2022年初二三角形压轴题分类解析 2.pdf

B A O D C E 图 8 济南初中数学压轴-姜姜老师北师大版七年级下三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. （1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以AO 和 DO为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB和等边三角形 OCD，连结 AC和 BD，相交于点E，连结 BC求 AEB的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点 O 旋转（ OAB 和OCD不能重叠），求 AEB的大小 .同类变式 ： 如图 a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接 AF和 BE. (1) 线段 AF和 BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2) 将图 a 中的CEF绕点 C旋转一定的角度，得到图b，(1) 中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3) 若将图 a 中的 ABC绕点 C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c( 草图即可 )，(1) 中的结论还成立吗 ?作出判断不必说明理由. 图 c 3. 如图 9，若ABC和ADE为等边三角形，,M N分别为,EB CD的中点，易证：CDBE，AMN是等边三角形（1）当把ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请 说 明 理由图 9 图 10 图 11 C B O D 图 7 A E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 同类变式： 已知，如图所示， 在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE， 且点BAD， ，在一条直线上，连接BECDMN，分别为BECD，的中点（1）求证：BECD；ANAM；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）证明：ABG ADE ；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（ 0BAE180） ，设ABE的面积为1S，ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并给予证明5.已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论C G A E D B F 二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等1.如图，ABC 中，ACB90 ，ACBC，AE 是 BC 边上的中线， 过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC交 CF 的延长线于D求证：（ 1） AECD；（2）若 AC12 cm，求 BD 的长C F G E D B A H C E N D A B M 图C A E M B D N 图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2.（西安中考）如图(1), 已知 ABC中, BAC=900, AB=AC, AE是过 A的一条直线 , 且 B、C在 A、E的异侧 , BD AE于 D, CEAE于 E 。图 (1) 图(2) 图(3) (1) 试说明 : BD=DE+CE. (2) 若直线 AE绕 A点旋转到图 (2) 位置时 (BDCE), 其余条件不变 , 问 BD与 DE 、CE的关系如何 ? 写出结论 , 可不说明理由。3. 直线 CD经过BCA的顶点 C，CA=CB E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线 CD上，请解决下面两个问题：如图 1，若90 ,90BCA，则EFBEAF（填“” ， “”或“”号）；如图 2，若01 8 0B C A，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是；（ 2）如图 3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请探究EF 、与 BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 考点 2：利用角相等证明垂直1.已知 BE ，CF是ABC的高，且 BP=AC ，CQ=AB ，试确定 AP与 AQ的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰Rt ABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1) 求证： CD=BF ；(2) 求证： AD CF ；(3) 连接AF，试判断 ACF的形状 . 拓展巩固： 如图 9 所示， ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC边上的中线，过C作 AD 的垂线，交AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证： ADCBDE3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图 2，连接AE和GC.你认为（ 1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 4. 如图 1，ABC的边BC在直线l上，,ACBC且,ACBCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2 的位置时，EP交AC于点Q, 连接,AP BQ. 猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结,AP BQ, 你认为（ 2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成BACEFQPDA A B C D E F 图 9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 立，给出证明；若不成立，请说明理由. 三、等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1.如图，ABC 中，ABAC ，90BAC，D是 BC 中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与 AC交于F 求证：BEAF， AECF 2.两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，, ,E A C三点在一条直线上， 连结BD，取BD的中点M ，连结,ME MC试判断EMC的形状，并说明理由MEDCBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知 RtABC 中， ACBC ，90C，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC 、 CB （或它们的延长线）于E、F当EDF绕D点旋转到 DEAC 于E时 （如图 1） ， 易证12DEFCEFABCSSS 当E D F绕D点旋转到DE和 AC不垂直时， 在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立? 若成立，请给予证明； 若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明FEDCBA图1AECFBD图2AECFBD图33.已知：如图，ABC 中， ABC=45， CDAB 于 D，BE 平分 ABC，且 BE AC 于 E，与 CD相交于点F，H是 BC边的中点，连结DH与 BE相交于点 G。(1) BF=AC (2) CE =12BF (3)CE与 BC的大小关系如何。l (1) A B (F) (E) C P A B E C F P Q (2) l ABCDEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1.如图 1，四边形 ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E在 AB 边上滑动（点E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点F . 如图 141 ，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量DE，EF 的长度，猜想DE 与 EF 满足的数量关系是； 连接点 E与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明2. 在 RtABC中， ACBC ， ACB 90 ，D 是 AC的中点， DGAC交 AB 于点 G. （1）如图 1，E为线段 DC上任意一点，点F在线段 DG 上，且 DE=DF ，连结 EF与 CF ，过点 F作 FHFC，交直线AB 于点 H求证： DG=DC 判断 FH 与 FC的数量关系并加以证明（2）若 E为线段 DC的延长线上任意一点，点F在射线 DG上， (1)中的其他条件不变，借助图2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦）已知： ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60o角的顶点E在 BC上滑动，（点 E不与点 B、C 重合），斜边与 ACM 的平分线CF交于点 F（1）如图（ 1）当点 E在 BC边得中点位置时1猜想 AE与 EF满足的数量关系是. ADBCGE图 2 GHFEDCBA图 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2连结点E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是. 3请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？四、角平分线问题1. 如图： E在线段 CD上， EA 、EB分别平分 DAB和 CBA, AEB=90 , 设 AD x, BC y，且, x y满足2268250 xyxy（1）求 AD和 BC的长；（2）你认为 AD和 BC还有什么关系？并验证你的结论；（ 3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由. 2. 如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中， ACB是直角， B=60， AD、CE分别是 BAC 、 BCA的平分线， AD、CE相交于点 F。请你判断并写出FE与 FD之间的数量关系；（2）如图，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3. (北京市中考模拟题)如图， 在四边形 ABCD 中， AC 平分BAD，过 C 作CEAB于E，并且1()2AEABAD ，则ABCADC 等于多少？4. 如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DFAC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . 图（ 1）NFMCBAE图（ 2）FMCBAA C B D E EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图EDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 五、中点问题1. 在ABC中 , D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F, 交AC的平行线BG于点G。DEGF, 并交AB于点E. 连结EG. （1）求证 : BGCF；（2）请猜想BECF与EF的大小关系 , 并加以证明2.如右下图，在ABC 中，若2BC ， ADBC ，E为 BC 边的中点求证：2ABDEEDCBA3.已知ABC 中， ABAC ，BD为AB的延长线， 且BDAB，CE 为ABC 的AB边上的中线 求证2CDCE（提示：倍长中线试试）EDCBA附加思考题：以ABC 的两边AB、 AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰 Rt ACE ，90BADCAE.连接DE，M、 N 分别是 BC 、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系如图 当ABC 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是； 线段AM与DE的数量关系是；将图 中的等腰 RtABD 绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图 所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由图NMEDCBA图NMEDCBA24、已知：如图，矩形ABCD中点G为BC延长线上一点，连接,DGBHDGH于， 且G HD H， 点,E F分别在,AB BC上，且/EFDG 。（1）若3,2ADCG，求 DG 的长；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - （2）若 GFADBE，求证：12EFDG 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -