2022年初高中数学衔接知识点专题 2.pdf
初高中数学衔接知识点专题（五） 专题五二次函数【要点回顾】1 二次函数yax2bx c的图像和性质问题 1 函数 yax2与 y x2的图象之间存在怎样的关系？问题 2 函数 ya(xh)2k 与 yax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0) 的图象的方法：由于 yax2 bxca(x2bxa)ca(x2bxa224ba)c24ba224()24bbaca xaa， 所以， yax2bxc(a0) 的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数yax2bx c(a0) 具有下列性质：1当 a0 时，函数yax2bxc 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时， y 随着 x 的增大而；当时， y 随着 x 的增大而；当时，函数取最小值2 当 a0 时，函数yax2 bxc 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线； 当时， y 随着 x 的增大而； 当时， y 随着 x 的增大而； 当时，函数取最大值x y O x2baA24(,)24bacbaax y O x2baA24(,)24bacbaa上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2二次函数的三种表示方式1二次函数的三种表示方式：（1） 一般式：；（2） 顶点式：；（3） 交点式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x.)0,(2x时可利用交点式来求3分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数【例题选讲】例 1 求二次函数y3x26x 1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象例 2 某种产品的成本是120 元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x /元130 150 165 y/件70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例 3 已知函数2,2yxxa，其中2a，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值例 4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（ 1） 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1 上，并且图象经过点（3， 1） ；（ 2） 已知二次函数的图象过点(3，0)， (1， 0)，且顶点到x 轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(1， 22)，(0， 8)， (2，8)例 5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资 80 分，超过20g 不超过 40g 付邮资 160 分，超过40g 不超过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封xg(0 x 100) 的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页表达式，作出函数图象分析： 由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20 x40 ）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160 分） 解：设每封信的邮资为y （单位：分） ， 则 y是 x 的函数这个函数的解析式为80,(0, 20160(20, 40240,(40,60320(60,80400,(80,100 xxyxxxx(克) y(分) O 图 2.29 20 40 60 80 100 400 320 240 160 80 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示【巩固练习 】1选择题：（1）把函数 y (x1)24 的图象的顶点坐标是（）（A） （ 1，4）（B） （ 1， 4）（C） （1， 4）（D） （1，4）（2）函数 yx24x6 的最值情况是（）（A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10 （D）有最大值2 （3）函数 y2x2 4x5 中，当 3 x2 时，则 y值的取值范围是（）（A） 3 y 1 （B） 7 y 1 （C） 7 y 11 （ D） 7 y11 2填空：（1）已知某二次函数的图象与x 轴交于 A(2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4） ，则该二次函数的表达式为（2）已知某二次函数的图象过点（1，0） ， （0，3） ， （1，4） ，则该函数的表达式为3根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点A（ 0，1） ， B（1，0） ，C（1，2） ；（2）已知抛物线的顶点为（1，3） ，且与 y 轴交于点（ 0，1） ；（3）已知抛物线与x 轴交于点M（3，0） ， （5，0） ，且与 y 轴交于点（ 0，3） ；（4）已知抛物线的顶点为（3，2） ，且与 x 轴两交点间的距离为4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页4如图，某农民要用12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5如图所示，在边长为2 的正方形ABCD 的边上有一个动点P，从点 A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到 A 点设点 A 移动的路程为x， PAC 的面积为y（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y 的图像；（3）求函数y 的取值范围A C B D P 图 2.210 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
