2022年北师大版七年级数学知识点总结 2.pdf

北师大版数学（七年级上册）知识点总结第一章丰富的图形世界 1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、 正方体） 、五棱柱、( 按名称分 ) 锥圆锥棱锥 4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n 棱柱有两个底面， n 个侧面，共（ n+2）个面； 3n条棱， n 条侧棱； 2n个顶点。 5、正方体的平面展开图：11 种6、截一个正方体 ：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。8、多边形： 由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。从一个 n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n 边形分割成（ n-2）个三角形。弧：圆上 A、B两点之间的部分叫做弧。扇形： 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页第二章有理数及其运算1、有理数的分类正有理数有理数零负有理数或整数有理数分数2、相反数： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。4、倒数： 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1 和-1。零没有倒数。5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a| 0） 。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则 a0；若|a|=-a ，则 a0。6、有理数比较大小： 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。7、有理数的运算：（1）五种运算： 加、减、乘、除、乘方（2）有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律abba加法结合律)()(cbacba乘法交换律baab乘法结合律)()(bcacab乘法对加法的分配律acabcba)(第三章字母表示数1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、合并同类项法则： 把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、去括号法则（1）括号前是“ +” ，把括号和它前面的“ +”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。（2）括号前是“”，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。5、整式的运算：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。第四章平面图形及其位置关系1、线段： 绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。2、射线： 将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。3、直线： 将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。4、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面） 。一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。5、点和直线的位置关系有两种：点在直线上，或者说直线经过这个点。点在直线外，或者说直线不经过这个点。6、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。7、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。8、线段的中点：点 M把线段 AB分成相等的两条相等的线段AM与 BM ，点 M叫做线段 AB的中点。9、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。10、平角和周角： 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。11、角的表示角的表示方法有以下四种：用数字表示单独的角，如1，2，3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角） 的角，如B，C等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD ，BAE ，CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。12、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“”表示， 1 度记作“ 1” ，n 度记作“ n” 。把 1的角 60 等分，每一份叫做1 分的角， 1 分记作“ 1 ” 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页把 1 的角 60 等分，每一份叫做1 秒的角， 1 秒记作“ 1” ” 。1=60 ，1=60”13、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。14、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。15、平行线：在同一个平面内， 不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“”表示，如“AB CD ” ，读作“ AB平行于 CD ” 。注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。16、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。17、垂直：两条直线相交成直角， 就说这两条直线互相垂直。 其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线 AB ，CD互相垂直，记作“ AB CD ” （或“CD AB ”) ，读作“AB垂直于 CD ” （或“CD垂直于 AB ” ） 。18、垂线的性质：性质 1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。19、点到直线的距离： 过 A 点作 l 的垂线，垂足为B点，线段 AB的长度叫做点 A到直线 l 的距离。20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。第五章一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边同时乘以同一个数（ （或除以同一个不为0 的数） ，所得结果仍是等式。4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程。5、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母（ 2）去括号（ 3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页到另一边，这种变形叫移项。 ） （4）合并同类项（ 5）将未知数的系数化为1 第六章生活中的数据1、科学记数法一般地，一个大于10 的数可以表示成na10的形式，其中101a，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。2、扇形统计图及其画法：扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。画法：（1）计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360 的比） 。（2）计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。（3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。3、各种统计图的优缺点条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。第七章 可能性1、确定事件和不确定事件 (1 ) 、确定事件必然事件： 生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。不可能事件： 有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。(2) 、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件(3) 、必然事件确定事件事件不可能事件不确定事件2、不确定事件发生的可能性一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。必然事件发生的可能性是1 不可能事件发生的可能性是0 - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页北师大版数学（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式 。单独的一个数或一个字母也是单项式。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 。二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做 多项式 。其中每个单项式叫做这个多项式的项 。多项式中不含字母的项叫做 常数项 。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数 。三、整式： 单项式和多项式统称为 整式。四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤： （1）去括号；（2）合并同类项。五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数nmaaanmnm2、幂的乘方：),(都是正整数）（nmaamnnm 3 、积的乘方：)()(都是正整数nbaabnnn4、同底数幂的除法：)0,(anmaaanmnm都是正整数六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：);0(10aa2、负整数指数幂：),0(1是正整数paaapp七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。八、整式乘法公式：1、平方差公式：22)(bababa 2 、完全平方公式：2222)(bababa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页2222)(bababa第二章 平行线与相交线一、余角和补角：1、余角：定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。性质：同角或等角的余角相等。2、补角：定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。性质：同角或等角的补角相等。二、对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。三、同位角、内错角、同旁内角：直线 AB ，CD与 EF相交（或者说两条直线AB ，CD被第三条直线 EF所截） ，构成八个角。其中 1 与5 这两个角分别在AB ，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做 同位角 ；3 与5 这两个角都在AB ，CD之间，并且在 EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；3 与6 在直线 AB ，CD之间，并侧在 EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角 。四、平行线的判定：1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等 ，那么 两直线平行 。简称： 同位角相等，两直线平行。2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等 ，那么 两直线平行 。简称： 内错角相等，两直线平行。3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补 ，那么 两直线平行 。简称： 同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。五、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。六、尺规作图：1、作一条线段等于已知线段。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页2、作一个角等于已知角。第三章 生活中的数据一、科学记数法：一般地，一个绝对值较小的数可以表示成na10的形式，其中101a，n 是负整数。二、近似数和有效数字：1、近似数：利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。2、有效数字： 对于一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。三、形象统计图：第四章概率一、事件发生的可能性 ;人们通常用 1（或 100）来表示必然事件发生的可能性，用0 来表示不可能事件发生的可能性。二、游戏是否公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。三、摸到红球的概率： 1、概率的意义P（摸到红球 =果数摸出一球可能出现的结果数摸到红球可能出现的结2、确定事件和不确定事件的概率：（1）必然事件发生的概率为1 记作 P（必然事件） =1 （2）不可能事件发生的概率为0，P（不可能事件） =0 （3）如果 A为不确定事件，那么 0P(A)1 3、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的 m个结果，那么事件A发生的概率为 P（A）=nm第五章三角形一、三角形及其有关概念 1 、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点是 A、B、C的三角形记作“ABC ” ，读作“三角形 ABC ” 。3、三角形的三边关系：（1）三角形的两边之和大于第三边。（2）三角形的两边之差小于第三边。（3）作用：判断三条已知线段能否组成三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180。（2）直角三角形的两个锐角互余。5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。6、三角形的分类：(1) 三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2) 三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高） 。性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积：三角形的面积 =21底高二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。三、全等三角形 1 、全等三角形及有关概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2、全等三角形的表示：全等用符号“”表示，读作“全等于” 。如 ABC DEF ，读作“三角形ABC全等于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页三角形 DEF ” 。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。4、三角形全等的判定：（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ” ） 。（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ” ）（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ” ）（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ” ）直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理） ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ）第六章 变量之间的关系1、变量、自变量、因变量：2、函数的三种表示法：（1）关系式法（2）列表法（3）图像法第七章 生活中的轴对称一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。3、性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分。（2）对应线段相等，对应角相等。二、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。三、线段的垂直平分线（简称中垂线） ：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。四、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”） ，（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3、等腰三角形的判定：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等五、等边三角形：1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。2、等边三角形的性质：（1）具有等腰三角形的所有性质。（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。3、等边三角形的判定（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2） ：三个角都相等的三角形是等边三角形（3） ：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页