2022年分式运算精讲 .pdf

第 1 页 共 6 页分式运算知识总结归纳：1. 分式的乘除法法则abcdacbd；abcdabdcadbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是：取各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。（2）同分母的分式加减法法则：acbcabc。（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。3. 分式乘方的法则：()ababnnn（n 为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程， 求代数式的值， 函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算例 1：计算xxxxxxxx22222662的结果是（）A. xx13B. xx19C. xx2219D. xx2213分析： 原式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 6 页22(2 ) (1 )(2 ) (1 )(1 ) (1 )1(3 ) (2 )(3 ) (2 )(3 ) (3 )9xxxxxxxxxxxxxx故选 C 说明： 先将分子、分母分解因式，再约分。*例 2：已知abc1，求aababbcbcacc111的值。分析： 若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。解： 原式aabaababcabaabcabcabcab1111111aababaabaabcaababaaba例 3：已知：250mn，求()()11nmmmnnmmmn的值。分析： 本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解：()()11nmmmnnmmmnnmnmnnmmnmmnnmmmnmnnmmnmmmnmnnmm)()()()()()()()(故原式5252nnnn723273nn*例 4： 已知 a、 b、 c 为实数，且ababbcbccaca131415， 那么abcabbcca的值是多少？分析： 已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。解： 由已知条件得：113114115abbcca，所以211112()abc即1116abc又因为abbccaabccba1116所以abcabbcca16名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 6 页例 5：化简： ()xxxxxx322121241解一： 原式()()()()()()()()xxxxxxxxx321212222214421)1333)(1(1)1)(1()1)(1(3)1)(1(1)1()1(3)(142323223222324234xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解二： 原式()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxx112221112221244223222)2)(1()2)(1(2322232xxxxxxxxxxxxxxx说明： 解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。例 1（2000北京朝阳）计算：12442222nmmnmnmmnn解： 原式nmnnmnmnmnmnm3221说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。例 2（2001内蒙呼和浩特）已知：Mxyxyyxyxyxy222222，则M_。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 6 页解：222222222222yxMyxxyxyxyxyxyMx2说明： 分式加减运算后， 等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。例 1：计算： ()()()111122abababab解一： 原式()()() ()()()abababababababab222222222)(22)()()(4baababaabbabababaab解二： 原式()()()111111abababababab222)(11baababababababa说明： 在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。例 2：若 abab223，则 ()()1212333babbab的值等于（）A. 12B. 0C. 1D. 23解： 原式abbababbab3333322214233)()(222222223333ababababababbabababababababababababababababa故选 A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 6 页基本练习 1. 已知： abab25，则abba的值等于（）A. 25B. 145C. 195D. 2452. 已知xx21610，求xx331的值。3. 计算：132156171219202222xxxxxxxx* 4. 若 AB999919999199991999911111222222223333，试比较A 与 B 的大小。*5. 已知： abcabc08，求证：1110abc。【答案】1. 解：514514142)(52222abbaabbabaabba，故选 B 2. 解：111111616336324234223xxxxxxxxx xxxxx()()()4 14 42 5 9161616316)1(163162xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 6 页说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。3. 解： 原式112123134145()()()()()()()()xxxxxxxx564511151414131312121112xxxxxxxxxxxx说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。4. 解： 设a99991111，则AaaBaa1111223，ABaaaaaaaaaaa111112111223434223()()a aaa()()()1110223AB5. 证明：abc0()abc20，即 abcabbcac2222220又111116222abcbcacababcabc()abc8cba、均不为零01110222cbacba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -