D. 或22yxx22yxx22yxx22yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页二、填空题9二次函数的对称轴是，则_。23yxbx2xb10已知抛物线y=-2 （x+3 ）2+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 _.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当0 时，函数值随自变量的增大而xyx增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） 。12抛物线的顶点为 C，已知直线过点 C，则这条直线与两坐标轴所围22(2)6yx3ykx成的三角形面积为。13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移22241yxx22yxbxc个单位得到的,则 b= ,c= 。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是40 米，在线段AB上离中心M处 5 米的地方，桥的高度是( 取 3.14).三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是, 图象经过 (1,-6),且与轴的交点为 (0,).30 xy52(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0?(3) 当 x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值随 x 的增大而增大 ?y16. 某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t （秒）符合关系式（0t2） ，其2012hv tgt中重力加速度g 以 10 米/ 秒2计算这种爆竹点燃后以v0=20 米/ 秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？（2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 第 15 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页17. 如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交2yxbxc3yx点 A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.x（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4 的点 PAPCSACDS的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加 7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元设每吨材料售价为x（元） ，该经销店的月利润为y（元）（1）当每吨售价是240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围） ；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说： “ 当月利润最大时，月销售额也最大” 你认为对吗？请说明理由二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系： y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0 x30). （1）当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？2、如图 ,已知 ABC 是一等腰三角形铁板余料 ,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件DEFG,使 EF在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页问矩形 DEFG 的最大面积是多少 ?FEBGDCA3、如图 , ABC 中, B=90,AB=6cm,BC=12cm. 点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm 的速度移动 ;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm的速度移动 .如果 P,Q 同时出发 ,问经过几秒钟 PBQ 的面积最大 ?最大面积是多少 ?BQCPA4、如图，一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度3.5 米，然后准确落入篮圈 .已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少 .4 m(0,3.5)3.05 mx yO5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数 )道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较 (1)(2)的结果，你能得到什么结论？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页x6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价 x(元)满足关系： m=1402x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价 x 间的函数关系式 ;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？二次函数专题复习图像特征与 a、b、c、符号的关系1、已知二次函数，如图所示，若，那么它的图象大致是（2yaxbxc0a0c）y y y yx x x xA B C D2、已知二次函数的图象如图所示，则点在 （ ）2yaxbxc(,)ac bcA第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限3、已知二次函数的图象如下，2yaxbxc=+则下列结论正确的是（）A B 0ab 0bc 0abc-+0；c0；b2-4ac0，其中正确的个数是（）A0 个B1 个C2 个D3 个5、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 1，则点 M（b，）ca在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6、二次函数的图象如图所示，则（）2yaxbxcA、，B、，0a240bac0a240bacC、，D、，0a240bac0a240bac7、已知二次函数y=ax+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）2A、ac0 B、a-b+c 0 C、 b=-4a D、关于 x 的方程 ax+bx+c=0 的根是x1=-1，x2=528、已知二次函数y=ax+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：2b-4ac0；2abc0；8a+c 0；9a+3b+c0其中，正确结论的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4二次函数对应练习试题参考答案一，选择题、1A 2 C 3 A 4 B 5D 6 B 7 C 8 C 二、填空题、 9 10 -3 11 如等（答案不唯一）4bx224,24yxyx121 13-8 7 1415三、解答题15(1) 设抛物线的解析式为, 由题意可得2bxcyax32652baabcc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页解得所以15,3,22abc215322yxx(2)或-5 (2)1x3x16 （1）由已知得，解得当时不合题意，舍去。所以当爆211520102tt123,1tt3t竹点燃后1 秒离地 15 米 （2）由题意得，可知顶点的横坐标2520htt25(2)20t，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升2t17 （1）直线与坐标轴的交点A（3，0） ，B（ 0， 3） 则解得3yx9303bcc23bc所以此抛物线解析式为 （2）抛物线的顶点D（1， 4） ，与轴的另一个交点223yxxxC（ 1， 0）. 设 P，则. 化简得2( ,23)a aa211(423) :(44)5 :422aa2235aa当0 时，得P（4，5）或 P（ 2，5）223aa2235aa4,2aa当0 时，即，此方程无解综上所述，满足条件223aa2235aa2220aa的点的坐标为（4，5）或（ 2，5） 18 （1）=60（吨） （ 2），化简得：5.71024026045260(100)(457.5)10 xyx （3）23315240004yxx24000315432xxy23(210)90754x红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210 元（4）我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额来说，)5. 71026045(xxW23(160)192004x当 x 为 160 元时，月销售额W最大当x 为 210 元时，月销售额W不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为17325 元；而当 x 为 200 元时，月销售额为18000 元 17325 18000， 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对二次函数应用题训练参考答案1、 （1）0 x13，13x30；（2）59；（3）13. 2、过 A 作 AM BC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=16cm.222012设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由 ADG ABC,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页故,即,故 DG=(16-x).ANDGAMBC161624xDG32 y=DGDE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96,323232从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形 DEFG 的最大面积是 96cm2.3、设第 t 秒时, PBQ 的面积为 ycm2.则 AP=tcm, PB=(6-t)cm;又 BQ=2t. y=PBBQ=(6-t)2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,1212当 t=3 时,y 有最大值 9.故第 3 秒钟时 PBQ 的面积最大 ,最大值是 9cm2.4、解： (1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.由图知图象过以下点： (0，3.5)，(1.5，3.05).5.3, 0, 2.0,5.15 .105.3,5 .3,022cbacbacab得抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05) m,h+2.05=0.2(2.5)2+3.5,h=0.2(m).5、解： (1)依题意得鸡场面积 y=.350312xxy=x2+x=(x250 x)3135031=(x25)2+,313625当 x=25 时，y最大=,3625即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为m2.3625(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.nx50y=x=x2+xnx50n1n50=(x250 x) =(x25)2+,n1n1n625当 x=25 时，y最大=,n625即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为 m2.n625结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页6、解： (1)y=2x2+180 x2800.(2)y=2x2+180 x2800=2(x290 x)2800=2(x45)2+1250.当 x=45 时，=1250.y最大每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页