2022年初等函数典型例题 .pdf

例 1.已知 a=91,b=9. 求：（1）;315383327aaaa（2）111)(abba. 解： （1）原式 =3127a.3123aa21)38(21315a= 2167a)2534(=a21.a=91，原式 =3.（2）方法一化去负指数后解.1111)(111baababbaabbaabbaa=,9,91ba+b=.982方法二利用运算性质解.11)(11111111111ababbabbaaabbaa=, 9,91ba+b=.982变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1）;)(65312121132bababa（2）.)4()3(6521332121231bababa解： （1）原式 =. 100653121612131656131212131bababababa（2）原式 =-.4514545)(45)2(2523232123313612331361abababbababababa例 2. 函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx) 与 f(cx)的大小关系是（）A.f(bx) f(cx) B.f(bx) f(cx) C.f(bx) f(cx) D.大小关系随x 的不同而不同解： A 变式训练2：已知实数a、b 满足等式ba)31()21(，下列五个关系式：0ba; ab0; 0ab; ba0; a=b.其中不可能成立的关系式有（）A.1 个 B.2个C.3 个D.4 个解： B例 3.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3452xx;（2）g(x)=-(5)21( 4)41xx. 解： （1）依题意x2-5x+4 0,解得 x4 或 x1,f （x）的定义域是（- ， 1 4，+） .令 u=,49)25(4522xxxx（ -， 1 4，+） ，u0，即452xx0，而 f(x)=3452xx30=1,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 函数 f(x)的值域是 1，+） .u=49)25(2x, 当 x（ - ，1时， u 是减函数，当 x 4，+）时， u 是增函数 . 而 31, 由复合函数的单调性可知，f （x）=3452xx在（ - ，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故 f （x）的增区间是4，+） ，减区间是（ - ，1.（2）由 g(x)=-(,5)21(4)21(5)21(4)412xxxx函数的定义域为R，令 t=()21x (t0), g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t 0, g(t)=-(t-2)2+99, 等号成立的条件是t=2,即 g(x) 9, 等号成立的条件是(x)21=2，即 x=-1 ， g（x）的值域是（- ， 9.由 g(t)=-(t-2)2+9 (t0), 而 t=(x)21是减函数，要求g(x) 的增区间实际上是求g(t) 的减区间，求 g(x) 的减区间实际上是求g(t) 的增区间 .g（t ）在（ 0，2上递增，在2，+）上递减，由 0t=(x)212, 可得 x-1,由 t=(x)212, 可得 x-1.g（x）在 -1，+）上递减，在（- ， -1 上递增，故 g(x) 的单调递增区间是（- ， -1 ，单调递减区间是-1 ，+） .变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(226)21xx;(2)y=262xx.解： （1）函数的定义域为R.令 u=6+x-2x2, 则 y=(u)21.二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=41,在区间41，+）上， u=6+x-2x2是减函数，又函数 y=()21u是减函数，函数 y=(226)21xx在41，+）上是增函数.故 y=(226)21xx单调递增区间为41，+） .（2）令 u=x2-x-6, 则 y=2u,二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=21, 在区间21，+）上 u=x2-x-6 是增函数 .又函数 y=2u为增函数，函数 y=262xx在区间21，+）上是增函数.故函数 y=262xx的单调递增区间是21，+）. 例 4设 a0,f(x)=xxaaee是 R上的偶函数 .（1）求 a 的值；（2）求证： f(x) 在（ 0，+）上是增函数.（1）解： f（x）是 R上的偶函数，f （-x ）=f （x） ，,eeeexxxxaaaa（ a-)e1e)(1xxa=0对一切 x 均成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - a-a1=0，而 a0, a=1. （2）证明在（ 0，+)上任取 x1、x2，且 x1x2, 则 f(x1)-f(x2)=1ex +1e1x-2ex-2e1x=)ee(12xx ().1e121xxx1x2,ee21xx有.0ee12xxx10,x20, x1+x20, 21exx1, 21e1xx-1 0. f(x1)-f(x2) 0, 即 f(x1) f(x2), 故 f(x) 在（ 0,+）上是增函数. 变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x) 有最小正周期2，且当 x(0,1)时，f(x)=142xx. （1）求 f （x) 在 -1 ，1上的解析式；（2）证明： f(x) 在（ 0，1）上是减函数 .（1）解：当 x(-1,0)时， -x (0,1).f （x）是奇函数，f （x）=-f （-x ）=-.142142xxxx由 f(0)=f(-0)=-f(0)，且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间 -1 ，1上，有f （x）=1 , 0, 10)0, 1(142)1 , 0(142xxxxxxx(2) 证明当 x(0,1)时，f(x)=.142xx设 0 x1x21,则 f(x1)-f(x2)=,) 14)(14()12)(22(1421422121122211xxxxxxxxxx0 x1x21, 1222xx0，221xx-1 0, f(x1)-f(x2) 0, 即 f(x1) f(x2),故 f(x) 在（ 0，1）上单调递减 . 例 1 计算：（1）)32(log32（2）2(lg2)2+lg2lg5+12lg)2(lg2;（3）21lg4932-34lg8+lg245.解： （1）方法一利用对数定义求值设)32(log32=x,则(2+3)x=2-3=321=（2+3）-1, x=-1.方法二利用对数的运算性质求解)32(log32=32log321=32log(2+3)-1=-1.（2）原式 =lg2（2lg2+lg5 ）+12lg2)2(lg2=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1|=lg2+(1-lg2)=1.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - （3）原式 =21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-342lg23+21 (2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2 5)= 21lg10=21.变式训练1：化简求值 .（1）log2487+log212-21log242-1;（2）(lg2)2+lg2 lg50+lg25;（3）(log32+log92)(log43+log83).解： (1) 原式 =log2487+log212-log242-log22=log2.232log221log242481272322（2）原式 =lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式 =(.452lg63lg53lg22lg3)2lg33lg2lg23lg( )3lg22lg3lg2lg例 2 比较下列各组数的大小.（1）log332与 log556;（2）log1.10.7 与 log1.20.7;（3）已知 log21blog21alog21c, 比较 2b,2a,2c的大小关系 .解： （1） log332log31=0,而 log556log51=0, log332log556.(2) 方法一00.7 1,1.1 1.2,02 .1log1 .1log7 .00.7,2 .1log11.1log17.07 .0,即由换底公式可得log1.10.7 log1.20.7.方法二作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象 .如图所示两图象与x=0.7 相交可知 log1.10.7 log1.20.7.(3) y=x21log为减函数，且cab212121logloglog,bac, 而 y=2x是增函数， 2b2a2c.变式训练2：已知 0a1,b 1,ab 1，则 logabbbba1log,log,1的大小关系是（）A.logabbbba1loglog1B.bbbbaa1log1loglogC.bbbaba1log1loglog D.bbbaablog1log1log解： C 例 3 已知函数f(x)=logax(a 0,a 1)，如果对于任意x 3，+）都有 |f(x)|1 成立，试求 a 的取值范围 .解： 当 a1 时，对于任意x3，+） ，都有 f(x) 0.所以， |f(x)|=f(x),而 f(x)=logax 在 3，+）上为增函数，对于任意x 3，+） ，有 f(x)loga3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 因此，要使 |f(x)|1 对于任意 x 3，+）都成立 .只要 loga31=logaa 即可， 1a3. 当 0a1 时，对于x 3，+） ，有 f(x) 0,|f(x)|=-f(x). f （x）=logax 在 3，+）上为减函数，-f （x）在 3，+）上为增函数.对于任意x 3，+）都有|f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使 |f(x)|1 对于任意 x 3，+）都成立，只要 -loga31 成立即可，loga3-1=logaa1, 即a13, 31a1.综上，使 |f(x)|1 对任意 x 3，+）都成立的a 的取值范围是：(1，331，1）. 变式训练3：已知函数f （x）=log2(x2-ax-a) 在区间（ - ,1-3上是单调递减函数. 求实数 a的取值范围 .解： 令 g(x)=x2-ax-a, 则 g(x)= （x-2a）2-a-42a,由以上知 g(x ）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log2g(x) 的底数 21,在区间（ - ,1-3上是减函数，所以 g(x)=x2-ax-a 在区间（ - ,1-3上也是单调减函数，且g(x) 0.0)31()31 (3220)31 (2312aaaga，即解得 2-23a2.故 a 的取值范围是 a|2-23a2 . 例 4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A、B两点，分别过A、B作 y 轴的平行与函数 y=log2x 的图象交于C、D两点.（1）证明 : 点 C 、D和原点 O在同一直线上；（2）当 BC平行于 x 轴时，求点A的坐标 .（1）证明设点 A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x11,x21, 则点 A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为 A、B在过点 O的直线上，所以228118loglogxxxx点 C、D的坐标分别为 (x1,log2x1) 、(x2,log2x2),由于 log2x1=2loglog818x=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=118112log3logxxxx,OD的斜率为,log3log2282222xxxxk由此可知 k1=k2, 即 O 、C、D在同一直线上.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - （2）解：由于 BC平行于 x 轴，知 log2x1=log8x2，即得 log2x1=31log2x2,x2=x31,代入 x2log8x1=x1log8x2，得 x31log8x1=3x1log8x1, 由于 x11, 知 log8x10, 故 x31=3x1,又因 x11, 解得 x1=3, 于是点 A的坐标为（3，log83). 变式训练4：已知函数f(x)=log211xx+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求 f(x)的定义域；（2）求 f(x)的值域 .解： （1）f(x)有意义时，有,0,01,011xpxxx由、得x1, 由得 xp, 因为函数的定义域为非空数集，故p1,f(x)的定义域是 (1,p). （2）f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2- （x-21p）2+4) 1(2p (1 xp),当 121pp，即 p3 时，0-(x-4) 1(4) 1()21222ppp,log24) 1()21(22ppx2log2(p+1)-2.当21p1，即 1p3 时，0-(x-),1(24) 1()2122ppplog24) 1()21(22ppx1+log2(p-1).综合可知：当 p3 时， f(x) 的值域是（ - ,2log2(p+1)-2 ;当 1p3 时，函数f(x)的值域是 (- ,1+log2(p-1). 例 1作出下列函数的图象.（1）y=21(lgx+|lgx|);（2）y=112xx;（3）y=)21(|x|.解： （1）y=).1(lg).10(0 xxx（2）由 y=112xx, 得 y=11x+2.作出 y=x1的图象，将y=x1的图象向右平移一个单位，再向上平移 2 个单位得 y=11x+2 的图象 .（3）作出 y=（21）x的图象，保留y=（21）x图象中 x0 的部分，加上y=（21）x的图象中x0 的部分关于y 轴的对称部分，即得y=（21）|x|的图象 . 其图象依次如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x； （2）y=|log21（1-x ）| ；（3）y=112xx.解： （ 1）由函数 y=2x的图象关于x 轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2 个单位，可得 y=2-2x的图象 . 如图甲 .（2）由 y=log21x 的图象关于y 轴对称，可得y=log21（-x ）的图象，再将图象向右平移1 个单位，即得到 y=log21(1-x).然后把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方， 可得到 y=|log21（1-x ）| 的图象 . 如图乙 .（3）y=132112xxx.先作出 y=-x3的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移1 个单位，向上平移2 个单位，即得到所求图象. 如图丙所示的实线部分. 例 2 函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 的图象如图 , 则函数 y=f(x)g(x) 的图象可能是（）解：A变式训练2： 设 a1, 实数 x,y 满足|x|-logay1=0, 则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 ( ) 解：B例 3 设函数 f(x)=x2-2|x|-1 (-3x3).名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - （1）证明： f(x) 是偶函数；（2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x) 是增函数还是减函数；（4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即 f(-x)=f(x),f(x)是偶函数 .（2）解：当 x0 时， f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,当 x0 时， f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即 f(x)=,)03(2)1()30(2) 1(22xxxx根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示.（3）解：函数 f(x)的单调区间为-3 ，-1 ） ， -1，0） ， 0，1） ， 1，3. f（x）在区间 -3 ，-1）和 0，1）上为减函数，在-1 ，0） ， 1，3上为增函数 . （4）解：当 x0 时，函数f(x)=(x-1)2-2 的最小值为 -2, 最大值为 f(3)=2;当 x0 时，函数f(x)=(x+1)2-2 的最小值为 -2, 最大值为 f(-3)=2;故函数 f(x)的值域为 -2，2. 变式训练3：当 x(1,2) 时, 不等式 (x-1)2logax 恒成立 , 则 a 的取值范围为 .解： (1,2 例 1. 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3yx（2）12yx（3）2yx（4）22yxx（5）1122yxx（6）1124( )3()f xxx解： （1）此函数的定义域为R，33()()( )fxxxf xQ此函数为奇函数（2）12yxx此函数的定义域为0,)Q此函数的定义域不关于原点对称此函数为非奇非偶函数（3）221yxx此函数的定义域为(,0)(0,)2211()( )()fxf xxxQ此函数为偶函数（4）22221yxxxx此函数的定义域为(,0)(0,)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 222211()()( )()fxxxf xxxQ此函数为偶函数（5）11221yxxxx此函数的定义域为0,)Q此函数的定义域不关于原点对称此函数为非奇非偶函数（6）11424( )3()3f xxxxx00 xx0 x此函数的定义域为0此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5yx（2）43yx（3）54yx（4）35yx（5）12yx分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式解： （1）定义域R，值域 R，奇函数，在R上单调递增（2）定义域(,0)(0,)，值域(0,)，偶函数，在(,0)上单调递增，在(0,)上单调递减（3）定义域0,)，值域0,)，偶函数，非奇非偶函数，在0,)上单调递增（4）定义域(,0)(0,)，值域(,0)(0,)，奇函数，在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递减（5）定义域(0,)，值域(0,)，非奇非偶函数，在(0,)上单调递减例 2 比较大小：（1）11221.5 ,1.7（2）33( 1.2) ,(1.25)（3）1125.25,5.26,5.26（4）30.530.5 ,3,log0.5解： （1）12yx在0,)上是增函数，1.51.7，11221.51.7（2）3yx在R上是增函数，1.21.25，33( 1.2)( 1.25)（3）1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，115.255.26；5.26xy是增函数，12，125.265.26；综上，1125.255.265.26名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - （4）300.51，0.531，3log 0.50，30.53log 0.50.53变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2223332.5 ,(1.4) ,(3)（2）3338420.16,0.5,6.25（3）11121333322253( ),() ,(),3 ,()3532解： （1）222333( 1.4)2.5( 3)（2）3338246.250.50.16,（3）11211333322523( )( )( )()35332例 3 已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值分析：幂函数图象与x轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合mZ，便可逐步确定m的值解： 幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，2230mm，13m；mZ，2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，223mm是奇数，0m或2m变式训练3：证明幂函数12( )f xx在0,)上是增函数分析：直接根据函数单调性的定义来证明证明： 设120 xx，则11221212()()f xf xxx121212xxxxxx12xxQ120 xx120 xx12()()0f xf x即12()()fxf x此函数在0,)上是增函数例 1. （1）若xxxf1)(，则方程xxf)4(的根是 ( ) A21B21C2 D 2 解： A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - （2） 设函数( )f x对xR都满足(3)(3)fxfx, 且方程( )0f x恰有 6个不同的实数根，则这 6 个实根的和为（）A0 B9 C12 D18 解： 由(3)(3)fxfx知( )f x的图象有对称轴3x，方程( )0f x的 6 个根在x轴上对应的点关于直线3x对称，依次设为1231233, 3,3,3,3,3tttttt，故6 个根的和为 18，答案为D（3）已知155acb， （a、b、cR） ，则有（）Aacb42 Bacb42 Cacb42 Dacb42解法一：依题设有550abc5是实系数一元二次方程02cbxax的一个实根；acb420 acb42，答案为 B解法 二：去分母，移项，两边平方得：22252510baacc10ac2 5a c20acacb42，答案为B（4）关于x的方程22(28)160 xmxm的两个实根1x、2x满足1232xx，则实数m的取值范围解： 设22( )(28)16f xxmxm，则239( )3(4)160216fmm，即：241270mm，解得：1722m（5）若对于任意 1, 1a，函数2( )(4)42f xxaxa的值恒大于零, 则x的取值范围是解： 设2( )(2)44g axaxx，显然，2x则22( 1)2440(1)2440gxxxgxxx，即3221xxxx或或，解得：x3或x 1变式训练1： 当01x时，函数1yaxa的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（）A12a B1a C112aa或 D112a解： D 例 2. 设123,xxx依次是方程12log2xx,2log (2)xx，22xx的实数根，试比较123,xxx的大小解： 在同一坐标内作出函数2yx，12logyx，2xy的图象从图中可以看出，310 xx又20 x，故231xxx变 式 训 练2： 已 知函 数( ) ()yf xxR满 足(3)(1)f xf x， 且x 1,1 时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - ( )|f xx，则( )yf x与5logyx的图象交点的个数是( ) A3 B4 C5 D6 解： 由(3)(1)f xf x知(2)( )f xf x故( )f x是周期为 2的函数，在同一坐标系中作出( )yfx与5logyx的图象，可以看出，交点个数为4例3.已知二次函数2( )( ,f xaxbxab为常数，且0)a满足条件：(1)(3)f xfx，且方程( )2f xx有等根 . （1）求( )f x的解析式；（2）是否存在实数m、n ()mn，使( )f x定义域和值域分别为m，n和 4m，4n ，如果存在，求出m 、n的值；如果不存在，说明理由. 解： （1）方程22axbxx有等根，2(2)0b，得 b=2 由(1)(3)f xfx知此函数图象的对称轴方程为12bxa，得1a，故2( )2f xxx（2）2( )(1)11f xx， 4n1，即14n而抛物线22yxx的对称轴为1x14n时，( )f x在 m ，n上为增函数. 若满足题设条件的m ，n 存在，则nnfmmf4)(4)(，2020424222nnmmnnnmmm或或即又14mn，2,0mn，这时定义域为2，0 ，值域为 8，0. 由以上知满足条件的m、n存在，2,0mn变式训练3：已知函数11( )f xax (0,0)ax. （1）求证：( )f x在(0,+ ) 上是增函数；（2）若( )2f xx在(0,+ ) 上恒成立，求a的取值范围；（3）若( )f x在 m ，n上的值域是m ，n(mn)，求a的取值范围 . 解： （1）证明任取120 xx1212122112111111()()()()xxf xf xaxaxxxx x120 xx，120 xx，120 xx，12()()0f xf x，即12()()f xf x，故( )f x在(0,+ ) 上是增函数 . （2）解：112xax在(0,+ ) 上恒成立，且a0, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 112axx在（ 0，+）上恒成立，令421221121)(xxxxxg，当且仅当12(0)xxx即 x=22时取等号要使112axx在(0,+ )上恒成立，则24a故a的取值范围是42,+ ) （3）解：由（ 1）( )f x在定义域上是增函数. (),( )mf mnf n，即2110mma，2110nna故方程2110 xxa有两个不相等的正根m，n，注意到1m n，10mna故只需要 (21( )40a, 由于0a，则102a例 4若函数|1 |( )2xf xm的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（）A01m B01m C 10mm或 D 10mm或解： 令( )0f x，得：|1 |1()2xm，|1|0 x，|1 |10( )12x，即01m变式训练4：对于函数( )fx，若存在0 xR,使00()f xx成立，则称0 x为( )f x的不动点 . 已知函数2( )(1)1 (0)f xaxbxba（1）当1,2ab时，求( )f x的不动点；（2）若对任意实数b，函数( )f x恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；解： （1）当1,2ab时，2( )3f xxx由题意可知23xxx，得121,3xx故当当1,2ab时，( )f x的不动点1, 3（2）2( )(1)1 (0)f xaxbxba恒有两个不动点，2(1)1xaxbxb，即210axbxb恒有两相异实根2440 ()bababR恒成立 . 于是2(4 )160aa解得故当 bR，( )f x恒有两个相异的不动点时，01a. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -