2022年辽宁高考数学理科试题及答案 .pdf

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1复数的11Zi模为（A）12（B）22（C）2（D ）22已知集合4|0log1 ,|2AxxBx xABI，则A 01 ， B 0 2， C 1,2 D 12，3已知点1,3 ,4, 1 ,ABABuuu r则与向量同方向的单位向量为（A）3455，-（B）4355，-（C）3 45 5，（D）4 35 5，4下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题：1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数列是递增数列；4:3npand数列是递增数列；其中的真命题为（A）12,pp（B）34,pp（C）23,pp（D ）14,pp5 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40 , 40,60，60,80 ,8 20,100 .若低于 60 分的人数是15 人，则该班的学生人数是（A）45（ B ）50（C ）55（D）600.02 0.015 0.01 0.005 频率组距O 20 40 60 80 100 成绩 /分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 6在ABC，内角,A B C所对的边长分别为, , .a b c1sincossincos,2aBCcBAb且 ab，则BA6 B3 C23 D567使得13nxnNnxx的展开式中含有常数项的最小的为A 4 B5 C 6 D 78执行如图所示的程序框图，若输入10,nS则输出的A511 B1011 C3655 D72559已知点30,0 ,0,.ABC,OAbB a a若为直角三角形 则必有A3ba B31baaC 3310babaa D3310babaa10已知三棱柱111ABCA B C的 6 个顶点都在球O的球面上，若34ABAC， ABAC，112AA，则球O的半径为A3 172 B2 10 C132 D3 1011已知函数222222,228.fxxaxag xxaxa设12max,min, max,Hxfxg xHxfxg xp q表示, p q中的较大值，min,p q表示,p q中的较小值，记1Hx得最小值为,A2Hx得最小值为B, 则AB（A）2216aa（B）2216aa（C）16（D）1612设函数222,2,0,8xeefxx fxxfxfxfxx满足则时，否是开始输入n0,2siin211ssi2ii输出 S 结束名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - （A）有极大值，无极小值（B）有极小值，无极大值（C）既有极大值又有极小值（D）既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分. 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14已知等比数列na是递增数列，nS是na的前n项和，若13aa，是方程2540 xx的两个根，则6S .15已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为,F C与过原点的直线相交于,A B两点，连接,AF BF，若410,6,cosABF5ABAF，则C的离心率e= .16为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5 个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据. 已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分12 分）设向量3sin,sin,cos ,sinx,0,.2axxbxx（I ）若.abx求 的值；（II ）设函数,.fxa bfxg 求的最大值18 （本小题满分12 分）如图， AB是圆的直径， PA垂直圆所在的平面， C是圆上的点。（I ）求证：PACPBC平面平面；（II ）2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 19 （本小题满分12 分）现有10 道题，其中6 道甲类题， 4 道乙类题，张同学从中任取3 道题解答。（I ）求张同学至少取到1 道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2 道甲类题， 1 道乙类题 . 设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立. 用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望 . 20 （本小题满分12 分）如图，抛物线2212:4 ,:20Cxy Cxpy p，点00,Mxy在抛物线2C上，过M作1C的切线，切点为,A B（M为原点O时，,A B重合于O）012x，切线.MA的斜率为12-。（I ）求p的值；（II ）当M在2C上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程。,.A BOO重合于时 中点为21 （本小题满分12 分）已知函数321,12 cos .0,12exxfxxg xaxxxx当时，（I ）求证：11-;1xfxx（II ）若fxg x恒成立，求实数a取值范围。请考生在第 22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22 （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图，.ABOCDOE ADCDDee为直径，直线与相切于垂直于于，BC垂直于CD于CEF，垂直于F，连接,AE BE。证明：（I ）;FEBCEB（II ）2.EFAD BCg名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 23 （本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系. 圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos2 2.4. （I ）求1C与2C交点的极坐标；（II ）设P为1C的圆心，Q为1C与2C交点连线的中点。已知直线PQ的参数方程为3312xtatRbyt为参数，求,a b的值。24 （本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲已知函数 fxxa，其中1a。（I ）当=2a时，求不等式44fxx的解集；（II ）已知关于x的不等式222fxafx的解集为|12xx，求a的值。参考答案一选择题：1. B 由已知111,( 1)(1)22iZiii所以2|2Z2. D 解：由集合A，14x；所以(1,2AB3. A 解：(3,4)ABuuu r，所以|5ABuu u r，这样同方向的单位向量是134(,)555ABuuu r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 4.D 解：设1(1)naanddnm，所以1P正确；如果312nan则满足已知，但2312nnann并非递增所以2P错；如果若1nan，则满足已知，但11nann，是递减数列，所以3P错；34nanddnm，所以是递增数列，4P正确5.B 解：第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60 分的频率是0.3 ，设班级人数为m，则150.3m，50m。6.A 解：边换角后约去sinB，得1sin()2AC，所以1sin2B，但 B非最大角，所以6B。7.B 解：通项521(3 )()3nrrn rrrn rnnCxCxx x，常数项满足条件52nr，所以2r时5n最小8.A 解：211ssi的意义在于是对211i求和。因为21111()2111iii，同时注意2ii，所以所求和为1111111()()()21335911L=5119.C 解：显然角O不能为直角（否则得0a不能组成三角形）若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以30ba；若 B为直角，则利用1OBABKK得310baa，所以选C 10.C 解：由球心作面ABC的垂线， 则垂足为斜边BC中点 M 。计算 AM=52，由垂径定理， OM=1162AA，所以半径R=22513()622BCAB1C1A1OM11.B 解：( )f x顶点坐标为(2, 44)aa，( )g x顶点坐标(2, 412)aa，并且每个函数顶点都 在 另 一 个 函 数 的 图 象 上 ， 图 象 如 图 ，A、 B 分 别 为 两 个 二 次 函 数 顶 点 的 纵 坐 标 ， 所 以A-B=( 44)( 412)16aa12.D 解： 由已知，2( )xex f xx(1)L L。 在已知2( )2( )xex fxxf xx中令2x， 并将2(2)8ef名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 代入，得(2)0f；因为2( )2( )xex fxxf xx，两边乘以x后令32( )( )2( )(2)xg xx fxex f x L。求导并将（ 1）式代入，2( )2xxxexgxeexx，显然(0,2)x时，( )0gx，( )g x减；(2,)x时，( )0g x，( )g x增；并且由（ 2）式知(2)0g，所以(2)0g为( )g x的最小值，即( )0g x，所以3( )0 x fx，在0 x时得( )0fx，所以( )f x为增函数，故没有极大值也没有极小值。13. 1616解：直观图是圆柱中抽出正四棱柱。V222424161614. 63解：13135,4aaa a由递增，131,4aa，所以2314aqa，2q代入等比求和公式得663S15. 57解： 由余弦定理，22246|102 10|5BFBF，解得| 8BF，所以 A到右焦点的距离也是 8， ，由椭圆定义：26814a，又210c，所以105147e16. 10 解：设五个班级的数据分别为abcde。由平均数方差的公式得75abcde，22222(7)(7)(7)(7)(7)45abcde，显然各个括号为整数。设7,7,7,7,7abcde分别为, , , ,p q r s t，( , , , ,)p q r s tZ，则222220(1)20(2)pqrstpqrstL L L LL。设2222( )()()()()f xxpxqxrxs= 2222242()()xpqrs xpqrs=224220 xtxt，因为数据互不相同，分析( )f x的构成，得( )0f x恒成立，因此判别式0V，得4t，所以3t，即10e。17解： （I）由2222( 3 sin )(sin)4sinaxxx，222(cos )(sin )1bxx，及2,4sin1abx得又10,sin22xx从而，所以6x. （II）2( )3sincossinf xa bxxx=3111sin 2cos2sin(2)22262xxx. 当0.sin 2 -1.326xx时， （）取最大值所以3( ).2fx 的最大值为18解： （I）由 AB 式圆的直径，得ACBC、由 PA 平面 ABC、BC? 平面 ABC、得 PABC. 又 PA ? AC=A,PA ? 平面 PAC ，AC? 平面 PAC ，所以 BC平面 PAC. 因为 BC? 平面 PBC. 所以平面 PBC 平面 PAC. （II） （解法一）过C 作 CM/AP,则 CM平面 ABC.，如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角标系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 因为 AB=2、AC=1、所以 A(0、1、0） 、B（3 0 0、）、P（0、1、1）故CPuu u r=3 0 0=0 1 1CPuu u r、），（ 、 、 ）.设平面 BCP的法向量为1=)xyz（ 、 、. 110,0,CB nCB nuu u ruu u r则30.0.xyz所以不妨令 y=1.则 n1=（0、1、 -1） .因为(0 0 1=3 -1 0APABuu u ruuu r、 ）、（，、）设平面 ABP的法向量为2=nx（ 、y、z）. 则220,0,AP nAB nuuuu ruuu r,所以0.30.zxy不妨令 x=1、则2(13 0n、 、）. 于是 cos=3642 2, 所以由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为64. 过 C作 CMAB 于 M、因为 PA 平面 ABC、CM? 平面 ABC ，所以 PA CM. 故 CM平面 PAB ，过 M 作 MNPB于 N，链接 NC，由三垂线定理得CNPB. 所以 CNM 为二面角C-PB-A的平面角 . 在 RtABC中，由 AB=2、AC=1、得333,=.22BCCMBM、在 RtPAB中,由 AB=2、PA=1 、得 PB=5. 因为 RtBNMRtBAP ,所以33 52.1105MN，故 MN=又在 RtCNM 中， CN=305，故 cos CNM=64. 所以二面角C-PB-A的余弦值为64。19解： （I)设事件 A=“张同学所取的3 道题至少有1 道乙类题，则有A=”张同学所取的3 道题都是甲类题“ . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 3103101( )6CP AC因为，所以5()1( )6P AP A. (II)X 所有的可能取值为0、1、2、3. 00223214(0)( )( )555125P XC; 1110022232132428(1)( )( )( )( )555555125P XCC; 22011122321321457(2)( )( )( )( )555555125P XCC; 220232436(3)( )( )555125P XC. 所以 E （X)=04125+128125+25713632125125。20解：因为抛物线214Cxy：上任意一点（x,y)的切线斜率为12xy，且切线MA 的斜率为 -12，所以 A 点坐标为（ -1，14） 。故切线MA 的方程为11(1)24yx. 因为点 M0(12,)y在切线 MA 及抛物线2C上，于是01132 2(22)244y，20(12)32 222ypp. 由得p=2. （II）设 N（x,y),A22121212(),(),44xxxB xxx、由 N 为线 AB中点知12.2xxx22128xxy. 切线 MA、MB 的方程为2111()24xxyxx2222()24xxyxxX 0 1 2 3 P 14125281255712536125名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 由得MA，MB 的交点 M00(,)xy的坐标为121200,24xxx xxy. 原 M（200200,)4,xyCxy在上，即所以2212126xxx x. 由得24,0.3xy x当12xx时， A,B重合与原点O,AB 中点 N 为 O，坐标满足243xy. 因此 AB中点 N 的轨迹方程为243xy. 21(I)证明：要证x0,1时，2(1)xx e1-x,需证明(1)xx e(1)xx e. 1( )(1)(1),( )()xxxxh xx ex ehxx ee记则，当 x（ 0,1）时1h(x)0,因此 h(x)在【 0,1】上市增函数，故h(x) h(0)=0.所以( )1,0,1fxx x-210,11.1xxxeexx要证时， (1+x)，只需证明记11( )1,( )1,(0,1)( )xxK xexKxexKx则当时，0，因此K（x）在 0,1上试增函数，故K（x） K(0)=0.所以1( ),0,11fxxx. 综上，11( ),0,11xf xxx. （II） （解法一）32( )( )(1)(12 cos )2xxfxg xx eaxxx3112 cos2xxaxxx21(12cos)2xx ax，21( )2cos ,( )2sin2xG xxGxxx设则. 记 H（x）=x-2sin x,则 H1（x）=1-2cos x,当 x(0,1)xH x时， （0，于是 G（x）在 0,1 上试减函数，从而当 x?（0,1）时，1( )Gx-3 时，( )( )f xg x在0,1上不恒成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 31( )( )12 cos12xf xg xaxxxx32 cos12xxaxxxx21(2cos)12xxaxx211( )2cos=( ),121+xxaxaG xxx记I则11121( )( ),0,1( )(1)IxGxxIxx当（）时，-3 时，a+30,所以存在0(0,1)x，使得0()I x0，此时0()f x0，于是( )G x在0,1上试增函数，因此当 x?(0,1)时， G(x)G(0)=0,从而 F(x)在 0,1上是增函数，因此F(x) F(0)=0,所以当 x?0,1时，211cos2xx同理可证，当210,1cos14xxx时，所以 x22110,1,1cos124xxx时. 因为当 x?0,1时，32( )( )(1)(12 cos )2xxf xg xx eaxxx321(1)12 (1)24xxaxxx(3)ax. 所以当 a -3 时，( )( )f xg x在0,1上不恒成立 .因为32( )( )(1)(12 cos )2xxf xg xx eaxxx321112 (1)122xaxxxx22(3)12xxaxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 32(3)23x xa所以存在0(0,1)x（例如03132ax取和中的较小值）满足0()fxg0()x，即( )( )f xg x在0,1上不恒成立 . 综上，实数a的取值范围是(, 322证明：由直线CD与 O 相切，得.CEBEAB,+=2,=.2ABOAEEBEABEBFEFABFEBEBFFEBEABe由为的直径，得从而；又得从而故FEB=CEB. (II) ,BCCE EFABFEBCEB BE由是公共边，,.,Rt BCERt BFEBCBFRt ADERt AFEADAF得所以类似可证得22,=,.Rt AEBEFABEFAF BFEFAD BC又在中，故所以23圆 C1的直角坐标方程为22(2)4,xy直线 C2的直角坐标方程为x+y-4=0. 解22(2)440 xyxy110,4,xy得222.2.xy所以12CC与交点的极坐标为42（ ， ），(22,).4注：极坐标系下点的表示不唯一. 由（ I）可得， P点与 Q 点的直角坐标分别为（0,2） ， （1,3）. 故直线 PQ的直角坐标方程为x-y+2=0. 由参数方程可得y=122babx. 所以1,212,2bab解得1,2ab24解： （I）当 a=2 时，26,2,( )42,24,26,4.xxf xxxxx 当2( )44-2x+64,x1;xf xx时，由得解得2x4( )444,( )44264,5;f xxxf xxxx当 时，无解；当时 由得解得( )44f xx所以的解集为15x xx或. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - (II)记2 ,0,( )(2)2( ),( )42 ,0,2 ,.a xh xfxafxh xxaaa xa则x11( )2,.22( )212 ,aah xxh xxx由解得又已知的解集为11,212,2aa所以于是3a。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -