2022年圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good .pdf
精品资料欢迎下载圆锥曲线的极坐标方程知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点) 的距离和一条定直线 ( 准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹以椭圆的左焦点 (双曲线的右焦点、 抛物线的焦点 ) 为极点，过点 F作相应准线的垂线， 垂足为 K，以 FK的反向延长线为极轴建立极坐标系椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：cos1eep. 其中 p 是定点 F 到定直线的距离， p0 当 0e1 时，方程表示椭圆；当 e1 时，方程表示双曲线，若 0，方程只表示双曲线右支，若允许0，方程就表示整个双曲线；当 e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（ 1）若1+ cosepe则 0e1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线当 e1 方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若1- sinepe当 0e1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线当 e1 时! 方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+ sinepe当 0e1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线当 e1 时! 方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN经过焦点 F，1、椭圆中，cbccap22，2222cos2)cos(1cos1caabeepeepMN. 2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）若 M 、N在双曲线同一支上，2222cos2)cos(1cos1caabeepeepMN；若 M 、N在双曲线不同支上，2222cos2cos1cos1acabeepeepMN. 3、抛物线中，2sin2)cos(1cos1pppMN例 1 过双曲线22xy-145的右焦点，引倾斜角为3的直线，交双曲线与A、B两点，求AB解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得所以又由得注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆 , 抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都是 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦, 其端点极径均为正值, 所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦, 其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 - 或为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6的直线，交双曲线于A,B两点，求AB求AB523cos12(,),(,)33AB12|AB5580|723cos23cos()33121212-12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载解：附录直角坐标系中的焦半径公式设 P（x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，则exaPF1，exaPF2；2、若1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，当点 P在双曲线右支上时，aexPF1，aexPF2；当点 P在双曲线左支上时，exaPF1，exaPF2；3、若F是抛物线的焦点，2pxPF. 利用弦长求面积高考题（ 08 年海南卷）过椭圆22154xy的焦点F作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于A，B两点， O为坐标原点，求AOB 的面积简 解 首 先 极 坐 标 方 程 中 的 焦点 弦 长 公 式222|1cosepABe求 弦 长 ， 然 后 利 用公 式B1|B | | si n2AOSAOFAFO直接得出答案。变式(2005 年全国高考理科 ) 已知点F为椭圆2212xy的左焦点 . 过点F的直线1l与椭圆交于P、Q两点，过F且与1l垂直的直线2l交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值 . 解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2221cos2设直线1l的倾斜角，则直线2l的倾斜角为090，由极坐标系中焦点弦长公式知：12(,),(,)66AB12|AB11|12cos12 cos()66（）22|26264精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载22|11cos2PQ，20222|111cos (90 )1sin22MN用他们来表示四边形的面积1| |2SPQMN22111sincos242111sin 2216即求2111sin 2216的最大值与最小值由三角知识易知：当sin21时，面积取得最小值169；当sin20时，面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题例一过椭圆)0(12222babyax的左焦点 F，作倾斜角为 60 的直线l交椭圆于 A、B两点，若FBFA2，求椭圆的离心率 . 简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为cos1epe则00240cos1,60cos1epeFBepeFA，21221epeepe，解得32e；变式求过椭圆23cos的左焦点，且倾斜角为4的弦长AB和左焦点到左准线的距离。解：先将方程化为标准形式：2311cos3则离心率13e，23ep，2p所以左焦点到左准线的距为2。设125(,),(,)44AB，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos3cos44AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载（3）定值问题例 1. 抛物线22(0)ypx p的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11ab定值。解：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cosp，设( , ),( ,)A aB b将 A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos1cos()ppab则11ab=1cos1cos()pp=2p（定值）点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点 F，则有epNFMF211例二： 经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦 CD,求证11ABCD为定值。证 明 ： 以 椭 圆 的 左 焦 点 建 立 极 坐 标 系 ， 此 时 椭 圆 的 极 坐 标 方 程 为cos1eep， 又 设112343A, B,+, C,+, D,+22则代入可得222|1cosepABe，222|1sinepABe则2112-e=ABCD2ep注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。例三(2007 重庆理改编 ) 中心在原点O的椭圆2213627xy，点F是其左焦点， 在椭圆上任取三个不同点123P ,P ,P使0122331120P FPP FPP FP证明：213111FPFPFP为定值，并求此定值解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos，设点1P对应的极角为，则点2P与3P对应的极角分别为0120、0120，1P、2P与3P的极径就分别是1|FP92cos、2|FP092cos(120 )与3|FP092cos(120 )， 因 此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载213111FPFPFP002cos2cos(120 )2cos(120 )999，而在三角函数的学习中，我们知道00coscos(120 )cos(120 )0，因此21311123FPFPFP为定值点睛：极坐标分别表示1|FP、2|FP与3|FP，这样一个角度对应一个极径就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点推广 1 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广 2 设123PP PPn是椭圆上的 n 个点，且123NFP,FP ,FPFP圆周角等分则n2i=1i1OP也为定值作业（2003 年希望杯竞赛题）经过椭圆22221(0)xyabab的焦点1F作倾斜角为60的直线和椭圆相交于 A，B两点，11| 2 |AFBF（1）求椭圆的离心率e；（2）若15|4AB，求椭圆方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
