2022年初中与高中数学公式大全 .pdf

读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思初中数学公式大全几何公式： 1、多边形内角和公式： n 边形的内角和等于 (n 2)180o（n3，n 是正整数），外角和等于360o 2、平行线分线段成比例定理：（1）平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线， 所得的对应线段成比例。如图： abc，直线 l1 与 l2 分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C D、E、F，则有：（图 1）（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例。如图： ABC中，DE BC ，DE与 AB 、AC相交与点 D、E，则有：（图2） （图 3）3、直角三角形中的射影定理：如图：RtABC 中， ACB 90o，CDAB于 D，则有：（图 4）（图 5） 4 、圆的有关性质：（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的-任意两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；-平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备，时，弦不能是直径（2）两条平行弦所夹的弧相等（3）圆心角的度 -数等于它所对的弧的度数（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（5）圆周-角等于它所对的弧的度数的一半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（6）同弧或等 -弧所对的圆周角相等（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（8）90o的圆周角 -所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90o，直径是最长的弦（9）圆内接四边形的对角互补5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点三 -角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心就是三边中垂线的交点常见结论：（ 1）RtABC的三条边分别为： a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆的半径-（图 6）；（2）ABC的周长为（图 7-0），面积为 S，其内切圆的半径为r ，则（图 7）；6、弦切角定理及其推论：（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图： PAC 为弦切角。（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果 AC是O的弦， PA是O的切线， A为切点，则（图 8）推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果 AC是O的弦， PA是O的切线， A为切点，则（图 9）（图 10）7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：相交弦定理： 圆内的两条弦相交， 被交点分成的两条线段长的积相等。如图，即：PA PB = PCPD 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即： PA PB = PCPD 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思条线段长的比例中项。如图，即：PC2 = PAPB （图 11）8、面积公式：S正-（图 12）-(边长)2- S平行四边形底高S菱形底高 -（图 13）-( 对角线的积 ) ，（图 14）-S圆R2 l 圆周长 2R 弧长 L-（图 15）- （图 16）S圆柱侧底面周长高 2rh，S全面积 S侧S底2rh2r2 S圆锥侧-底面周长母线 rb， S 全面积 S侧S 底rb r2 数学公式1、整数 ( 包括：正整数、 0、负整数 ) 和分数 (包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数如： 3，- （图 17）-，0.231 ，0.737373，-（图 18）-，-（图19）-无限不环循小数叫做无理数-如：，（图 20）-，0.1010010001( 两个 1 之间依次多 1 个 0) 有理数和无理数统称为实数2、-绝对值： a0-（图 21）-丨 a 丨a；-a0（图 21）- 丨 a 丨 a如：丨-（图 22）-丨-（图 22）-；丨 3.14 丨3.143、一个近似数，从左边笫一个不是0 的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个 -近似数的有效数字如： 0.05972 精确到 0.001 得 0.060，结果有两个有效数字 6，04、把一个数写成 a10n-的形式 (其中 1a10，n 是整数 )，这种记数法叫做科学记数法如： 407004.07 105，0.000043-4.3 1055、乘法公式 (反过来就是因式分解的公式) ：(a b)(a b)a2b2(ab)2a22abb2-(ab)(a2 abb2) a3b3(ab)(a2 abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab，(a b)2(a b)24ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思6、 幂的运算性质：-am anam n am anam n (am)namn (ab)nanbn( （图 23）-)n-n-an（图 24），特别： ( -（图 23）-) n( -（图 25）-)n-a01(a0)如： a3a2a5，a6a2a4，(a3)2 a6，(3a3 - )327a9，( 3) 1-（图 26）-，52-（图 27）-（图 28）-，-(（图 29）-) 2(-（图30）-)2-（图 31）-，( 3.14) o1，-( - （图 22）（图 18）-)0 17、二次根式：- (-（图 32）-)2a- (a0) ，-（图 34）-丨 a 丨，-（图35-0）-（图 32）-（图 33）-，-（图 35）-（图 36）-(a0，b0) -如：- (3 -（图 20）-)2 45-（图 37）-6a0 时，-（图 38）- a- （图 33）-（图 39）-的平方根 4 的平方根 2（平方根、立方根、算术平方根的概念）8、一元二次方程：对于方程：ax2bxc0：求根公式是 x-（图 40）-，其中- b24ac 叫做根-的判别式当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 0 时，方程有两个相等的实数根；当- 0 时，方程没有实数根注意：当0 时，方程有实数根若方程有两个实数根x1 和 x2，并且二次三项式ax2bxc 可分解为 a(x x1)(x x2) 以 a 和 b 为根的一 -元二次方程是- x2(ab)x ab09、 一次函数 ykxb(k 0)的图象是一条直线 (b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标即一次函数在 y 轴上的截距 ) 当 k0 时，y-随 x 的增大而增大 ( 直线从左向右上升) ；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 ( 直线从左向右下降 ) 特别：当 b0时，ykx- (k 0)又叫做正比例函数 (y 与 x 成正比例 )，图象必过原点10、反比例函数 y- - (k 0) 的图象叫做双曲线当k0 时，双曲线在一、三象限( 在每一象限内，从左向右降 ) ；当 k0 时，双曲线在二、四象限 (在每一象限内，从左向右上升 ) 因此，它的增减性与一次函数相反11、统计初步：（ 1）概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体 从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量 在一组数据中， 出现次数最多的数 ( 有时不止一个 )，叫做这组数据的众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数 )叫做这组数据的中位数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）公式：设有 n 个数-x1，x2， xn-，那么：平均数为：（图41）；极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值 - 最小值；方差：数据（图 44），则 =（图 42）标准差：方差的算术平方根. 数据（图 45），则 =（图 43）一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。12、频率与概率：（1）频率 = ，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。（2）概率如果用 P表示一个事件 A发生的概率，则 0P（A）1；P（必然事件） =1；P（不可能事件） =0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；13、锐角三角函数：设 A是 RtABC的任一锐角，则 A 的正弦： sinA -， A 的余弦： cosA- -，A的正切： tanA- 并且 sin2Acos2A10sinA 1，-0cosA1，-tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思余角公式： sin(90 oA)cosA，-cos(90 oA)sinAh l 特殊角的三角函数值：sin30 ocos60o- -，sin45 ocos45o- -，sin60ocos30o- -， tan30 o ，tan45o1，tan60o- 斜坡的坡度：- i - - -设坡角为 ，则 i tan - -14、平面直角坐标系中的有关知识：（1）对称性：若直角坐标系内一点P （a，b），则 P关于 x 轴对称的点为 P1 （a，b），P关于 y 轴对称的点为 P2（a，b），关于原点对称的点为P3（a，b）. （2）坐标平移：若直角坐标系内一点P （a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为P（ah，b），向右平移 h 个单位，坐标变为 P （ah，b）；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh），向下平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh）. 如：点 A（2，1）向上平移 2 个单位，再向右平移5 个单位，则坐标变为A（7，1）. 15、二次函数的有关知识：1. 定义：一般地，如果是常数，那么 叫做 的二次函数 . 2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于轴（或重合）的直线记作 . 特别地，轴记作直线 . 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当 时开口向上当 时开口向下（ 轴）（0,0 ）（ 轴）(0, ) ( ,0) ( , ) ( ) 4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线 . （2） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为 ( , ) ，对称轴是直线 . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为：9. 抛物线 中， 的作用（1） 决定开口方向及开口大小，这与中的 完全一样 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线的对称轴是直线，故： 时，对称轴为轴； （即 、 同号）时，对称轴在轴左侧； （即 、异号）时，对称轴在轴右侧 . （3） 的大小决定抛物线与 轴交点的位置 . 当 时， ，抛物线与 轴有且只有一个交点（ 0， ）： ，抛物线经过原点 ; , 与 轴交于正半轴； , 与 轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时， 仍成立 . 如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： . 已知图像上三点或三对、 的值，通常选择一般式 . （2）顶点式： . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、 ，通常选用交点式： . 12. 直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线得交点为 (0, ). （2）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、 ，是对应一元二次方程的两个实数根 . 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 ( ) 抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上） ( ) 抛物线与轴相切；没有交点 ( ) 抛物线与轴相离 . （3）平行于轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思标为 ，则横坐标是的两个实数根 . （4）一次函数的图像 与二次函数的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与 有两个交点 ; 方程组只有一组解时与 只有一个交点；方程组无解时与 没有交点 . （5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与 轴两交点为，则乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b| |a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b-bab |a-b| |a|-|b| -|a|a|a| 一元二次方程的解 -b+ (b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h 圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注：其中 ,S 是直截面面积， L 是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 高中数学公式总结1集合元素具有确定性互异性无序性2集合表示方法列举法描述法韦恩图数轴法3集合的运算 A(BC)=(AB)(AC) Cu(AB)=CuA CuB Cu(AB)=CuA CuB 4集合的性质n 元集合的子集数： 2n 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思真子集数： 2n-1；非空真子集数： 2n-2 高中数学概念总结一、 函数1、 若集合 A中有 n 个元素，则集合 A的所有不同的子集个数为，所有非空真子集的个数是。二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即， 和 （顶点式）。2、 幂函数 ，当 n 为正奇数， m为正偶数， mn时，其大致图象是3、 函数 的大致图象是由图象知，函数的值域是，单调递增区间是，单调递减区间是。二、 三角函数1、 以角 的顶点为坐标原点， 始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系， 在角 的终边上任取一个异于原点的点，点 P到原点的距离记为，则 sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。2、同角三角函数的关系中，平方关系是：， ， ；倒数关系是：， ， ；相除关系是：， 。3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：， = ， 。4、 函数 的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是 ，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。5、 三角函数的单调区间：的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。6、7、二倍角公式是： sin2 = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos2 = = = tg2 = 。8、三倍角公式是： sin3 = cos3 = 9、半角公式是： sin = cos = tg = = = 。10、升幂公式是：。11、降幂公式是：。12、万能公式： sin = cos = tg = 13、sin( )sin( )= ，cos( )cos( )= = 。14、 = ；= ；= 。15、 = 。16、sin180= 。17、特殊角的三角函数值：0 sin 0 1 0 cos 1 0 0 tg 0 1 不存在 0 不存在ctg 不存在 1 0 不存在 0 18、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思19、由余弦定理第一形式， = 由余弦定理第二形式， cosB= 20、ABC 的面积用 S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r 表示，半周长用 p 表示则： ； ； ； ； ；21、三角学中的射影定理：在ABC 中， ，22、在 ABC 中， ，23、在 ABC 中：24、积化和差公式： ， ， ， 。25、和差化积公式： ， ， ， 。三、 反三角函数1、 的定义域是 -1 ，1 ，值域是，奇函数，增函数；的定义域是 -1 ，1 ，值域是，非奇非偶，减函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的定义域是 R，值域是，奇函数，增函数；的定义域是 R，值域是，非奇非偶，减函数。2、当 ；对任意的，有：当 。3、最简三角方程的解集：四、 不等式1、若 n 为正奇数，由可推出 吗？ （ 能 ）若 n 为正偶数呢？（ 均为非负数时才能）2、同向不等式能相减，相除吗（不能）能相加吗？（ 能 ）能相乘吗？（能，但有条件）3、两个正数的均值不等式是：三个正数的均值不等式是：n 个正数的均值不等式是：4、两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是6、 双向不等式是：左边在 时取得等号，右边在时取得等号。五、 数列1、等差数列的通项公式是，前 n 项和公式是： = 。2、等比数列的通项公式是，前 n 项和公式是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3、当等比数列的公比 q 满足 0，=0，0）；扇形面积公式：；圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：；圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：。经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为，轴截面顶角是 ）：十一、比例的几个性质1、比例基本性质：2、反比定理：3、更比定理：5、 合比定理；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思6、 分比定理：7、 合分比定理：8、 分合比定理：高中数学公式诱导公式sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(pi/2-a)=cos(a) cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinA/cosA 两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos()sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=(tan(a)+tan(b)/(1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=(tan(a)-tan(b)/(1+tan(a)tan(b) 三角函数和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b)/2)sin(a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2)cos(a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2)sin(a-b)/2) 积化和差公式sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b) 二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 半角公式sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 万能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) 其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a2+b2)sin(a+c) 其中， tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a2+b2)cos(a-c) 其中， tan(c)=a/b 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a) 双曲函数sinh(a)=(ea-e(-a)/2 cosh(a)=(ea+e(-a)/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页