2022年北京交通大学矩阵分析_--_答案 .pdf

北京交通大学2010-2011 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一、 （10 分）实数域 R上的线性空间22R中的向量组0001，0011，0111，1111与向量组1101，1110，0111，1011都是22R的基，（1） （7 分）求前一组到后一组的过渡矩阵；（2） （3 分）说明是否存在非零矩阵22RA使得 A在这两组基下的坐标相同. 解： （1）设22R的一组基0001，0010，0100，1000， （2 分）它到第一组基的过渡矩阵为11111111111C；它到第二组基的过渡矩阵为10110111111011012C， （2 分）所求过渡矩阵1011110010010011211CCC. （1+2分）（2）存在 . （1+2分） （ 理由 2 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 二、 （8 分）设V是数域 K 上的 3 维线性空间，f是V上的一个线性变换，f在V的基321,下的矩阵是142412222A，求f的全部特征值与特征向量. 解： A的特征多项式为222214241IA2(3) (6)所以 A的特征值是 3（二重）与 -6. （3 分）对于特征值 3，解齐次线性方程组(3)0IA X得到一个基础解系：210,201TT（2 分）从而f的属于 3 的极大线性无关特征向量组是1122132,2（1 分）于是f的属于 3 的全部特征向量是112212,kkk kK这里21,KK为数域 K 中不全为零的数对 . 对于特征值 -6，解齐次线性方程组( 6)0IA X得到一个基础解系：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 122T（1 分）从而f的属于 -6 的极大线性无关特征向量组是312322于是f的属于 -6 的全部特征向量3,kkK（1 分）这里 k 为数域 K 中任意非零数三、 （14 分）矩阵分解：（1） （6 分）求矩阵73571126272204236241631011021A的满秩分解BCA. 解：对矩阵 A只作初等行变换73571126272204236241631011021A000000100000011100011021（4 分）变换结果错，最多两分。取7316270236131001B，100000011100011021C（2 分）（2） （8 分）求矩阵212240130A的正交三角分解URA， 其中U是酉矩阵，R是正线上三角矩阵 . 解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 212240130A2152120010053545453U对了 5 分，后面 3 分正交化错了 4 分，如果没给公式和下面的具体过程，最多3 分。四、 （10 分）设0111021iiA，求矩阵范数1A，A，2A，FA.（这里12i）. 解：1max 2,3,1,13A， （2 分）max 3,44A， （2 分）1242211FAijjia121 141 1 13（2 分）1120110HiiA，6113HAA（2 分）26191713HEAA1,29814 179132229132A（2 分）五、 （15 分）设3R 中的线性变换 A满足TTyxzyzyxzyxA2,（1） （7 分）求 A的值域)(AR的维数及一组基；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - （2） （8 分）求 A 的核)(AN的维数及一组基 . 解： （1）取 R3的自然基T3T2T11 ,0, 0,0, 1 ,0,0 ,0, 1（2 分）由题意知A （1）=1，0，1T，A （2）=1，1，2T，A （3）=-1 ，1，0T于是A 1, 2, 3=021110111,321故 A 在 1, 2, 3下的矩阵表示为021110111A（2 分）矩阵 A的列空间为TTTTT2 ,1 , 1,1 ,0, 1span0 , 1 , 1,2, 1 ,1,1 ,0, 1span)A(R线性变换 A 的值域为A（V）= TT321312, 1 , 1,1 ,0 , 1span2,span所以 A （V）的维数为 2， （1 分） 基为TT2 , 1 , 1,1 ,0 , 1。 （2 分）（2）矩阵 A的核实 AX=0的解空间。不难求得AX=0的基础解系是 2, -1, 1T,（5 分）因此 A -1（0）的维数为 1， （1 分）基为T3211 , 1,22. （2 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 注意：如果 A写错，把 x,y,z当成基，最多给3 分。六、 （共 23 分，前三小题每题5分，第四小题每题8 分）证明题：1. 证明：两矩阵11111和1101101相似. 2. 设 A是 n阶 Hermite 矩阵，证明：对于任意nCX，AXXH是实数 . 3设A是n阶 可 逆 正 规 矩 阵 ， 且03AA， 证 明 ： 存 在 酉 矩 阵U， 使 得rnrHEEAUU00.（rnrEE ,为单位矩阵）. 4. 设nnnCA，nnCB， 若对某矩阵范数有11AB， 证明：BA可逆. 七、 （共 20 分每小题 5 分）设315111001A，（1） 求AE的 Smith 标准形（写出具体步骤） ；（2） 写出 A 的初等因子和 A 的 Jordan 标准形 J；（3） 是否存在一个次数低于3 次的多项式)(xg满足0)(Ag，为什么？（4） 求矩阵函数tJe，并计算矩阵函数tAe的行列式tAe. 解：（1）2)2)(1(11315111001AE(2) 初等因子1，22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 100021002J (3)不存在，因为212A(4) )()()(21JfJfJfetJ)2()2()2()1(fffftttteeee2222；tAe=ttJee3第一问错了，按错误都给对了最多给4 分第 3 问单独考虑。如果第一问错了，第3 问最多 4 分。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -