2022年大连中考数学压轴题解题技巧解说 .pdf

2012 年中考数学压轴题解题技巧解说数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况， 压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然， 还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧（先以2009 年河南中考数学压轴题为例）。如图， 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0） 、C （8，0） 、D （8，8）. 抛物线 y=ax2+bx 过 A、C两点 . (1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点 P从点 A出发沿线段AB向终点 B运动，同时点Q从点 C出发，沿线段CD向终点 D运动速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为t 秒. 过点 P作 PEAB交 AC于点 E. 过点 E作 EFAD于点 F， 交抛物线于点G.当 t 为何值时，线段 EG最长 ? 连接 EQ 在点 P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t 值. 解： (1) 点 A的坐标为（ 4，8）1 分将 A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得0=64a+8b解 得 a=-,b=4 抛物线的解析式为：y=-x2+4x 3 分（2）在 RtAPE和 Rt ABC中， tan PAE=, 即=1212PEAPBCABPEAP48精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页PE=AP=t PB=8-t 点的坐标为（4+t ，8-t ）. 点 G的纵坐标为：-（4+t ）2+4(4+t ）=-t2+8. 5 分EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t. - 0，当 t=4 时，线段EG最长为 2. 7 分共有三个时刻. 8 分t1=， t2=，t3= 11 分压轴题的做题技巧如下：1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜” 。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解， 切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐1212121212121818181816340138 525精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。压轴题解题技巧题型解说一、 对称翻折平移旋转1 （南宁） 如图 12，把抛物线2yx（虚线部分）向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到抛物线1l，抛物线2l与抛物线1l关于y轴对称 . 点A、O、B分别是抛物线1l、2l与x轴的交点，D、C分别是抛物线1l、2l的顶点， 线段CD交y轴于点E. （1）分别写出抛物线1l与2l的解析式；（2）设P是抛物线1l上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由. （3）在抛物线1l上是否存在点M，使得ABMAOEDSS四边形，如果存在，求出M点的坐标，如果不存在，请说明理由. 2 （福建宁德）如图，已知抛物线C1：522xay的顶点为 P，与 x 轴相交于A、ACDEBO2l1l12yxy x A O B P M 图C1C2C32 （1）y x A O B P N 图C1C4Q E F 2（ 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页A P O B E C x y B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B的横坐标是1（1）求 P点坐标及 a的值；（4分）（2）如图（ 1） ，抛物线C2与抛物线C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求C3的解析式； （4 分）（3）如图（ 2） ，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点 Q 旋转 180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与 x 轴相交于E、F 两点（点E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标（5 分）二、 动态：动点、动线3( 辽宁锦州 ) 如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1x2，与y轴交于点C(0 ，4)，其中x1、x2是方程x22x80 的两个根(1) 求这条抛物线的解析式；(2) 点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE 的面积最大时，求点P的坐标；(3) 探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由4 （山东青岛）已知：如图，在RtACB中， C90， AC 4cm，BC 3cm，点 P 由B出发沿 BA方向向点 A匀速运动，速度为1cm/s；点 Q由 A出发沿 AC方向向点 C匀速运动，速度为2cm/s；连接 PQ 若设运动的时间为t （s） （0 t 2） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时， PQ BC ？（2）设 AQP的面积为y（2cm） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把 RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC ，并把 PQC沿 QC翻折，得到四边形PQP C，那么是否存在某一时刻 t ，使四边形PQP C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在， 说明理由5 （吉林省） 如图所示， 菱形 ABCD 的边长为6 厘米，B60 从初始时刻开始， 点 P、P图A Q C P B 图A Q C P B D B A Q C P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页C x x y y A O B E D A C B C D G 图 1 图 2 Q 同时从 A 点出发，点P 以 1 厘米 / 秒的速度沿ACB 的方向运动，点Q 以 2 厘米 / 秒的速度沿 ABCD 的方向运动， 当点 Q 运动到 D 点时， P、Q 两点同时停止运动设P、Q 运动的时间为x 秒时， APQ 与 ABC 重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0 的三角形），解答下列问题：（1）点 P、Q 从出发到相遇所用时间是_秒；（2）点 P、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ 是等边三角形时x 的值是_秒；（3）求y与 x 之间的函数关系式6(浙江嘉兴 )如图，已知A、B 是线段 MN 上的两点，以 A为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C，构成 ABC，设（1）求 x 的取值范围；（2）若 ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究： ABC 的最大面积？三、 圆7 （青海）如图 10，已知点 A（3，0） ，以 A为圆心作A与 Y轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B，过 B作A的切线 l. （1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A及点 C（0，9） ，求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D，过 D作A的切线 DE，E为切点，求此切线长；（3）点 F 是切线 DE上的一个动点，当 BFD 与 EAD 相似时，求出BF的长8( 天水 ) 如图 1，在平面直角坐标系xOy，二次函数yax2bxc(a0) 的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧， 点B的坐标为 (3，0) ，4MN1MA1MBxABC A B N M （第 24 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页OBOC，tan ACO 1 3(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；(3) 如图 2，若点G(2 ，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，AGP的面积最大？求此时点P的坐标和AGP的最大面积9 （湖南张家界）在平面直角坐标系中，已知A( 4，0)，B( 1，0) ，且以 AB 为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点 C 作圆的切线交x 轴于点 D（1）求点 C 的坐标和过A，B，C 三点的抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由10 （潍坊市） 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1 的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于ABCD、 、四点抛物线2yaxbxc与y轴交于点D，与直线yx交于点MN、，且MANC、分别与圆O相切于点A和点C（1）求抛物线的解析式；（2） 抛物线的对称轴交x轴于点E， 连结DE， 并延长DE交圆O于F， 求EF的长（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由四、比例比值取值范围11 （怀化） 图 9 是二次函数kmxy2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B 的坐标；O x y N C D E F B M A y x O C D B A 1 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使MABPABSS45, 若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线) 1(bbxy与此图象有两个公共点时，b的取值范围 . 12 ( 湖南长沙 ) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，8 2OA cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线214yxbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比图 9 图 1 B A P x C Q O y 第 26 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页13 （成都） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yaxbxc与x轴交于AB、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为( 3 0)，若将经过AC、两点的直线ykxb沿y轴向下平移3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC上一点，设ABP、BPC的面积分别为ABPS、BPCS，且:2 :3ABPBPCSS，求点P的坐标；（3）设Q的半径为l ，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，Q与两坐轴同时相切？五、探究型14 （内江） 如图， 抛物线2230ymxmxm m与x轴交于AB、两点，与y轴交于C点. （1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示） ，AB、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM与ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由 . ABCEDxyo题图26精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页15 （重庆潼南 ）如图 , 已知抛物线cbxxy221与y轴相交于C ，与x轴相交于A、B，点 A的坐标为（ 2，0） ，点 C的坐标为（ 0，-1 ）. （ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 E是线段 AC上一动点，过点E作 DE x 轴于点 D，连结 DC ，当 DCE的面积最大时，求点D的坐标；（ 3）在直线 BC上是否存在一点P，使 ACP为等腰三角形， 若存在， 求点 P的坐标，若不存在，说明理由. 16 （福建龙岩） 如图，抛物线254yaxax经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC， ，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由17 （广西钦州）如图，已知抛物线yx2 bx c 与坐标轴交于A、 B、 C 三点，A 点的坐标为（1，0） ，过点 C 的直线 yx3 与 x 轴交于点Q，点 P 是线段BC 上的一个动点，过P 作 PHOB 于点 H若 PB5t，且 0t1（1）填空：点C 的坐标是 _， b_，c_；（2）求线段 QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点 P 的变化，是否存在t 的值，使以P、H、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由18 （重庆市） 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC 的边 OA 在y轴的正3434tABxyOQHPCA C B y x 0 1 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页半轴上， OC 在x轴的正半轴上，OA2， OC3过原点O 作 AOC 的平分线交AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E（1）求过点E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段 OC 交于点 G如果 DF 与（ 1）中的抛物线交于另一点M，点 M 的横坐标为56，那么 EF2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（ 2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由19 （湖南长沙） 如图，抛物线yax2 bxc( a 0) 与 x 轴交于 A( 3，0) 、B 两点，与y轴相交于点C( 0，3 ) 当 x 4 和 x2 时，二次函数yax2bxc( a 0) 的函数值y相等，连结AC、BC（1）求实数a，b， c 的值；（2）若点 M、 N 同时从 B 点出发， 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA、 BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t 秒时，连结MN，将BMN 沿 MN 翻折， B 点恰好落在AC 边上的 P 处，求 t 的值及点P 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由20 （江苏徐州）如图 1，一副直角三角板满足AB BC，AC DE ， ABC DEF 90，EDF 30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边 AC上，再将三角板DEF 绕点E旋转，并使边DE与边 AB交于点 P，边 EF与边 BC于点 Q 【探究一】在旋转过程中，A D B C E O x y y O x C N B P M A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页（1）如图 2，当CE1EA时， EP与 EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. （2）如图 3，当CE2EA时 EP与 EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. （3）根据你对（ 1） 、 （2）的探究结果，试写出当CEEAm时， EP与 EQ满足的数量关系式为_, 其中m的取值范围是_( 直接写出结论，不必证明) 【探究二】若，AC 30cm ，连续 PQ ，设 EPQ的面积为S(cm2) ，在旋转过程中：（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由 . （2）随着 S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围 . 六、最值类22( 恩施 )如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于C（0，-3 ）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式（2）连结PO、PC ，并把POC沿CO翻折，得到四边形POP/C， 那么是否存在点P，使四边形POP/C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积 . FC(E)BA(D)QPDEFCBAQPDEFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页