2022年重庆市中考数学专题训练——数字为载体的阅读理解题 .pdf

第 1 页（共 15 页）数字为载体的阅读理解题一解答题（共40小题）1 （2018?南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为 “ 递增数 ” ，记为 D（n） ，把这个“ 递增数 ” 的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即 E（123）=321，规定 F（n）=，如F（123）=1（1）计算： F（159） ，F（246） ；（2）若 D（s）是百位数字为 1 的数，D （t）是个位数字为 9 的数，且满足 F （s）+F（t）=5，记 k=，求 k 的最大值2 （2018 春?沙坪坝区校级期中）对于一个四位自然数n，如果 n 满足各个数位上的数字互不相同且均不为0， 它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和， 那么称这个数 n 为“ 平衡数 ” 对于一个 “ 平衡数 ” ，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222 的商记为 F（n） 例如： n=1526，因为 1+6=2+5，所以 1526 是一个 “ 平衡数 ” ，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为： 152+526+261+615=1554，1154222=7，所以 F （1526）=7（1）写出最小和最大的 “ 平衡数 ”n，并求出对应的 F（n）的值；（2）若 s，t 都是“ 平衡数 ” ，其中 s=10 x+y+3201，t=1000m+10n+126（0 x9，0y8，1m9，0n7，x，y，m，n 都是整数） ，规定：k=，当 F（s）+F（t）是一个完全平方数时，求k 的最大值3 （2018?南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3 整除；反之也成立材料 2：两位数 m 和三位数 n，它们各个数位上的数字都不为0，将数 m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n 任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为 F（m，n） ，例如： F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114；F（11，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 2 页（共 15 页）369）=13+16+19+13+16+19=96（1）填空： F（16，123）=，并求证：当 n 能被 3 整除时， F（m，n）一定能被 6 整除；（2）若一个两位数 s=21x+y，一个三位数 t=121x+y+199（其中 1x4，1y5，且 x、y 均为整数），交换三位数 t 的百位数字和个位数字得到新数t ，当 t 与 s的个位数字的 3 倍的和能被 11 整除时，称这样的两个数s和 t 为“ 珊瑚数对” ，求所有 “ 珊瑚数对 ” 中 F（s，t）的最大值4 （2018?重庆模拟）先阅读下列材料，然后解后面的问题材料：一个三位自然数（百位数字为 a，十位数字为b，个位数字为 c） ，若满足 a+c=b，则称这个三位数为 “ 欢喜数 ” ，并规定 F（）=ac如 374，因为它的百位上数字3 与个位数字 4 之和等于十位上的数字7，所以 374是“ 欢喜数” ，F（374）=34=12（1）对于“ 欢喜数” ，若满足 b 能被 9 整除，求证：“ 欢喜数” 能被 99 整除；（2）已知有两个十位数字相同的“ 欢喜数 ”m ，n（mn） ，若 F （m）F （n）=3，求 mn 的值5 （2017?沙坪坝区校级一模）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等若将 M 的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为 M 的“ 友谊数 ” ，如：168 的“ 友谊数 ” 为“618”；若从 M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M 的“ 团结数 ” ，如： 123 的“ 团结数 ” 为12+13+21+23+31+32=132（1）求证： M 与其“ 友谊数 ” 的差能被 15 整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为 2，十位数字为 a、个位数字为 b，且各位数字互不相等（ a0，b0） ，若 N 的“ 团结数 ” 与 N 之差为 24，求 N 的值6 （2017 秋?渝中区月考）将一个三位正整数n 各数位上的数字重新排列（含n本身）后，得到新的三位数（ac） ，在所有重新排列大的数中，当| a+c2b| 最小时，我们称是 n 的“ 天时数 ” ，并规定 F（n）=b2ac当|a+c2b| 最大时，我们称是 n 的“ 地利数 ” ，并规定 G（n）=acb2并规定 M名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 3 页（共 15 页）（n）=是 n 的“ 人和数 ” ，例如：215 可以重新排列为125，152，215，因为| 1+522| =2，| 1+225| =7，| 2+521| =5，且 257，所以 125是 215 的“ 天时数 ”F （215）=2215=1，152 是 215 的“ 地利数 ” ，G（215）=1252=23，M（215）=（1）计算： F（168） ，G（168） ；（2）设三位自然数 s=100 x +50+y（1x9，1y9，且 x，y 均为正整数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到t，若 st=693，那么我们称s 为“ 厚积薄发数 ” ；请求出所有 “ 厚积薄发数 ” 中 M（s）的最大值7 （2018?长寿区模拟）对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数（ac） ，在所有重新排列的三位数中，当| a+c2b| 最小时，称此时的为 t 的“ 最优组合 ” ，并规定 F（t）=| ab| bc| ， 例如：124 重新排序后为：142、 214、 因为| 1+44| =1， | 1+28| =5，| 2+42| =4，所以 124 为 124 的“ 最优组合 ” ，此时 F（124）=1（1）三位正整数t 中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证： F（t）=0（2）一个正整数，由N 个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1 整除，它的前两位数能被2 整除，前三位数能被3 整除， ，一直到前 N 位数能被 N整除，我们称这样的数为 “ 善雅数 ” 例如：123 的第一位数 1 能披 1 整除，它的前两位数 12 能被 2 整除，前三位数 123 能被 3 整除，则 123 是一个“ 善雅数” 若三位 “ 善雅数 ”m=200 +10 x+y（0 x9，0y9，x、y 为整数） ，m 的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“ 善雅数 ” 中 F（m）的最大值8 （2018?重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为： n=abc（abc，a，b，c 均为正整数），在 n 的所有表示结果中，如果 | 2b（a+c）| 最小，我们就称 abc 是 n 的“ 阶梯三分法 ” ，并规定： F（n）=，例如： 6=116=123，因为 | 21（1+6）| =5，| 22（1+3）| =0，50，所以 123 是 6 的阶梯三分法，即F（6）=2（1）如果一个正整数p 是另一个正整数q 的立方，那么称正整数p 是立方数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 4 页（共 15 页）求证：对于任意一个立方数m，总有 F（m）=2（2）t 是一个两位正整数， t=10 x+y（1x9，0y9，且 xy，x+y10，x和 y 均为整数），t 的 23 倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13 整除，我们就称这个数 t 为“ 满意数 ” ，求所有 “ 满意数 ” 中 F（t）的最小值9 （2018 春?沙坪坝区期末）我们知道，任意一个正整数a 都可以进行这样的分解：a=mn（m，n 是正整数，且 mn） ，在 a 的所有这种分解中，如果m，n 两因数之差的绝对值最小， 我们就称 mn 是 a 的最佳分解 并规定：F （a）=例如： 12 可以分解成112，26，34，因为 | 112| | 26| | 34| ，所以 34 是 12 的最佳分解，所以F（12）= （1）求 F（18）F（16） ；（2）若正整数 p 是 4 的倍数，我们称正整数p 为“ 四季数 ” 如果一个两位正整数 t，t=10 x+y（1xy9，x，y 为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“ 四季数 ” ，那么我们称这个数 t 为“ 有缘数” ，求所有 “ 有缘数 ” 中 F（t）的最小值10 （2017 春?巫溪县校级月考）一个三位自然数m将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数 m （m可以与 m相同） ， 记 m=，在 m 所有的可能情况中， 当| a+2bc| 最小时，我们称此时的 m 是 m 的“ 幸福美满数 ” ，并规定 K （m）=a2+2b2c2例如：318 按上述方法可得新数有： 381、813、138；因为| 3+218| =3，|3+281| =18，| 8+213| =7，| 1+238| =1，13718所以 138 是 318 的“ 幸福美满数 ” K（318）=12+23282=45（1）若三位自然数t 的百位上的数字与十位上的数字都为n（1n9n 为自然数） ，个位上的数字为0，求证： K（t）=0；（2）设三位自然数 s=100+10 x+y（1x9，1y9，x，y 为自然数），且 xy，交换其个位与十位上的数字得到新数s， 若 19s+8s=3888， 那么我们称 s为“ 梦想成真数 ” ，求所有 “ 梦想成真数 ” 中 K（s）的最大值11 （2018 春?九龙坡区校级期中）如果一个多位自然数能被l7 整除，那么将这个多位自然数分解为末三位与末三位之前的数，用末三位数减去末三位之前的数的 3 倍，所得的差一定能被17整除，反之也成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 5 页（共 15 页）（1）利用上述规律判断并填空：3074（填“ 能” 或“ 不能” ）被 17 整除，36125（填“ 能” 或“ 不能” ）被 17 整除；（2）证明：任意一个多位自然数末三位数减去末三位之前的数的3 倍，如果所得的差能被 17 整除，那么这个多位数一定能被17 整除（3）对于一个两位自然数t，规定 F（t）=（其中 a，b 分别是这个两位数的十位数字和个位数字）例如：F（23）=已知一个五位自然数，其末三位数表示为，前两位数 n=10（x+2）+（y+1） （其中 1x7，1y8 且均为整数）若交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后，所得的新五位自然数能被17 整除求 F（n）的最大值12 （2016 秋?沙坪坝区校级期末）阅读下列材料，回答问题正整数 m（m2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t 是正整数，且 st） ，在 m 的所有这些加和中，若s、t 两加数之差的绝对值最小，称s+r 为 m的最美加和，并规定F（m）=7s6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为 615243，所以 3+4 为 7 的最美加和， 所以 F （7）=7364=3（1）F（8）=，F（9）=：（2）对任意的正整数 n（n2） ，用含 n 的代数式分别表示出n 为奇数，偶数时的 F（n） ：（3）若一个三位正整数q 是 7 的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数 q为“ 潜力数 “ ，求所有 “ 潜力数 ” 中 F（q）的最大值13 （2017 春?涪陵区期末）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为 0， 若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数所有这些两位数的和等于这个三位数本身则称这样的三位数N 为“ 友好数 ” 例如：132选择百位数字1 和十位数字 3 所组成的两位数为： 13 和 31选择百位数字 1 和个位数字 2 所组成的两位数为： 12 和 21选择十位数字 3 和个位数字 2 所组成的两位数为： 32 和 23因为 13+31+12+21+32+23=132，所以132 是“ 友好数 ” 一个三位正整数， 若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和则称这样的三位数为“ 和平数 “ ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 6 页（共 15 页）（1）判断 123 是不是 “ 友好数 “ ？请说明理由（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100 x+10y+z，比如三位数 523 可用多项式表示为： 5100+210+3证明：当一个 “ 和平数 ”是“ 友好数 ” 时，则 z=2x14 （2018 春?北碚区校级月考）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为 0，若从它的百位、 十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N 为“ 公主数” 例如： 132，选择百位数字1 和十位数字 3 所组成的两位数为： 13 和31，选择百位数字 1 和个位数字 2 组成的两位数为： 12 和 21，选择十位数字3 和个位数字 2 所组成的两位数为： 32 和 23，因为 13+31+12+21+32+23=132，所以 132 是“ 公主数 ” 一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“ 伯伯数 ” （1）判断 123 是不是 “ 公主数 ” ？请说明理由（2）证明：当一个 “ 伯伯数 ”是“ 公主数 ” 时，则 z=2x（3）若一个 “ 伯伯数 ” 与 132 的和能被 13 整除，求满足条件的所有 “ 伯伯数 ” 15 （2017?江北区校级模拟）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=pq（p、q 是正整数，且 pq） ，正整数的所有这种分解中，如果p、q 两因数之差的绝对值最小， 我们就称 pq 是正整数的最佳分解 并规定：F （n）= 例如 24 可以分解成 124，212，38 或 46，因为 2411228364，所以 46 是 24 的最佳分解，所以F（24）=（1）求 F（18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10 x+y（1xy9，x、y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为 n，若 mn 为 4752，那么我们称这个数为 “ 最美数 ” ，求所有 “ 最美数 ” ；（3）在（ 2）所得 “ 最美数 ” 中，求 F（t）的最大值16 （2017 春?渝中区校级月考）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 7 页（共 15 页）位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差， 则我们称这个四位数为亲密数， 例如：自然数 4312，其中 31，4=3+1，2=31，所以 4312 是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7 倍之差能被 13 整除，请求出这个亲密数17 对于一个三位正整数m 各数位上的数字重新排序后得到新数（ab 且 a，b，c 均不为零且可以与 m 相同） ，当所有重新排列中最小时，则称为 m 的“ 倍约数 ” ，并规定 F（m）=c2（a+b）2，其中 a，b 表示 a，b的最小公倍数，（a，c）表示 a，c 的最大公约数，如： m=324 时，重新排列432、423重，因为=6，=4，且 46，所以 423 是 m=324的“ 倍约数 ” ，此时 F（m）=32（4+2）2=27，若 m=522，重新排列 522，225，因为=10，=2，且 210， 所以 225是 m=522的“ 倍约数” ，此时 F（m）=52（2+2）2=9根据以上阅读材料，解决下列问题（1）若三位正整数 m 能被 19 整除，且 m 百位上的数字比个位数上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字小2，求证： F（m）是一个完全平方数（2）已知三位正整数m，n 均小于 300 的完全平方数，且mn=p（p 为质数） ，当 m 最大时，求 F（m）的值18 （2018 春?汉阳区期末） 对任意一个三位数n，如果 n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“ 差异数 ” ，将一个 “ 差异数 ” 任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F（n） 例如 n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 213+321+132=666，666111=6，所以 F（123）=6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 8 页（共 15 页）（1）计算 F（243） ；（2）若一个 “ 差异数 ” 表示为， （其中 1a9，1b9，1c9，且 a，b，c 均为正整数），则求证： F（）=a+b+c；（3）若 s，t 都是“ 差异数 ” ，其中 s=100 x+32，t=150+y（1x9，1y9，x，y 都是正整数），规定：k=，当 F（s）+F（t）=18时，直接写出 k 的最大值19 （2017?沙坪坝区校级三模）若一个三位数t=（其中 a、b、c 不全相等且都不为 0） ，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为 T （t） 例如，357的差数 T （357）=753357=396（1）已知一个三位数（其中 ab1）的差数 T（）=792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；（2）若一个三位数（其中 a、b 都不为 0）能被 4 整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数被 4 除余 1，再将新数个位数字移到百位得到另一个新数被 4 除余 2， 则称原数为 4 的“ 闺蜜数 ” 例如： 因为 612=4153， 261=465+1，126=431+2，所以 612 是 4 的一个闺蜜数求所有小于500 的 4 的“ 闺蜜数”t，并求 T（t）的最大值20 （2017 秋?埇桥区月考） 对任意一个三位数n，如果 n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“ 相异数 ” ，将一个 “ 相异数 ” 任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F（n） 例如 n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 213+321+132=666，666111=6，所以 F（123）=6（1）计算： F（143） ，F（624） ；（2）若 m 是“ 相异数” ，m 的百位上的数字为7，十位上的数字比个位上的数字多 3，且 F（m）=22，“ 相异数 ”m 是多少？（3）若 s，t 都是“ 相异数 ” ，其中 s=100a+35，t=160+b（1a9，1b9，a，b 都是正整数），当 F（s）+F（t）=22 时，求 a+b 的值21 （2018 春?沙坪坝区校级期末）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 9 页（共 15 页）十位数字与个位数字的和，则称这个数为“ 和数” ，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“ 谐数” 如果一个数即是 “ 和数” ，又是“ 谐数” ，则称这个数为 “ 和谐数 ” 例如 321，3=2+1，321 是“ 和数” ，3=2212，321 是“ 谐数” ，321 是“ 和谐数 ” （1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意 “ 谐数” 的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知 m=10b+3c+817 （0b7，1c4，且 b，c 均为整数）是一个 “ 和数” ，请求出所有 m22 （2018?重庆模拟）根据阅读材料，解决问题数 n 是一个三位数， 各数位上的数字互不相同， 且都不为零， 从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n 的“ 生成数 ” 数 n 的所有 “ 生成数 ” 之和与 22 的商记为 G（n） ，例如 n=123，它的六个 “ 生成数 ” 是 12，13，21，23，31，32，这六个 “ 生成数 ” 的和 12+13+21+23+31+32=132，13222=6，所以 G （123）=6（1）计算： G（125） ，G（746） ；（2）数 s，t 是两个三位数，它们都有 “ 生成数 ” ，a，1，4 分别是 s 的百位、十位、个位上的数字， x，y，6 分别是 t 的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若 G（s）?G（t）=84，求 k 的最小值23 （2016 秋?渝中区校级期末）任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数 A 的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称 A 和 B为一对四位回文数例如A=2016，B=6102，则 A 和 B就是一对四位回文数，现将 A 的回文数 B 从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A 的回文数 B 作三位数的和例如将 6102 依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为： 610+102+26+261=999，把 999 称为 2016 的回文数作三位数的和（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被 111 整除？并说明理由；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 10 页（共 15 页）（2）已知一个四位正整数（千位数字为 1，百位数字为 x 且 0 x9，十位数字为 1，个位数字为 y 且 0y9）的回文数作三位数的和能被27 整除，请求出 x 与 y 的数量关系24 （2018 秋?沙坪坝区校级月考）若一个四位自然数n 满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“ 天平数 ” 将“ 天平数 ”n 的前两位与后两位交换位置得到一个新的 “ 天平数 ”n，记 F （n）=，例如 n=2112，n=1221，F（2112）=9（1）计算 F（5335）=；若“ 天平数 ”n 满足 F（n）是一个完全平方数，求F（n）的值；（2）s、t “ 天平数 “ ，其中 s=，t=（1ba9，1xy9 且 a，b，xy为整数） ，若 F（s）能被 8 整除，且 F（s）+F（t）9（y+1）=0，规定： K（s，t）=，求 K（s，t）的所有结果的值25 （2017 秋?万州区期末） 一个能被 13 整除的自然数我们称为 “ 十三数 ” ，“ 十三数” 的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差， 如果能被 13 整除， 那么这个自然数就一定能被13 整除 例如：判断 383357 能不能被 13 整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383357=26，26 能被 13 整除，因此 383357是“ 十三数 ” （1）判断 3253 和 254514是否为 “ 十三数 ” ，请说明理由（2）若一个四位自然数， 千位数字和十位数字相同， 百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为 “ 间同数 ” 求证：任意一个四位 “ 间同数 ” 能被 101 整除若一个四位自然数既是“ 十三数 ” ，又是“ 间同数 ” ，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差26 （2017?沙坪坝区校级模拟）在一个m（m3，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第 n（nm，n 为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数k（k 为正整数），则称这样的数为 “ 对称等和数 ” 例如在正整数 3186 中， 因为 3+6=1+8=9， 所以 3186 是“ 对称等和数 ” ， 其中 k=9 再名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 11 页（共 15 页）如在正整数 53697 中，因为 5+7=3+9=6+6=12，所以 53697 是“ 对称等和数 ” ，其中 k=12（1）已知在一个能被11 整除的四位 “ 对称等和数 ” 中 k=4设这个四位 “ 对称等和数” 的千位上的数字为s（1s9，s 为整数） ，百位上的数字为 t（0t9，t 为整数） ，是整数，求这个四位 “ 对称等和数 ” ；（2）已知数 A，数 B，数 C都是三位 “ 对称等和数 ” A=（1a9，a 为整数） ，设数 B 十位上的数字为x（0 x9，x 为整数） ，数 C 十位上的数字为y（0y9，y 为整数） ，若 A+B+C=1800 ，求证： y=x+1527 （2017 秋?沙坪坝区校级期末）一个三位自然数是s，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0 的新三位自然数 s（s可以与 s 相同） ， 设 s=，在 s所有的可能情况中， 当| x+3yz| 最大时， 我们称此时的 s是 s 的“ 梦想数” ，并规定 P（s）=x2+3y2z2例如 127 按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为 | 2+37| =2，| 1+212| =20，| 7+61| =12，21220，所以 172 是 172 的“ 梦想数 ” ，此时， P（127）=12+37222=144（1）求 512 的“ 梦想数” 及 P（512）的值；（ 2） 设 三 位 自 然 数 S=交 换 其 个位 与十 位上 的 数 字 得 到新 数 s ，若29s+7s=4887，且 P（s）能被 7 整除，求 s的值28 （2018?重庆）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称 n 为“ 极数” （1）请任意写出三个 “ 极数” ；并猜想任意一个 “ 极数” 是否是 99 的倍数，请说明理由；（2） 如果一个正整数 a是另一个正整数 b 的平方， 则称正整数 a是完全平方数若四位数 m 为“ 极数” ，记 D（m）=，求满足 D（m）是完全平方数的所有m29 （2018 春?沙坪坝区校级期末） 若正整数 k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为 1 且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数 k 为“ 言唯一数 ” ，交换其首位与个位的数字得到一个新数k，并记 F（k）=+1（1）最大的四位 “ 言唯一数 ” 是，最小的三位 “ 言唯一数 ” 是；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 12 页（共 15 页）（2）证明：对于任意的四位“ 言唯一数 ”m ，m+m能被 11 整除；（3）设四位 “ 言唯一数 ”n=1000 x +100y+10y+1（2x9，0y9 且 y1，x、y均为整数）， 若 F （n） 仍然为 “ 言唯一数 ” ， 求所有满足条件的四位 “ 言唯一数 ”n30 （2017 春?开州区期末）阅读下列材料，解决后面两个问题如果一个四位数的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同， 则称这个四位数为 “ 四位友谊数 ” 如 2112，5225，7667， 等都是“ 四位友谊数 ” 如果将一个 “ 四位友谊数 ” 的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“ 四位友谊数的姊妹数 ” ，如果“ 四位友谊数 ” 的百位数字是0，则交换位置后保留首位的“0”，即它的姊妹数就是首位为 “0”的四位数，如2112 的对应数为1221，5225 的对应数为2552，1001 的对应数为 0110（1）任意写一个 “ 四位友谊数 ” 及它的“ 姊妹数 ” ；猜想任意一个 “ 四位友谊数 ” 与它的“ 姊妹数 ” 的差是否都能被11整除？并说明理由（2）一个“ 四位友谊数 ” 的千位数字为 a（1a9） ，百位数字为 b（0b9，ba） 若这个 “ 四位友谊数 ” 与它的姊妹数的差能被486 整除，求这个四位友谊数31 （2017?重庆）对任意一个三位数n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零， 那么称这个数为 “ 相异数 ” 将一个“ 相异数 ” 任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111 的商记为 F（n） 例如 n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 213+321+132=666，666111=6，所以 F（123）=6（1）计算： F（243） ，F（617） ；（2）若 s，t 都是“ 相异数 ” ，其中 s=100 x+32，t=150+y（1x9，1y9，x，y 都是正整数），规定： k=，当 F（s）+F（t）=18时，求 k 的最大值32 （2015?重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做 “ 和谐数 ” 例如：自然数64746 从最高位到个位排出的一串数字是 6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 13 页（共 15 页）6，所以 64746 是“ 和谐数 ” 再如： 33，181，212，4664， ，都是 “ 和谐数” （1）请你直接写出3 个四位 “ 和谐数 ” ，猜想任意一个四位数 “ 和谐数 ” 能否被 11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11 整除的三位 “ 和谐数 ” ，设个位上的数字为x（1x4，x为自然数），十位上的数字为y，求 y 与 x 的函数关系式33 （2015?重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为 “ 和谐数 ” 例如自然数 12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是： 1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此 12321 是一个 “ 和谐数 ” ，再如 22，545，3883，345543， ，都是“ 和谐数 ” （1）请你直接写出3 个四位 “ 和谐数 ” ；请你猜想任意一个四位“ 和谐数 ” 能否被11 整除？并说明理由；（2）已知一个能被11 整除的三位 “ 和谐数 ” ，设其个位上的数字x（1x4，x为自然数），十位上的数字为y，求 y 与 x 的函数关系式34 （2018?沙坪坝区校级一模）对于两个两位数m 和 n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11 的商记为 F（m，n） 例如：当 m=36，n=10 时，将 m十位上的 3 放置 n 中 1 与 0 之间，将 m 个位上的 6 位置于 n 中 0 的右边，得到 1306将 n 十位上的 1 放置于 m 中 3 和 6 之间，将 n 个位上的 0 放置于 m中 6 的右边，得到3160这两个新四位数的和为1306+3160=4466，446611=406，所以 F（36，10）=406（1）计算： F（20，18）（2）若 a=10+x，b=10y+8（0 x9，1y9，x，y都是自然数）当 150F （a，36）+F（b，49）=62767时，求 F（5a，b）的最大值35 （2018 春?渝北区期末） 对于两个两位数p 和 q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 第 14 页（共 15 页）位数的和与 11 的商记为 F（p，q） 例如：当 p=23，q=15时，将 p 十位上的2 放置于 q 中 1 与 5 之间， 将 p 个位上的 3 位置于 q 中 5 的右边， 得到 1253 将q 十位上的 1 放置于 p 中 2 和 3 之间，将 q 个位上的 5 放置于 p 中 3 的右边，得到 2135这两个新四位数的和为1253+2135=3388，338811=308，所以 F （23，15）=308（1）计算： F （13，26） ；（2）若 a=10+m，b=10n+5， （0m9，1n9，m，n 均为自然数