人教版九年级数学上册22.1.4 《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》课件.ppt

第二十二章 二次函数,人教版九年级数学上册,22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质,第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,情境引入,1.会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴.（重点）,导入新课,复习引入,向上,向下,(h ,k),(h ,k),x=h,x=h,当xh时， y随着x的增大而增大.,当xh时， y随着x的增大而减小.,x=h时,y最小=k,x=h时,y最大=k,抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.,(0,0),y轴,0,(0,-5),y轴,-5,(-2,0),直线x=-2,0,(-2,-4),直线x=-2,-4,(4,3),直线x=4,3,?,?,?,?,?,?,讲授新课,探究归纳,我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？,问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？,配方可得,配方,你知道是怎样配方的吗？,(1)“提”：提出二次项系数；,(2)“配”：括号内配成完全平方；,(3)“化”：化成顶点式.,提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.,问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？,答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.,问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？,答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.,问题4 如何画二次函数 的图象？,先利用图形的对称性列表,7.5,5,3.5,3,3.5,5,7.5,然后描点画图， 得到图象如右图.,O,问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质.,x=6,当x6时，y随x的增大而增大.,O,例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.,-6.5,-4,-2.5,-2,-2.5,-4,-6.5,解: 函数 通过配方可得 ， 先列表：,典例精析,然后描点、连线，得到图象如下图.,由图象可知，这个函数具有如下性质： 当x1时，函数值y随x的增大而增大； 当x1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.,求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.,因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).,解：,练一练,我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？,y=ax+bx+c,归纳总结,二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,(1),(2),如果a0,当x 时，y随x的增大而增大.,如果a 时，y随x的增大而减小.,例2 已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） Ab1 Bb1 Cb1 Db1,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D .,D,填一填,(1,3),x=1,最大值1,(0,-1),y轴,最大值-1,最小值-6,( ,-6),直线x=,合作探究,问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：,问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：,x=0时，y=c.,x=0时，y=c.,二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系,向上,向下,y,左,右,正,负,例3 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2. 其中正确的个数是 () A1B2C3D4,D,由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；,由图象上x1的点在第四象限得abc0，由图象上x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确,【解析】由图象开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图象与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；,由对称轴x1可得2ab0，故正确；,1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：,A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=,则该二次函数图象的对称轴为( ),D,当堂练习,2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x=1和x=3时，函数值相等； （3） 4a+b=0； （4）当y=2时，x的值只能取0； 其中正确的是 .,直线x=1,（2）,3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（ ）,A B C D,x,y,O,2,x=-1,B,4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：,直线x=3,直线x=8,直线x=1.25,直线x= 0.5,课堂小结,顶点：,对称轴：,y=ax2+bx+c（a 0) (一般式),配方法,公式法,(顶点式),第二十二章 二次函数,人教版九年级数学上册,22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质,第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式,1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点） 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）,导入新课,复习引入,1.一次函数y=kx+b(k0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？,2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？,2个,2个,待定系数法,(1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式）,探究归纳,问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？,3个,3个,（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：,讲授新课,解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得,选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.,解得,所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.,待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式）,这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： 设函数表达式为y=ax2+bx+c； 代入后得到一个三元一次方程组； 解方程组得到a,b,c的值； 把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.,归纳总结,一般式法求二次函数表达式的方法,例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.,解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得,解这个方程组，得,所求的二次函数的表达式是,选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.,解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得,y=a(x+2)2+1，,再把点（1，-8）代入上式得,a(1+2)2+1=-8，,解得 a=-1.,所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.,归纳总结,顶点法求二次函数的方法,这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： 设函数表达式是y=a(x-h)2+k； 先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； 将另一点的坐标代入原方程求出a值； a用数值换掉，写出函数表达式.,例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.,解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.,又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得,所求的二次函数的解析式是,解：（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得,y=a(x+3)(x+1).,再把点（0，-3）代入上式得,a(0+3)(0+1)=-3，,解得a=-1，,所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.,选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.,归纳总结,交点法求二次函数表达式的方法,这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： 设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； 先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； 将方程的解代入原方程求出a值； a用数值换掉，写出函数表达式.,想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？,任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.,例3.已知二次函数yax2 c的图象经过点(2,3) 和(1,3)，求这个二次函数的表达式,解:该图象经过点（2,3）和(1,3)，,3=4a+c，,3=a+c，,所求二次函数表达式为 y=2x25.,a=2，,c=5.,解得,已知二次函数yax2 bx的图象经过点(2，8) 和(1，5)，求这个二次函数的表达式,解:该图象经过点（-2,8）和（-1,5），,做一做,解得a=-1,b=-6., y=-x2-6x.,当堂练习,1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .,注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.,x,y,O,1,2,-1,-2,-3,-4,3,2,1,-1,3,4,5,2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 .,顶点坐标是（1，6）,y=-2(x-1)2+6,3.已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)求这个二次函数的表达式,解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc 依题意得,这个二次函数的表达式为y2x23x4.,abc1，,c4，,a-bc-5，,解得,b3，,c4，,a2，,4.已知抛物线与x轴相交于点A(1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式,解：因为点A(1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为ya(x1)(x1) 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1a(01)(01)，解得a1， 所以所求抛物线的表达式为y(x1)(x1)， 即yx21.,5.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x3，请解答下列问题：,(1)求抛物线的表达式；,解：(1)把点A(4，3)代入yx2bxc 得164bc3，c4b19. 对称轴是x3， 3， b6，c5， 抛物线的表达式是yx26x5；,(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD8，求BCD的面积,(2)CDx轴，点C与点D关于x3对称 点C在对称轴左侧，且CD8， 点C的横坐标为7， 点C的纵坐标为(7)26(7)512. 点B的坐标为(0，5)， BCD中CD边上的高为1257， BCD的面积 8728.,课堂小结,已知三点坐标,已知顶点坐标或对称轴或最值,已知抛物线与x轴的两个交点,已知条件,所选方法,用一般式法：y=ax2+bx+c,用顶点法：y=a(x-h)2+k,用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标）,待定系数法 求二次函数解析式,