2022年双曲线知识点总结及练习题 2.pdf

一、双曲线的定义1、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点F1与F2的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1F2|） 的 点 的 轨 迹（21212FFaPFPF（a为常数） 。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（ 1）距离之差的绝对值。 （2）2a|F1F2|。当|MF1|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|= 2a 时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当 2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义： 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线l（准线2ca）的距离之比是常数 e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（222acb，其中 |1F2F|=2c）焦点在 x 轴上：12222byax（a0，b0）焦点在 y 轴上：12222bxay（a0，b0）（1）如果2x项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上。a不一定大于b。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较 x2、y2的分母的大小，而是 x2、y2 的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页（2）与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax（3）双曲线方程也可设为：221(0)xymnmn三、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa，yRya，xR对称轴x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2( ,0)Fc1(0,)Fc2(0, )Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122F FcxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyPxyP1F2FxyP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页顶点坐标（a,0） (a,0) (0, a,) (0，a) 离心率eace(1)，222cab， e 越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为22abccc焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2渐近线方程xaby(实虚)，2,bca和2,bcayabx(实虚) 将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB 的弦长2212121()4ABkxxx x通径：2212bAByya与椭圆一样过双曲线上一点的切线12020byyaxx或利用导数00221y yx xab或利用导数四、双曲线的参数方程：sectanxayb椭圆为cossinxayb五、弦长公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，则22122212122122212122=1+k1+k411+k11+4kABxxxxx xyyyyy yk 为直线斜率提醒 解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B 两点，则弦长abAB22|。3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式双曲线12222byax（a0，b0）上有一动点00(,)Mxy左焦半径： r=ex+a右焦半径： r=ex-a当00(,)M xy在左支上时10|MFexa,20|MFexa当00(,)M xy在右支上时10|MFexa,20|MFexa左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221注：焦半径公式是关于0 x的一次函数，具有单调性，当00(,)Mxy在左支端点时1|MFca，2|MFca，当00(,)M xy在左支端点时1|MFca，2|MFca七、等轴双曲线12222byax（a0，b0）当ab时称双曲线为等轴双曲线1。ab；yxMMF1F2yxMMF1F2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页2。离心率2e；3。两渐近线互相垂直，分别为y=x；4。等轴双曲线的方程22yx，0；八、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab代值验证，如221xy点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab上220022-=1xyab2、直线与双曲线代数法：设直线:lykxm，双曲线)0,0(12222babyax联立解得02)(222222222bamamkxaxkab（1）0m时，bbkaa，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；bka，bka，或 k 不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m时，k存在时，若0222kab，abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相交若2220ba k，222222222( 2)4()()a mkba ka ma b2222224()a bmba k0时，22220mba k，直线与双曲线相交于两点；0时，22220mba k，直线与双曲线相离，没有交点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页0时22220mba k，2222mbka直线与双曲线有一个交点；相切k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点；mama或直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)xyabab渐近线方程：22220 xyabxaby2、若双曲线方程为MMFFMMFF（a0，b0）渐近线方程：22220yxabayxb3、若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax, 0。4、若双曲线与12222byax有公共渐近线，则双曲线的方程可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab。2、过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab。3、双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc。椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线。椭圆参照选修 2-1P41 ，双曲线参照选修 2-1P55 。1、A、B 两点在 X 轴上时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页2、A、B 两点在 Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形，122cot2PF FSb面积公式推导：解：在12PF F中，设12F PF，11PFr ，22PFr ，由余弦定理得222121212cos2PFPFF FPFPF2221212(2 )2rrcr rF1 x y O P F2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页22121 21 2()242rrr rcr r221 21 2(2 )242ar rcrr221 21 22()r rcar r21 21 22rrbr r21 21 2cos2r rr rb即21 221cosbr r，1221 2112sinsin221cosPF FbSr r2sin1cosb=2cot2b椭 圆 上 一 点与 椭 圆 的 两 个 焦 点12,FF构成 的 三 角 形12PF F称 之 为 椭圆 焦 点 三角形122tan2PF FSb面积公式推导解：在12PF F中，设12F PF，11PFr ，22PFr ，由余弦定理得222121212cos2PFPFF FPFPF2221212(2 )2rrcr r22121 21 2()242rrr rcr r221 21 2(2 )242ar rcr r221 21 24()22acr rr r21 21 22brrr r21 21 2cos2r rbr r即21 221cosbr r，1221 2112sinsin221cosPF FbSr r2sin1cosb=2tan2b十四、 ( 双曲线中点弦的斜率公式) ：设00(,)M xy为双曲线22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有22ABOMbkka图 1 F1 x y O P F2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页证明：设11(,)A x y，22(,)B xy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab两式相减得：22221212220 xxyyab整理得：2221222212yybxxa， 即2121221212()()()()yyyybxxxxa， 因为00(,)M xy是弦 AB的中点，所以0012001222OMyyyykxxxx，所以22ABOMbkka椭圆中线弦斜率公式22ABOMbkka精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页双曲线基础题1 双曲线 2x2y28 的实轴长是 () A2 B22 C4 D42 2设集合 Px，yx24y21，Q( x，y)|x2y10，记 AP Q，则集合 A 中元素的个数是 () A3 B1 C2 D4 3双曲线x216y291 的焦点到渐近线的距离为() A2 B3 C4 D5 4双曲线y27x291 的共轭双曲线的离心率是_能力提升5中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4， 2)，则它的离心率为() A.6 B.5 C.62D.526 设双曲线x2a2y29 1(a0)的渐近线方程为3x 2y0，则 a 的值为 () A4 B3 C2 D1 7 从x2my2n1(其中 m，n1,2,3) 所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为() A.12B.47C.23D.348双曲线y26x231 的渐近线与圆 (x 3)2y2r2(r0)相切，则r() A.6 B3 C4 D6 图 K511 9如图 K511，在等腰梯形ABCD 中， ABCD 且 AB 2AD，设 DAB ， 0，2，以 A、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e1，以 C、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e2，则 e1 e2_. 10已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_11已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为y3x，它的一个焦点为F(6,0)，则双曲线的方程为_12(13 分)双曲线 C 与椭圆x227y2361 有相同焦点，且经过点(15，4)(1)求双曲线C 的方程；(2)若 F1，F2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且 F1PF2120 ，求 F1PF2的面积难点突破13(1)(6 分) 已知双曲线x2a2y2b21 和椭圆x2m2y2b21(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页b，m 为边长的三角形是() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或钝角三角形(2)(6 分) 已知 F1、F2为双曲线C：x2y21 的左、 右焦点， 点 P 在双曲线C 上，且 F1PF2 60 ，则|PF1| |PF2|() A2 B4 C6 D8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页双曲线综合训练一、选择题（本大题共7 小题，每小题5 分，满分35 分）1动点P到点)0, 1(M及点)0, 3(N的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线2设双曲线的半焦距为c，两条准线间的距离为d，且dc，那么双曲线的离心率e等于（）A2B3C2D33过双曲线的一个焦点2F作垂直于实轴的弦PQ，1F是另一焦点，若21QPF，则双曲线的离心率e等于（）A12B2C12D224双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2 倍，则m（）A14B4C4D145双曲线)0,(12222babyax的左、 右焦点分别为F1，F2，点 P 为该双曲线在第一象限的点，PF1F2面积为 1，且,2tan,21tan1221FPFFPF则该双曲线的方程为（）A1351222yxB1312522yxC1512322yxD1125322yx6若1F、2F为双曲线12222byax的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足)(,111OMOMOFOFOPPMOF)0(，则该双曲线的离心率为（）A2B3C2D37如果方程221xypq表示曲线 ,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）A2212xyqpqB2212xyqppC2212xypqqD2212xypqq二、填空题： （本大题共3 小题， 每小题 5 分，满分15 分）8双曲线的渐近线方程为20 xy，焦距为10，这双曲线的方程为_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页9若曲线22141xykk表示双曲线，则k的取值范围是。10若双曲线1422myx的渐近线方程为xy23，则双曲线的焦点坐标是_三、解答题： （本 大题共 2 小题，满分30 分）11. （本小题满分10 分）双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)FF，点(3,4)P是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。12 （本小题满分20 分）已知三点P（5，2） 、1F （ 6，0） 、2F （6， 0） 。（1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P、1F 、2F 关于直线yx 的对称 点分别为P、1F 、2F ，求以1F 、2F 为焦点且过点P的双曲线的标准方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页【基础热身】1C解析 双曲线方程可化为x24y281，所以 a24，得 a2，所以 2a4.故实轴长为4. 2B解析 由于直线 x2y10 与双曲线x24y2 1的渐近线y12x 平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A 中只有一个元素故选B. 3B解析 双曲线x216y291 的一个焦点是 (5,0)，一条渐近线是3x4y0，由点到直线的距离公式可得 d|350|53.故选 B. 4.43解析 双曲线y27x291 的共轭双曲线是x29y271，所以 a3，b7，所以 c4，所以离心率 e43. 【能力提升】5D解析 设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，所以其渐近线方程为ybax，因为点 (4，2)在渐近线上，所以ba12.根据 c2a2b2，可得c2a2a214，解得 e254，所以 e52，故选 D. 6C解析 根据双曲线x2a2y291 的渐近线方程得：y3ax，即 ay 3x0.又已知双曲线的渐近线方程为 3x 2y0 且 a0，所以有a 2，故选 C. 7B解析 若方程表示圆锥曲线，则数组 (m，n)只有 7 种：(2，1)，(3，1)，(1，1)，(2,2)，(3,3)， (2,3)，(3,2)，其中后4 种对应的方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以概率为P47.故选 B. 8A解析 双曲线的渐近线为y 2x，圆心为 (3,0)，所以半径r| 230|36.故选 A. 91解析 作 DMAB 于 M，连接 BD，设 AB2，则 DMsin ，在 RtBMD 中，由勾股定理得 BD54cos ，所以e1|AB|BD|AD|254cos 1，e2|CD|AC| |AD|22cos54cos 1，所以 e1 e21. 10 2， )解析 依题意， 双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是60 ，90 )， 所以batan60 3，即 b23a2，c24a2，所以 e2. 11.x29y2271解析 ba3，即 b3a，而 c6，所以 b23a23(36 b2)，得 b227，a29，所以双曲线的方程为x29y2271. 12解答 (1)椭圆的焦点为F1(0， 3)，F2(0,3)设双曲线的方程为y2a2x2b21，则 a2b2329.又双曲线经过点(15，4)，所以16a215b21，解得a24，b25 或 a236，b2 27(舍去 )，所以所求双曲线C 的方程为y24x25 1. (2)由双曲线C 的方程，知a 2，b5，c3. 设 |PF1|m，|PF2|n，则 |mn|2a4，平方得 m2 2mnn216.在 F1PF2中，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos120 m2n2mn36.由得mn203，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页所以 F1PF2的面积为S12mnsin120 533. 【难点突破】13(1)B(2)B解析 (1)依题意有a2 b2am2b2m1，化简整理得a2b2m2，故选 B. (2)在 F1PF2中，由余弦定理得，cos60 |PF1|2 |PF2|2|F1F2|22|PF1| |PF2|，|PF1|PF2|2 |F1F2|22|PF1| |PF2|2|PF1| |PF2|，4a24c22|PF1| |PF2|14b22|PF1| |PF2| 1. 因为 b1，所以 |PF1| |PF2|4.故选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页一、选择题1D 2,2PMPNMN而，P在线段MN的延长线上2C 2222222,2,2,2acc caeeca3C 12PF F是等腰直角三角形，21212 ,2 2PFF Fc PFc1212 ,2 222 ,2121cPFPFacca ea4A.5 A【思路分析】 ：设),(00yxp，则1,2,2100000cycxycxy，332,635,2300yxc【命题分析】 ：考察圆锥曲线的相关运算6 C【思路分析】 ：由PMOF1知四边形OMPF1是平行四边形，又11(OFOFOP)OMOM知OP平分OMF1，即OMPF1是菱形，设cOF1，则cPF1. 又aPFPF212，caPF22，由双曲线的第二定义知：122eccae,且1e，2e，故选C. 【命题分析】 ：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性. 7 D 由题意知 ,0pq.若0,0pq,则双曲线的焦点在y轴上 ,而在选择支A,C 中,椭 圆的焦点都在x轴上 ,而选择支B,D 不表示椭圆 ; 若0,0pq,选择支A,C 不表示椭圆 ,双曲线的半焦距平方2cpq,双曲线的焦点在x轴 上 ,选择支 D 的方程符合题意. 二、填空题8221205xy设双曲线的方程为224,(0)xy，焦距2210,25cc当0时，221,25,2044xy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页当0时，221,()25,2044yx9(, 4)(1,)U(4)(1)0,(4)(1)0,1,4kkkkkk或.10(7,0)渐近线方程为2myx，得3,7mc，且焦点在x轴上 .三、解答题11解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)FF，可设椭 圆方程为2222125yxaa；双曲线方程为2222125yxbb，点(3,4)P在椭圆上，2221691,4025aaa双曲线的过点(3,4)P的渐近线为225byxb，即2243,1625bbb所以椭圆方程为2214015yx；双曲线方程为221169yx12 （1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22ax+122by)0(ba，其半焦距6c。|221PFPFa56212112222，a53，93645222cab，故所求椭圆的标准方程为452x+192y；（ 2）点 P（5，2） 、1F （ 6，0） 、2F （6，0）关于直线yx 的对称点分别为：)5,2(P、1F（0，-6） 、2F（ 0，6）设所求双曲线的标准方程为212ax-1212by)0,0(11ba，由题意知半焦距61c，| | |2211FPFPa54212112222，1a52，162036212121acb，故所求双曲线的标准方程为202y-1162x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页