2022年圆锥曲线知识要点及结论个人总结 .pdf

学习必备欢迎下载圆锥曲线知识要点及重要结论一、椭圆1 定义平面内到两定点21,FF的距离的和等于常数)2(221FFaa的点P的轨迹叫做椭圆. 若212FFa，点P的轨迹是线段21FF. 若2120FFa，点P不存在 . 2 标准方程)0(12222babyax，两焦点为)0,(),0 ,(21cFcF. )0(12222babxay，两焦点为),0(),0(21cFcF. 其中222cba. 3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a2，短轴长为b2，椭圆的焦点在长轴上. 若椭圆的标准方程为)0(12222babyax，则bybaxa,；若椭圆的标准方程为)0( 12222babxay，则ayabxb,. 二、双曲线1 定义平面内到两定点21,FF的距离之差的绝对值等于常数)20(221FFaa的点的轨迹叫做双曲线. 若212FFa，点P的轨迹是两条射线. 若212FFa，点P不存在 . 2 标准方程)0,0(12222babyax，两焦点为)0,(),0 ,(21cFcF. )0,0(12222babyax，两焦点为),0(),0(21cFcF. 其中222bac. 3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21, AA，实轴长为a2，虚轴长为b2，双曲线的焦点在实轴上. 若双曲线的标准方程为)0, 0(12222babyax，则Ryaxax,或；若双曲线的标准方程为)0,0( 12222babxay，则Rxayay,或. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载4 渐近线双曲线)0,0( 12222babyax有两条渐近线xaby和xaby. 即02222byax双曲线)0,0( 12222babxay有两条渐近线xbay和xbay. 即02222bxay双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线. 与双曲线)0,0( 12222babyax共渐进线的双曲线可表示为)0(2222byax. 直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0”和“0”同时成立. 5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线. 等轴双曲线的标准方程为)0( 12222aayax或)0(12222aaxay. 等轴双曲线的渐近线方程为xy. 6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线. 如：)0, 0(12222babyax的共轭双曲线为)0,0(12222baaxby，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22ba为半径的圆上 . 且它们的渐近线都是xaby和xaby. 三、抛物线1 定义平面内与一个定点F和一条定直线Fl(不在l上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2 标准方程(1) )0(22ppxy，焦点为)0,2(p，准线方程为2px，抛物线张口向右. (2) )0(22ppxy，焦点为)0 ,2(p，准线方程为2px，抛物线张口向左. (3) )0(22ppyx，焦点为)2,0(p，准线方程为2py，抛物线张口向上. (4) )0(22ppyx，焦点为)2, 0(p，准线方程为2py，抛物线张口向下. 其中p表示焦点到准线的距离. 3 几何性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载抛物线是轴对称图形，有一条对称轴. 若方程为)0(22ppxy或)0(22ppxy，则对称轴是x轴，若方程为)0(22ppyx或)0(22ppyx，则对称轴是y轴. 若抛物线方程为)0(22ppxy，则Ryx,0. 若抛物线方程为)0(22ppxy，则Ryx,0. 若抛物线方程为)0(22ppyx，则Rxy,0. 若抛物线方程为)0(22ppyx，则Rxy,0. 圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1 已知椭圆)0(12222babyax的两焦点为)0,(),0,(21cFcF，),(00yxP为椭圆上一点，则)1()()(22022020201axbcxycxPFaacxaacxacxaxc020202202)(2因为axa0，caaacxcacacxc000 ,，所以aacxPF01. 同理，acxaPFaPF0122. 已知双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别为)0 ,(),0,(21cFcF，),(00yxP为双曲线上一点，则aacxPF01，aacxPF02. 2 椭圆)0(12222babyax的两焦点为21,FF，P为椭圆上一点，若21PFF，则21PFF的面积为2tancos1sin22bb. 解：根据椭圆的定义可得aPFPF221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载由余弦定理可得cos242122212212PFPFPFPFFFc由得)cos1(2442122PFPFca. 从而cos12221bPFPF所以，21FPF的面积为2tancos1sinsin212221bbPFPF双曲线)0,0( 12222babyax的两焦点为21, FF，P为其上一点，若21PFF，则21PFF的面积为2cotcos1sinsin212221bbPFPF. 3 已知椭圆)0(1:2222babyaxC，NM ,是C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PNPM ,的斜率都存在，并记为PNPMkk,时，那么PMk与PNk之积是与点P位置无关的定值.解：设),(),(1100yxMyxP，则),(11yxN. 01010101,xxyykxxyykPNPM，从而2120212001010101xxyyxxyyxxyykkPNPM. 又因为),(),(1100yxMyxP都在椭圆上，故1, 1221221220220byaxbyax. 两式相减得，02212022120byyaxx，因而2221202120abxxyy即22abkkPNPM. 类似结论已知双曲线)0,0( 12222babyax.NM ,是C上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PNPM ,的斜率都存在，并记为PNPMkk,时，那么PMk与PNk之积是与点P位置无关的定值. 【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法 . 2 本章经常会碰到直线l与圆锥曲线C相交于两点的问题，若已知l过定点),(00yxP，则可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载设l的方程为0 xx或)(00 xxkyy. 然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C的方程中，整理得到关于x或y的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零 ). 韦达定理 和判别式 经常要用到！若l的条件不明显时，则可设l的方程为mx或mkxy. 3 本章还经常用到 “点差法”： 设直线l与圆锥曲线C交于点),(),(2211yxByxA, 则BA,两点坐标都满足曲线C的方程， 然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB的斜率1212xxyy的表达式，也经常会出现2121,yyxx，这样又可以与线段AB的中点),(00yxP联系起来！4 若三点),(),(),(002211yxPyxByxA满足以线段AB为直径的圆经过点P或BPAP时，常用处理方法有：根据勾股定理可得222PBPAAB；根据AP的斜率与BP的斜率之积为1，可得120201010 xxyyxxyy；根据),(),(, 002020101yyxxPByyxxPAPBPA可得0)()(02010201yyyyxxxx. 5 求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）. 圆锥曲线中有用的结论1 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 离心率221cbeaa，PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离( 焦准距 )2bpc。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22ba. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载2 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()aPFe xaexc，22()aPFexaexc；1221|tan2F PFPF PFSc yb。3 椭圆的的内外部: （1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 4 椭圆的切线方程: (1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （ 3 ） 椭 圆22221(0)xyabab与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是22222A aB bc. 5 双曲线22221(0,0)xyabab的离心率221cbeaa，PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 焦点在 x 轴的2222x(0)ym mab与焦点在 y 轴的2222x(0)yn nba共渐近线，它们离心率满足关系22111xyee准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离( 焦准距 )2bpc。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22ba. 焦半径公式21| ()| |aPFe xaexc，22| () | |aPFexaexc，两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2F PFF PFSb。6 双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2) 若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载(3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . (4) 焦点到渐近线的距离总是b。7 双曲线的切线方程: (1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. (2)过双曲线22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （ 3）双曲线22221xyab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 8 抛物线pxy22的焦半径公式: 抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122=22sinp9 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或222221211212(1)()4| 1tan| 1tABkxxxxxxyyco（弦端点A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax0,为直线的倾斜角，k为直线斜率，2121212|()4xxxxx x10. 经过抛物线y2=2px (p0) (*) 的焦点作一条直线l交抛物线于A(x1 ,y1)、B(x2, y2) ,则l 的方程为x=2p(通经所在直线)，或 y=k(x2p) (*) (*) 、(*) 两式联立：消 x 得2022kpkyyp，得 y1y2=p2（定值）消y 得方程22222(2)04k pk xk pp x，得 x1x2=24p(定值 ) 例题： 若 P1(x1 ,y1), P2(x2, y2)是抛物线y2=2px (p0)上不同的两点， 则 “y1y2=p2”是 “直线 P1P2过抛物线焦点F”的充要条件11.以焦点弦AB 为直径的圆必与准线相切。以焦半径为直径的圆必与y 轴相切（请证明！ ）过 A、 B 作准线的垂线， 焦点弦 AB 与准线形成的直角梯形ABB/A/ 的对角线的交点是原点T（2p,0 ）是抛物线y2=2px 对称轴 y=0 上的特殊点，过此点的弦与抛物线交于P、Q，则有 POQ=90o或说0OPOQ。12. 中点弦公式1. AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。2.AB 是双曲线22221xyab（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。13. 抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)xy，其中22ypx. 16. 双曲线22221xyab（ a 0,b 0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 15.焦点在 x 轴的2222x(0)ym mab与焦点在y 轴的2222x(0)yn nba共渐近线，它们离心率满足关系22111xyee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页