2022年分式的运算 3.pdf

分式的运算2(包含答案 )1 / 72、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解析】例 1. 解方程：xxx1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得()()xx11xxxxxxxxx22221112123232()()()，即，经检验：是原方程的根。例 2. 解方程xxxxxxxx12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差 1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1 的()()()()xxxx6723与、与两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。解：原方程变形为：xxxxxxxx67562312方程两边通分，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 分式的运算2(包含答案 )2 / 7167123672383692()()()()()()()()xxxxxxxxxx所以即经检验：原方程的根是x92。例 3. 解方程：121043323489242387161945xxxxxxxx分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：3143428932874145xxxx即2892862810287xxxx于是，所以解得：经检验：是原方程的根。189 861810 8789 86810 8711()()()()()()()()xxxxxxxxxx例 4. 解方程：61244444402222yyyyyyyy分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()yyyyyyyy约分，得62222202yyyyyy()()方程两边都乘以()()yy22 ，得622022()()yyy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 分式的运算2(包含答案 )3 / 7整理，得经检验：是原方程的根。21688yyy注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。5、中考题解：例 1若解分式方程产生增根，则m 的值是（）2111xxmxxxxA. B. 12或12或C. D. 12或12或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化xx01或，简原方程为：把代入解得，故选择D。21122xmx()() ，xx01或m12或例 2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国 ”活动，已知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种60 棵所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：60662xx60120662020222xxxxx经检验：是原方程的根答：甲班每小时种树20 棵，乙班每小时种树22 棵。说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示：例 1. 轮船在一次航行中顺流航行80 千米，逆流航行42 千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40 千米，逆流航行70 千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度 =水速+静水速度 ”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 分式的运算2(包含答案 )4 / 7解：设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米 /小时由题意，得8042740707xyxyxyxy解得：经检验：是原方程的根xyxy173173答：水流速度为3 千米 /小时，船在静水中的速度为17 千米 /小时。例 2. m 为何值时，关于x 的方程会产生增根？22432xmxxx解：方程两边都乘以，得x242436xmxx整理，得()mx110当时，如果方程产生增根，那么，即或（ ）若，则（）若，则（ ）综上所述，当或 时，原方程产生增根mxmxxxxmmxmmm11014022121012422101263462说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米 /小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过 b 小时到达乙地，则汽车的速度（）A. B. C. D. SabSavbSavab2Sab2. 如果关于x 的方程2313xmxm有增根，则的值等于（）A. B. C. D. 33213. 解方程：（ ）111011212319102xxxxxxx()()()()()()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 分式的运算2(包含答案 )5 / 7（ ）2112141024xxxxxxxx4. 求 x 为何值时，代数式的值等于 2？293132xxxx5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1 天后，再由两队合作2 天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？23名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 分式的运算2(包含答案 )6 / 7【试题答案】1. 由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。（）Sav又已知乘车的时间为b 小时，故汽车的速度为SavbB千米小时，应选。/2. 把方程两边都乘以xxmxm3235，得.若方程有增根，则xmmB3532，即应选。3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用裂项，即用 “互为相反数的和为11111n nnn()0”将原方程化简解：原方程可变为11011121213191102xxxxxxx1122211212xxxx即经检验：原方程的根是（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法解：xxxxx()11112141024因为其中的1111214124xxxx111214121214141418100224224448xxxxxxxxxxxx经检验：是原方程的根。x04. 解：由已知得2931322xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 分式的运算2(包含答案 )7 / 7即解得经检验：是原方程的根。23313223313203232xxxxxxxx的值等于 2。当时，代数式xxxxx322931325. 设：乙队单独完成所需天数x 天，则甲队单独完成需天。23x由题意，得1211231xxx()即解得：12316xxxx经检验x6是原方程的根xx6234时，答：甲、乙两队单独完成分别需4 天， 6 天。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -