2022年历年初中数学竞赛试题精选 .pdf
学习好资料欢迎下载初中数学竞赛专项训练1、一个六位数,如果它的前三位数码与后三位数码完全相同,顺序也相同,由此六位数可以被()整除。A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解:依题意设六位数为abcabc,则abcabca105 b104c103a102b10 ca102(1031) b10(103 1) c(1031)( a103b 10c) (103 1) 1001(a103b10c) ,而 a 103b10c 是整数,所以能被1001 整除。故选C 方法二:代入法2、若2001119811198011S,则 S 的整数部分是 _ 解:因 1981、1982 2001 均大于 1980,所以9022198019801221S,又 1980、1981 2000 均小于 2001,所以22219022200120011221S,从而知S的整数部分为 90。3、设有编号为1、2、3 100 的 100 盏电灯,各有接线开关控制着,开始时,它们都是关闭状态,现有100 个学生,第1 个学生进来时,凡号码是1 的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来,由号码是2 的倍数的开关拉一下,第n 个( n100)学生进来,凡号码是n 的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下,这样做过之后,请问哪些灯还亮着。解:首先,电灯编号有几个正约数,它的开关就会被拉几次,由于一开始电灯是关的,所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的,因为只有平方数才有奇数个约数,所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、 82、92、102共 10 盏灯是亮的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 41 页学习好资料欢迎下载4、某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比进价高a% ,后因市场的变化,该店把零售价调整为原来零售价的b% 出售,那么调价后每件衬衣的零售价是()A. m(1+a%)(1-b%) 元B. m a%(1-b%)元C. m(1+a%)b% 元D. m(1+a%b%) 元解:根据题意,这批衬衣的零售价为每件m(1a%)元,因调整后的零售价为原零售价的 b%,所以调价后每件衬衣的零售价为m(1 a%)b%元。应选 C 5、如果 a、 b、c 是非零实数,且a+b+c=0,那么|abcabcccbbaa的所有可能的值为()A. 0 B. 1 或-1 C. 2 或 -2 D. 0 或-2 解:由已知,a,b,c 为两正一负或两负一正。当 a,b,c 为两正一负时:0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以,;当 a,b,c 为两负一正时:0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以,由知|abcabcccbbaa所有可能的值为0。应选 A 6、在 ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 B60,则bcabac的值为()A. 21B. 22C. 1 D. 2解: 过 A 点作 AD CD 于 D, 在 RtBDA 中, 则于 B60, 所以 DB 2C, AD C23。c A B C a b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页学习好资料欢迎下载在 RtADC 中,DC2AC2AD2,所以有( a2C)2b243C2,整理得 a2c2=b2 ac,从而有1)(22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabac应选 C 7、设 ab0,a2+b2=4ab,则baba的值为()A. 3B. 6C. 2 D. 3 解:因为 (a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于 ab0,得abbaabba26,故3baba。应选 A 8.已知 a1999x2000,b1999x2001,c1999x2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 32)1()1(21211)()()(21222222222原式,又,解:accbbaaccbbacabcabcba9、已知 abc0,且 a+b+c0,则代数式abccabbca222的值是()A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3)()()()()()(ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb解:原式10、某商品的标价比成本高p%, 当该商品降价出售时,为了不亏损成本, 售价的折扣 (即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 41 页学习好资料欢迎下载降价的百分数)不得超过d%,则 d 可用 p 表示为解:设该商品的成本为a,则有 a(1+p%)(1-d%)=a ,解得p100p100d11、已知实数z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9 ,则 x+2y+3z=_ 解:由已知条件知(x+1) y=6,(x1)y=z29,所以 x1,y 是 t26tz29=0 的两个实根,方程有实数解,则(6)24( z2 9) 4z20,从而知 z=0,解方程得 x+1=3 ,y=3。所以 x+2y+3z 8 12.气象爱好者孔宗明同学在x(x 为正整数)天中观察到:有7 个是雨天;有5 个下午是晴天;有6 个上午是晴天;当下午下雨时上午是晴天。则x 等于()A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 选 C。设全天下雨a 天,上午晴下午雨b 天,上午雨下午晴c 天,全天晴d 天。由题可得关系式 a=0,b+d=6,c+d=5,a+b+c=7 ,得2d-a=4,即 d2,故 b=4,c=3,于 xa+b+c+d=9 。13、有编号为、的四条赛艇,其速度依次为每小时1v、2v、3v、4v千米,且满足1v2v3v4v0,其中,水v为河流的水流速度(千米/小时),它们在河流中进行追逐赛规则如下:( 1)四条艇在同一起跑线上,同时出发,、是逆流而上,号艇顺流而下。( 2)经过 1 小时,、同时掉头,追赶号艇,谁先追上号艇谁为冠军,问冠军为几号?解:出发1 小时后,、号艇与号艇的距离分别为441)(vvvvvvSiii水水()各艇追上号艇的时间为44444421)()(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水水对1v2v3v4v有321ttt,即号艇追上号艇用的时间最小,号是冠军。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 41 页学习好资料欢迎下载14.有一水池,池底有泉水不断涌出,要将满池的水抽干,用12 台水泵需5 小时,用10台水泵需7 小时,若要在2 小时内抽干,至少需水泵几台?解:设开始抽水时满池水的量为x, 泉水每小时涌出的水量为y, 水泵每小时抽水量为z,2 小时抽干满池水需n 台水泵,则 nzyxzyxzyx2210771255由得zyzx535,代入得:nzzz210352122n,故 n 的最小整数值为23。答:要在2 小时内抽干满池水,至少需要水泵23 台15.某宾馆一层客房比二层客房少5 间,某旅游团48 人,若全安排在第一层,每间4 人,房间不够,每间5 人,则有房间住不满;若全安排在第二层,每3 人,房间不够,每间住 4 人,则有房间住不满,该宾馆一层有客房多少间?解:设第一层有客房x间,则第二层有)5(x间,由题可得 )5(448)5(35484xxxx由得:xx548484,即12539x由得:)5(44848)5(3xx,即117x原不等式组的解集为11539x整数x的值为10 x。答:一层有客房10 间。16、某生产小组开展劳动竞赛后,每人一天多做10 个零件,这样8 个人一天做的零件超过 200 个,后来改进技术,每人一天又多做27 个零件,这样他们4 个人一天所做零件就精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 41 页学习好资料欢迎下载超过劳动竞赛中8 个人做的零件,问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍?解:设劳动竞赛前每人一天做x个零件由题意)10(8)2710(4200)10(8xxx解得1715xx是整数x16 (1637) 163.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3 倍。初中数学竞赛专项训练(5)(方程应用)一、选择题:1、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行1 小时后他们分别到达各自的终点A 与 B,若仍从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达A 之后 35 分钟到达B,甲乙的速度之比为()A. 3 5 B. 43 C. 45 D. 3 4 2、某种产品按质量分为10 个档次,生产最低档次产品,每件获利润8 元,每提高一个档次,每件产品利润增加2 元,用同样工时,最低档次产品每天可生产60 件,提高一个档次将减少3 件,如果获利润最大的产品是第R 档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加) ,那么 R 等于()A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 3、某商店出售某种商品每件可获利m 元,利润为20%(利润售价 进价进价) ,若这种商品的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元,则提价后的利润率为()A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5% 4、某项工程,甲单独需a天完成,在甲做了c(cb,若两个三角形的最小内角相等,则ba的值等于()A. 213B. 215C. 223D. 2257、在凸 10 边形的所有内角中,锐角的个数最多是()A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数)0(kkxy与函数xy1的图象相交于A,C 两点, AB 垂直 x 轴于 B,则ABC 的面积为()A. 1 B. 2 C. k D. k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d,另一组对边的长分别为a,b,则 d 与2ba的大小关系是2、如图 8-5,AA、 BB分别是 EAB、 DBC 的平分线,若 AA BB AB,则 BAC 的度数为3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、 5、7) 、 (5、 9、 11)问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图 8-6,P是矩形 ABCD 内一点,若PA3,PB4,PC5,则 PD5、如图 8-7,甲楼楼高16 米,乙楼座落在甲楼的正北图 8-6 A B D C P 16 米20 米A B C D 甲乙图 8-7 图 8-8 B A C P 图 8-4 A B C D A D C F CB E A B BD C 图 8-5 E A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 41 页学习好资料欢迎下载面,已知当地冬至中午12 时太阳光线与水平面的夹角为30,此时求如果两楼相距 20 米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是米。6、如图8-8,在 ABC 中, ABC 60,点P 是 ABC 内的一点,使得APBBPC CPA,且 PA8,PC6,则 PB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 41 页学习好资料欢迎下载三、解答题1、如图8-9, AD是 ABC中 BC边上的中线,求证: AD21(AB+AC )2、已知一个三角形的周长为P,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化?3、如图 8-10,在 Rt ABC 中, ACB 90,CD 是角平分线, DE BC 交 AC 于点 E,DFAC 交 BC于点 F。求证:四边形CEDF 是正方形。CD22AEBF 4、从 1、 2、3、4、 2004 中任选 k 个数,使所选的k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等),试问满足条件的k 的最小值是多少?数学竞赛专项训练(8)参考答案一、选择题1、如图过C 作 CEAD 于 E,过 D 作 DFPB 于 F,过 D 作DGCE 于 G。显然 DGEF21AB 5,CDDG,当 P为 AB 中点时,有CDDG5,所以 CD 长度的最小值是5。2、如图延长AB 、 DC 相交于 E,在 RtADE 中,可求得 AE16,DE83,于是 BEAEAB 9,在 RtBEC 中,可求得BC33,CE63,于是 CDDECE23BC CD53。3、由已知AD+AE+EF+FD EF+EB+BC+CFAD+AE+FD EB+BC+CF 11)(21CDBCABADA B D C 图 8-9 A C F B D E 图 8-10 A B C D P E F G 60A B C D E A D C B E F H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 41 页学习好资料欢迎下载EF BC, EFAD ,FCDFEBAE设kFCDFEBAE,141161kkCDkkDFkkABkkAE,AD+AE+FD 3+13131416kkkkkk111313kk解得 k4 作 AH CD,AH 交 BC 于 H,交 EF 于 G,则 GFHCAD 3,BH BCCH9-36 54ABAEBHEG,52454BHEG5393524GFEGEF4、假设 、三个角都是锐角,即90, 90, 90,也就是A+B90, B+C 90, C+A 90。 2(A+B+C ) 270, ABC135与 ABC180矛盾。 故、不可能都是锐角,假设 、中有两个锐角,不妨设 、是锐角, 那么有 AB 90,CA90,A(A BC)b,故A 是 ABC 的最小角,设AQ,则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为Q, 从而它与 ABC 全等,所以 DC b, ACDQ,因有公共底角B,所以有等腰ADC 等腰 CBD ,从而得BCBDABBC,即bbaab,令bax,即得方程012xx,解得215bax。选 B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360,故外角中钝角的个数不能超过3个,又因为内角与外角互补,因此,内角中锐角最多不能超过3 个,实际上,容易构造出内角中有三个锐角的凸10 边形。Q A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 41 页学习好资料欢迎下载8、A。设点 A 的坐标为(yx,) ,则1xy,故 ABO 的面积为2121xy,又因为ABO 与 CBO 同底等高,因此ABC 的面积 2 ABO 的面积 1。二、填空题1、如图设四边形ABCD 的一组对边AB 和 CD 的中点分别为M、N,MN d,另一组对边是AD 和 BC ,其长度分别为 a、b,连结 BD ,设 P 是 BD 的中点,连结MP、 PN,则 MP2a, NP2b,显然恒有2bad, 当 AD BC,由平行线等分线段定理知M、N、P 三点共线,此时有2bad,所以d与2ba的大小关系是)2(2dbabad或。2、12。设 BAC 的度数为x, ABBB BBD2x, CBD 4x AB AA AA B AB A CBD 4x AAB )180(21x18044)180(21xxx,于是可解出x12。3、以 3, 5,7,9, 11 构成的三数组不难列举出共有10 组,它们是(3,5,7) 、 (3,5,9) 、 (3,5,11) 、 (3,7,9) 、 (3, 7,11) 、 ( 3,9,11) 、 ( 5,7,9) 、 (5,7,11) 、(5,9,11) 、 (7,9,11) 。由 3+59,3+511,3+711 可以判定( 3,5,9) 、 (3,5, 11) 、 (3, 7,11)这三组不能构成三角形的边长,因此共有7 个数组构成三角形三边长。4、过 P 作 AB 的平行线分别交DA 、BC 于 E、F,过 P作 BC的平行线分别交AB 、CD 于 G、H。设 AG DH a,BGCHb,AE BFc,DECFd,则222222222222DPadcbBPdbCPcaAP,于是2222DPBPCPAP,故184532222222BPCPAPDP,DP325、设冬天太阳最低时,甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处,那么图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度,设CEAB 于点 E,那么在 AEC 中, AEC90, ACE30, EC20 米。所以 AEEC6 .11332030tan20tan ACEA B D C P M N A B D C P E F G H a a b b c d 16 米20A B C D 甲乙E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 41 页学习好资料欢迎下载(米) 。CDEBAB-AE 16-11.6 4.4(米)设点 A 的影子落到地面上某一点C,则在 ABC 中, ACB 30, AB 16 米,所以7 .27316cotACBABBC(米)。所以要使甲楼的影子不影响乙楼,那么乙楼距离甲楼至少要27.7 米。6、提示:由题意APB BPC CPA120,设 PBC , ABC 60则 ABP60 , BAP PBC, ABP BPC,PCBPBPAP,BP2APPC 3448PCAPBP三、解答题1、证明:如图延长AD 至 E,使 AD DE,连结 BE。BD DC, AD DE, ADC EDB ACD EBDACBE 在 ABE 中, AE AB BE,即 2ADAB AC AD 21(AB AC)2、答案提示:在 ABC 中,不妨设abca+bca+b+c2c即 p2cc2p,另一方面ca 且 cb2ca+b3c3pcpcba。因此23pcp3、证明:ACB 90, DEBC, DFAC , DEAC,DEBC,从而 ECF DEC DFC90。CD 是角平分线DEDF,即知四边形CEDF 是正方形。在 RtAED 和 RtDFB 中,DEBC ADE B RtAED RtDFB BFDEDFAE,即 DEDFAE BFCD2DE2DF,BFAEDFDEDFDECD222224、解:这一问题等价于在1,2, 3, 2004 中选 k 1 个数,使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长,试问满足这一条件的k 的最大值是多少?符合上述条件的数组,当k4 时,最小的三个数就是1,2,3,由此可不断扩大该数组, 只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和,所以, 为使 kA B D C E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 41 页学习好资料欢迎下载达到最大,可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和,这样得:1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89,144,233,377,610, 987,1597共 16 个数,对符合上述条件的任数组,a1,a2 an显然总有ai大于等于中的第i个数,所以n 16k1,从而知k 的最小值为17。初中数学竞赛专项训练(9)(面积及等积变换)一、选择题:1、如图 9-1,在梯形ABCD 中, AB CD,AC 与 BD 交于 O,点 P 在 AB 的延长线上,且 BPCD,则图形中面积相等的三角形有()A. 3 对B. 4 对C. 5 对D. 6 对2、如图 9-2,点 E、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、BC的中点,连AF 、CE,设AF、CE 交于点G,则ABCDAGCDSS矩形四边形等于()A. 65B. 54C. 43D. 323、设 ABC 的面积为1,D 是边 AB 上一点,且ABAD31,若在边AC 上取一点E,使四边形 DECB 的面积为43,则EACE的值为()A. 21B. 31C. 41D. 514、如图 9-3,在 ABC 中, ACB 90,分别以AC、AB 为边,在 ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ,作 CK AB,分别交 AB 和 GH 于 D 和 K,则正方形ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD的面积 S2的大小关系是()A. S1S2B. S1 S2C. S1S2D. 不能确定,与ABAC的大小有关5、如图9-4,四边形ABCD中, A60, B D90,AD 8,AB 7,则 BC+CD 等于()A. 36B. 53C. 43D. 33P A D C B O 图 9-1 A B C D E F G 图 9-2 A B C D H G K F E 图 9-3 A B C D 图 9-4 a b a a b b 图 9-5 a b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 41 页学习好资料欢迎下载6、如图 9-5,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a1,则正方形的面积为()A. 2537B. 253C. 215D. 2)21 (7、如图 9-6,矩形 ABCD 中, AB a,BCb,M 是 BC 的中点, DEAM , E 为垂足,则 DE()A. 2242baabB. 224baabC. 2242baabD. 224baab8、O 为 ABC 内一点, AO 、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角形,它们的面积如图9-7 所示,则SABC()A. 292 B. 315 C. 322 D. 357 二、填空题1、如图 9-8,梯形 ABCD 的中位线EF 的长为 a,高为 h,则图中阴影部分的面积为2、如图 9-9,若等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等于15cm,则这个等腰三角形的面积等于3、如图 9-10,在 ABC 中, CEEB 12,DEAC,若ABC 的面积为S,则 ADE 的面积为4、如图 9-11,已知 D、E 分别是 ABC 的边 BC、CA 上的点,且BD4,DC 1,AE5, EC2。连结 AD 和 BE,它们相交于点P,过点 P 分别作 PQCA, PRCB,它们分别与边AB 交于点 Q、R,则 PQR 的面积与 ABC 的面积之比为5、如图 9-12,梯形 ABCD 中,AD BC,AD BC25,AFFDA B C D E M 图 9-6 A B C D E F O 84 x y40 3035图 9-7 图 9-8 A E D C F B A M C D B G 图 9-9 A C E B D 图 9-10 A B Q R D C E P 图 9-11 A B C D G F E 图 9-12 A B C D P 图 9-13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 41 页学习好资料欢迎下载11,BEEC 23,EF、CD 延长线交于G,用最简单的整数比来表示,SGFDSFEDSDEC6、如图 9-13,P 是矩形 ABCD 内一点,若PA3, PB4,PC5,则 PD三、解答题1、如图 9-14,在矩形ABCD 中, E 是 BC 上的点,F 是 CD 上的点, SABESADF31S矩形ABCD。求:CEFAEFSS的值。2、一条直线截ABC 的边 BC、CA 、AB (或它们的延长线)于点D、E、F。求证:1FBAFEACEDCBDA D F C E B 图 9-14 A B C D E F 图 9-15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 41 页学习好资料欢迎下载3、如图 9-16,在ABCD 中, P1、P2、P3 Pn-1是 BD 的 n 等分点,连结AP2,并延长交 BC 于点 E,连结 APn-2并延长交 CD 于点 F。求证: EFBD 设ABCD 的面积是S,若 SAEF83S,求 n 的值。4、如图 9-17, ABC 是等腰三角形,C90, O 是 ABC 内一点,点O 到 ABC各边的距离等于1,将 ABC 绕点 O 顺时针旋转45得到 A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ 。证明: AKL , BMN , CPQ 都是等腰直角三角形。求证: ABC 与 A1B1C1公共部分的面积。D B A C E F P1 P2 Pn-2 Pn-1 图 9-16图 9-17ABCC1 A1 B1 LMKNQPO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 41 页学习好资料欢迎下载数学竞赛专项训练(9)参考答案一、选择题:1、 C。ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABCSSSSSSSSSS,2、D。连结 AC ,有3:1:ABCAGCSS,则ABCDABCDABCDACDAGCAGCD32212131S矩形矩形矩形四边形SSSSS。3、B。如图联结BE,ADES41431,设xACCE,则xABE1S414131SxxADE,31EACE4、A。解:AGADSACS221,因为ACBRtADCRt,所以ABACACAD,即ABADAC2,又因为AB AG,所以221SAGADACS,所以应选A。5、B。解:如图延长AD ,BC 相交于 E,在 RtABE 中,可求得 AE14,于是 DE AE,AD=6 ,又 BE3,在 RtCDE 中,可求得CD23,CE43,于是BCBECE3, BC+CD 53。6、A。解:由右图与左图的面积相等,得2)()(bababb,已知1a,所以有2) 1()12(bbb,即012bb,解得251b,从而正方形的面积为2537)253()1(22b。A E D B C A B C D E 60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 41 页学习好资料欢迎下载7、A。解:由 ADE ABM ,得 DE222242)21(baabbaabAMABAD8、B。CDOACOBDOABOSSDOAOSS,即30354084xy又CEOBCOBDEABOSSOEBOSS,即357084xy84211234yxyx,解之得5670yxSABC84+40+30+35+70+56 315。二、填空题1、ahS21阴影。解:延长AF 交 DC 的延长线于M,则 ABF MCF,AF FM,SABFSCMF。 S阴影SDFM, AF FMSADFSMDFABCDS21梯形阴影SahSABCD梯形,ahS21阴影。2、 144。 解:作 MN BC 于 N, AM MC, MN AD , DN NC。 921ADMN,在 RtBMN 中, BM 15,MN 9。 BN12,而 BD DC2DN , 3DN12,DN4, BC16,SABC=21AD BC211816 144。3、SADE92S。解: CEEB12,设 CEk,则 EB2k, DEAC,而 BEBC2k3k 23,2)32(sSBDE, SBDE94S DEAC21BECEBDAD,21BDADSSBDEADE,则 SADE21SBDE92S 4、1089400。解:过点E 作 EFAD ,且交 BC 于点 F,则52EACEFDCF,所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 41 页学习好资料欢迎下载75255CDFD。因为 PQCA,所以33287544BFBDBEBPEAPQ于是33140PQ。因为 PQCA ,PR CB,所以 QPR ACB ,因为 PQR CAB 故1089400)3320()(22CAPQSSCABPQR。5、126。解:设AD 2,则 BC5, FD1,EC 3 GFGEFDEC1 3,GFFE12,SGFD SFEDGFFE 12 显然有 SEFDSCEDFDEC1 3, SGFDSFEDSCED12 6。6、32。解:过点P 作 AB 的平行线分别交DA 、BC 于 E、F,过 P 作 BC 的平行线分别交 AB 、CD 于 G、H。设 AGDH a,BGCHb,AE BFc,DECFd,则222222222222CPadDPcbBPdbcaAP,于是2222DPBPCPAP,故184532222222BPCPAPDP,DP32。三、解答题1、设BC a,CDb,由ABCD31矩形SSABE,得ab31BEb21。 BE32a,则EC31a。同理 FC31b,abba181313121SCEF。abCDADECSAECD32)(21梯形,ababaabSSAEF1853118132SSADFCEFAECD梯形15181185ababSSCEFAEF。2、答案提示:连结BE、AD ,并把线段之比转化为两三角形面积之比;再约分。3、解:因AD BC,ABDC,所以DAPBEPABPFDPnn2222,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 41 页学习好资料欢迎下载从而有22AP2222222222nBPDPEPnDPBPFPAPnnnn,即FPAPFPAPnn2222所以 EF BD 由可知22nABDF,所以SnSAFD21,同理可证SnSABE21显然22nDCDF,所以241nnDCDFDCDFDCDCFC,从而知SnnSECF2)24(21,已知,83SSAEF所以有SnnSnSS2)24(2121283,即83)2(2)4(22122nnn解方程得n6。4、证明:连结OC、OC1,分别交PQ、 NP 于点 D、E,根据题意得COC1 45。点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于1, OC 是 ACB 的平分线。 ACB 90 OCE OCQ 45同理 OC1D OC1N45 OEC ODC1 90 CQP CPQ C1PN C1NP45 CPQ 和 C1NP 都是等腰直角三角形。 BNM C1NP45 A1QK CQP45 B45A145 BMN 和 A1KQ 都是等腰直角三角形。 B1ML BMN 90, AKL A1KQ 90 B145A45 B1ML 和 AKL 也都是等腰直角三角形。在 RtODC1和 RtOEC 中,ODOE1, COC145OC OC12CDC1E2-1 PQNP2(2-1) 22-2,CQCPC1PC1N2(2-1) 22223)22(212CPQS延长 CO 交 AB 于 H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 41 页学习好资料欢迎下载CO 平分 ACB ,且 AC BC CH AB, CHCOOH2+1 AC BCA1C1B1C12(2 1) 22223)22(212ABCSA1QBN ( 2+2)( 22-2)( 22) 2 KQMN 2221)2(212BMNSAK ( 2+2)( 22)221)2(212AKLS22411)223)223(S-S-S-SAKLBMNCPQABCKLMNPQ(多边形S初中数学竞赛专项训练(10)(三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖)一、填空题:1、G 是 ABC 的重心,连结AG 并延长交边BC 于 D,若 ABC 的面积为6cm2,则BGD 的面积为()A. 2cm2B. 3 cm2C. 1 cm2D. 23cm2A C B E 图 10-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 41 页学习好资料欢迎下载2、如图 10-1,在 RtABC 中, C90, A30, C 的平分线与B 的外角的平分线交于E 点,则 AEB 是()A. 50B. 45C. 40D. 353、在 ABC 中, ACB 90, A20,如图 10-2,将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角到 A C B 的位置,其中 A 、B 分别是 A、B 的对应点, B 在 A B 上, CA 交 AB于 D,则 BDC 的度数为()A. 40B. 45C. 50D. 604、设 G 是 ABC 的垂心,且AG 6,BG8,CG 10,则三角形的面积为()A. 58 B. 66 C. 72 D. 84 5、如图10-3,有一块矩形纸片ABCD ,AB 8,AD 6,将纸片折叠,使AD 边落在AB 边上,折痕为AE,再将 AED 沿 DE 向右翻折, AE 与 BC 的交点为F, CEF的面积为()A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、在 ABC 中, A45, BCa,高 BE、 CF 交于点 H,则 AH ()A. a21B. a22C. a D. a27、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心, A1、B1、C1分别是点I 关于 BC、CA、AB 的对称点,若点B 在 A1B1C1的外接圆上,则ABC 等于()A. 30B. 45C. 60D. 908、已知 AD 、BE、CF 是锐角 ABC 三条高线,垂心为H,则其图中直角三角形的个数是()A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题1、如图 10-4,I 是 ABC 的内心, A 40,则 CIB2、 在凸四边形ABCD 中, 已知 AB BCCDDA 2231,且 ABC 90,则 DAB 的度数是3、如图 10-5,在矩形 ABCD 中,AB 5, BC 12, 将矩形 ABCDA B C D AB图 10-2 A B C D D A E B C A D E B C F 图 10-3 A C I B D 图 10-4 A B C D E D图 10-5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页,共 41 页学习好资料欢迎下载沿对角线对折,然后放在桌面上,折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是4、在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针, OB 表示分针( O 为两针的旋转中心)若现在时间恰好是12 点整,则经过秒钟后,OAB 的面积第一次达到最大。5、已知等腰三角形顶角为36,则底与腰的比值等于6、已知 AM 是 ABC 中 BC 边上的中线,P 是 ABC 的重心,过P 作 EF(EFBC) ,分别交 AB、 AC 于 E、F,则AFCFAEBE三、解答题1、如图 10-6,在正方形ABCD 的对角线OB 上任取一点E,过 D 作 AE 的垂线与OA 交于 F。求证: OEOF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页,共 41 页学习好资料欢迎下载2、在 ABC 中, D 为 AB 的中点,分别延长CA 、CB 到点 E、F,使 DEDF,过 E、F分别作 CA、 CB 的垂线相交于P,设线段PA、PB 的中点分别为M、 N。求证: DEM DFN PAE PBF 3、如图 10-8,在 ABC 中, AB AC ,底角 B 的三等分线交高线AD 于 M、 N,边 CN并延长交AB 于 E。求证: EMBN A E C B F D P M N 图 10-7 A B C N M E D 图 10-8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页,共 41 页学习好资料欢迎下载4、如图 10-9,半径不等的两圆相交于A、B 两点,线段CD 经过点 A,且分别交两于C、D 两点,连结BC、CD,设 P、Q、K 分别是 BC、 BD、CD 中点 M、N 分别是弧BC和弧 BD 的中点。求证:QBNQPM