2022年微分几何练习题库及参考答案.. .pdf

1 微分几何复习题与参考答案一、填空题1极限232lim(31)ijktttrrr138ijkrrr2设f ( )(sin )ijtttrrr，2g( )(1)ijttterr，求0lim( )( )tf tg trr 0 3已知42r( )d =1,2,3ttr，64r( )d =2,1,2ttr，2,1 ,1ar，1, 1,0br，则4622( )( )ar t dt+ba r t dt=rrrr r3, 9,5 .4已知( )r tarr（ ar为常向量），则( )r trtacrr5已知( )r ttarr， （ ar为常向量），则( )r tr212t acrr6. 最“ 贴近” 空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和密切平面 _. 7. 曲率恒等于零的曲线是 _ 直线_ .8. 挠率恒等于零的曲线是 _ 平面曲线 _ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线( )rr trr在 t = 2 处有3vv&，则曲线在 t = 2 处的曲率 k = 3 .11. 若在点00(,)uv处v0urrrrr， 则00(,)u v为曲面的 _ 正常_点. 12 已知( )(2)(ln )f tt jt krrr，( )(sin )(cos )g tt it jrrr，0t，则40()dfg dtdtrr4cos6213曲线3( )2 ,tr tt ter在任意点的切向量为22,3,tte14曲线( )cosh , sinh ,r tat at atr在0t点的切向量为0, ,a a 15曲线( )cos , sin ,r tat at btr在0t点的切向量为0, , a b 16设曲线2:,ttCxeyezt，当1t时的切线方程为2111zeeyeex17设曲线tttezteytex,sin,cos，当0t时的切线方程为11zyx. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _ . 19. u曲线（ v曲线）的正交轨线的微分方程是_ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20. 在欧拉公式2212cossinnkkk中，是方向(d) 与 u曲线的夹角 . 21. 曲面的三个基本形式,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是20HK.22已知 r( , ),u vuv uv uvr，其中2,sinutvt，则drdtr2cos ,2cos ,2costtttvtut 23已知 r(, )coscos ,cos sin ,sinaaar，其中t ，2t，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页2 dr(, )dtrsincos2cos sin ,sinsin2cos cos ,cosaataata24设( , )rr u vrr为曲面的参数表示， 如果0uvrrrrr，则称参数曲面是正则的； 如果:()rGr Grr是一一对应的，则称曲面是简单曲面25如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网26平面 r( , ), ,0u vu vr的第一基本形式为22dduv，面积微元为 d du v27悬链面 r( , )cosh cos ,cosh sin ,u vuvuv ur第一基本量是22cosh0,coshEuFGu，28曲面 zaxy 上坐标曲线0 xx，0yy的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x ya xa y.29正螺面( , )cos ,sin ,r u vuv uv bvr的第一基本形式是2222d()duubv30双曲抛物面 r( , )(),(), 2u va uvb uvuvr的第一基本形式是2222222222(4)d2(4)d d(4)dabvuabuvu vabuv31正螺面( , )cos ,sin ,r u vuv uv bvr的平均曲率为 0 32方向(d)d :duv是渐近方向的充要条件是22( )020nkdLduMdudvNdv或33. 方向(d)d :duv和( ) :uv共轭的充要条件是(,)0()0dr rLdu uM du vdv uNdv vIIrr或34.是主曲率的充要条件是0ELFMFMGN35.(d)d : duv是主方向的充要条件是22dddd00dddddvdudvduE uF vL uM vEFGF uG vM uN vLMN或36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d:d )uv是主方向，则nndnk drkrr，其中是沿方向 (d) 的法曲率37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于(C) 在 P 点的切平面上的正投影曲线 ( C*) 的曲率39,gnk kk之间的关系是222gnkkk40如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41正交网时测地线的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 cossin22cossinvuEGd=dsEGGEdu=dsEdv=dsG42曲线是曲面的测地线，曲线( C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 . 二、单项选择题1已知( ), ,ttr te t er，则r (0)r为（ A ） A. 1,0,1 ； B. 1,0,1 ； C. 0,1,1 ； D. 1,0, 1 .2已知( )( )r tr trr，为常数，则( )r tr为（ C ） A. tar； B. ar； C. te ar； D. e ar. 其中 ar为常向量3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D ） A切线与固定方向成固定角；B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直；D副法线与固定方向垂直4. 曲面在每一点处的主方向（A ）A至少有两个；B只有一个；C只有两个；D可能没有 .5球面上的大圆不可能是球面上的（D ）A测地线；B曲率线；C法截线；D渐近线 . 6. 已知 r( , ), ,x yx y xyr，求(1,2)drr为（ D ） A. d ,d ,d2dxyxy ； B. dd ,dd ,0 xyxy；C. d -d ,d +d ,0 xyxy； D. d ,d ,2ddxyxy . 7圆柱螺线cos ,sin ,rtt tr的切线与z轴（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角4； D. 有固定夹角3. 8设平面曲线:( )C rr srr，s 为自然参数，rr,是曲线的基本向量叙述错误的是（ C ） A. r为单位向量； B. rr&； C. krr&； D. krrr&. 9直线的曲率为（ B ） A. -1 ； B. 0； C. 1； D. 2. 10关于平面曲线的曲率:( )C rr srr不正确的是（ D ） A. ( )( )k ssr&； B. ( )( )k ss&，为( )sr的旋转角；C. ( )k sr&； D. ( )| ( ) |k sr sr&. 11对于曲线，“曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的（ D ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页4 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件 . 12下列论述不正确的是（ D ） A. ,rrr,均为单位向量； B. rr； C. rr； D. rrP. 13对于空间曲线 C ， “挠率为零”是“曲线是直线”的（B ） A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件 . 142sin4),cos1(),sin(taztayttax在点2t的切线与z轴关系为（ D ） A. 垂直；B. 平行； C. 成3的角；D. 成4的角. 15椭球面2222221xyzabc的参数表示为（ C ） A. , ,cos cos ,cossin ,sinx y z；B. , ,cos cos , cos sin ,sinx y zab；C. , ,cos cos , cos sin , sinx y zabc；D. , ,cos cos , sincos , sin2x y zabc. 16曲面2233( , )2,r u vuv uvuvr在点(3,5,7)M的切平面方程为（ B ） A. 2135200 xyz； B. 1834410 xyz；C. 756180 xyz； D. 1853160 xyz. 17球面( , )cos cos ,cos sin ,sinr u vRuv Ruv Rur的第一基本形式为（ D ） A. 2222(dsind)Ruu v； B. 2222(dcoshd)Ruu v；C. 2222(dsinhd)Ruu v； D. 2222(dcosd)Ruu v. 18正圆柱面( , )cos ,sin ,r u vRv Rv ur的第一基本形式为（ C ） A. 22dduv； B. 22dduv； C 222dduRv； D. 222dduRv. 19在第一基本形式为222(d ,d )dsinhduvuu vI的曲面上，方程为12()uv vvv的曲线段的弧长为（ B ） A21coshcoshvv； B21sinhsinhvv；C12coshcoshvv； D12sinhsinhvv20设 M 为正则曲面，则 M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ） A0E； B0F； C0G； D0M21高斯曲率为零的的曲面称为（ A ） A极小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D平面22曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ） A 0； B 1； C 2 ； D 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页5 23当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ） A 1ln2EuE； B1ln2EvG；C1ln2GvE； D 1ln2EuG24如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ） A 直线；B 平面曲线； C 抛物线； D 圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打）1. 向量函数( )rr trr具有固定长度，则( )( )r tr trr.2. 向量函数( )rr trr具有固定方向，则( )( )r tr trrP.3. 向量函数( )r tr关于 t 的旋转速度等于其微商的模( )r tr.4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线 . 5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线 . 6. 圆柱面cos ,sin, ,rRRzrz线是渐近线 . 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 9. 等距变换一定是保角变换. 10. 保角变换一定是等距变换 . 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量16. 曲面上的直线一定是测地线17. 微分方程A(, )B( , )0u v duu v dv表示曲面上曲线族 . 18. 二阶微分方程22( , )2 ( , )( , )0A u v duB u v dudvC u v dv总表示曲面上两族曲线 . 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F，这里 F 是第一基本量 . 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.22. 球面上的圆一定是测地线 .23. 球面上经线一定是测地线 .24. 测地曲率是曲面的内蕴量 . 四、计算题1求旋轮线)cos1(),sin(tayttax的20t一段的弧长解旋轮线( )(sin ), (1 cos )r ta ttatr的切向量为( )cos , sinr taat atr， 则在20t一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页6 段的弧长为：2200( ) d21cos d8sr ttat tar2求曲线ttezttyttx,cos,sin在原点的切向量、主法向量、副法向量解由题意知( )sincos ,cossin ,ttr ttttttt eter，( )2cossin , 2sincos ,2ttrttttttteter，在原点，有(0)(0,1,1),(0)(2,0,2)rrrr，又()(),rrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrr，rrrrrrrrr，所以有22666333(0,),(,),(,)22366333rrr. 3圆柱螺线为( )cos ,sin ,r tat at btr，求基本向量,rrr；求曲率 k 和挠率. 解( )sin ,cos ,r tat at br，( )cos ,sin ,0rtatatr，又由公式()(),rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr222211sin ,cos ,cos ,sin ,0 ,sin ,cos ,at at bttbtbt aababrrr由一般参数的曲率公式3( )rrk trrrr及挠率公式2(,)( )rrrtrrrrrrr有22akab，22bab. 4求正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv bvr的切平面和法线方程解cos ,sin ,0urvvr，sin , cos ,vruv uv br，切平面方程为cossincossin00sincosxuvyuvzbvvvuvuvb，sincos0,bv xbu yuzbuv法线方程为cossinsincosxuvyuvzbvbvbvu5求球面( , )coscos , cos sin ,sinraaar上任一点处的切平面与法线方程解sincos ,sinsin , cosraaar，cos sin ,cos cos ,0raar，312sincossinsincoscossincoscos0eeerraaaaarrrrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页7 2coscoscos ,cos sin ,sina球面上任意点的切平面方程为2cos cos ,cos sin ,sincoscos cos , cos sin , sin0,xayazaa即coscoscossinsin0 xyza，法线方程为2(coscos ,cossin,sin)cos(coscos ,cossin ,sin),xayazaa即coscoscossinsincoscoscossinsinxayaza6求圆柱螺线cos ,sin ,xat yat zt在点( ,0,0)a处的密切平面 .解( )sin ,cos ,1,r tat atr( )cos ,sin ,0,rtatatr所以曲线在原点的密切平面的方程为00sincos10cossin0 xayzatat=atat，即sin )(cos )sin0t xt yazat(.7求旋转抛物面22()za xy的第一基本形式解参数表示为22( , ), , ()r x yx y a xyr，1,0,2xraxr，0,1,2yrayr，2214xxErra xrr，24xyFrra xyrr，2214yyGrra yrr，2222222(d ,d )(14)d8d d(14)dxya xxa xy x ya yyI8求正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv bvr的第一基本形式解cos ,sin ,0urvvr，sin , cos ,vruv uv br，1uuErrrr，0uvFrrrr，22vvGrrubrr，2222(d ,d )d()duvuubvI9计算正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv bvr的第一、第二基本量解cos ,sin ,0urvvr，sin , cos ,vruv uv br，0,0,0uurr，sin ,cos ,0uvrvvr，cos ,sin ,0vvruvuvr，cossin0sin ,cos ,sincosuvijkrrvvbvbv uuvuvbrrrrr，22sin ,cos ,uvuvbvbv urrnrrburrrrr，1uuErrrr，0uvFrrrr，22vvGrrubrr，0uuLrnrr，22uvbMrnburr，0vvNrnrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页8 10计算抛物面22zxy的高斯曲率和平均曲率解 设抛物面的参数表示为22( , ), ,r x yx y xyr，则1,0,2xrxr，0,1,2yryr，0,0,2xxrr，0,0,0 xyyxrrrr，0 0 2yyrr， ，1022 , 2 ,1012xyijkrrxxyyrrrrr，222 ,2 ,1|441xyxyrrxynrrxyrrrrr，214xxErrxrr，4xyFrrxyrr，214yyGrryrr，222441xxLrnxyrr，0 xyMrnrr，222441yyNrnxyrr，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LNMxyKEGFxyxyxy，2232222124422(441)GLFMENxyHEGFxy11. 计算正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv avr的高斯曲率 . 解 直接计算知1E，0F，22Gua，0L，22aMua，0N，222222()LNMaKEGFua12. 求曲面2zxy的渐近线 . 解2zxy，则2zpyx，2zqxyy，220zrx，22zsyx y，222ztxy所以， L=0，422214yMyx y，422214xNyx y渐近线微分方程为24224224201414yxdxdydyyx yyx y，化简得(2)0dyydxxdy，020dyydxxdy或渐近线为 y=C1，x2y=C2 13. 求螺旋面cos , sin ,ruv uv bvr上的曲率线 . 解uvrcos,sin v,0,rusin v, ucos v, bvrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页9 2222uuvvEr1,Frr0,Grub ,rrrruv22uvbsin v, bcosv,ubsin v, bcosv,urrnrrbsin v, bcosv,uburrrrruuuvvvr = 0,0,0 , r =sin v,cosv,0 ,rucos v, usin v,0rrr，22bL0,M,N0ub曲率线的微分方程为 : 222222dvdudvdu10ub =0b00ub或dubudv221积分得两族曲率线方程 : 222212vln(uub )cvln(ubu)c .和14. 求马鞍面22 , ,ru v uvr在原点处沿任意方向的法曲率. 解1,0,2 ,0,1,2 rruvrurv，22214,4,14rrrguuvEruFr ruv Gv2222(14)8(14)uduuvdudvvdvuv22uv2u,2v,1rrnrr4u4v1rrrrr，uu222Ln r,4u4v1r rguvMn r0,r rgvv222Nn r4u4v1r rg22222222144144dudvuvuv，2222n22222dudv )14u4vk =(14u )du8uvdudv(14v )dv（. 15. 求抛物面22()za xy在(0,0)点的主曲率 . 解 曲面方程即22, , (),rrx y a xy1,0, 2,0,1,2,rrxyraxrayE(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,0,0, 2 ,0,0,0,0,0, 2 rrrxxxyyyrarra，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2 ,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2ak0002ak，所以两主曲率分别为12kk2a . 16. 求曲面22 , ,ru v uvr在点(1,1)的主方向 . 解ur =, ur1,0 2,vr,vr= 01,22214,4,14EuFuv Gv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页10 (1, ) 5(1, ) 4(1, ) 5;EFG1 = ,1 = ,1 =222222,0,4444LMNu + v +1u + v +12(1,1)(1,1),(1,1)0,3LNM代入主方向方程，得()()0dudvdudv, 即在点 (1,1)主方向:1:1;:1:1du dvuv. 17. 求曲面23( , ) , ,r u vu v uvr上的椭圆点，双曲点和抛物点解 由23 , ,ru v uvr得ur =, ur1,0 2,2,vr,vr= 0 1,3u uu vv vr =,r =,r =, vrrr0,0 2 ,0,0 0 ,0,0 6,242426,0,491491vLMNu + v +u + v +2241241vLNM.u +9v +v0时，是椭圆点； v0时，是双曲点； v=0时，是抛物点 . 18. 求曲面32( , ),r u vvuuvr上的抛物点的轨迹方程解由32( , ),r u vvuuvr得ur =u,r0,21 ,2,vrv ,r= 30,1uuu vv vr =,r =,r =v,rrr0,2 0 ,0,0 0 ,6 ,0 0 ,222612,0,vuvLMNEG-FEG-F令322720uvLNM= .EG-F得 u=0 或 v=0 所以抛物点的轨迹方程为r= v , vr30或0r=, u , ur2.19. 求圆柱螺线( )cos ,sin ,r tatatbtr自然参数表示 . 解 由( )cos ,sin ,r tatatbtr得sin ,cos ,rat at br-，22( )+,r tabr弧长22220( )+=+,ts tab dtab t22,+stab曲线的自然参数表示为222222( )cos,sin,.+sssr saababababr20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a srr= ( ),则主法线曲面为：r=a svs ,rrr( )+( )则,a =a=rrr&,b = =-krrrr&a b =k,rrg2,22b =k +r所以腰曲线是222a bkr=a ss =a sskbrrrrgrrrr( )-( )( )+( )+21求位于正螺面cos ,sin ,xuv yuv zav上的圆柱螺线00cos ,sin ,xuv yuv zav（0u=常数）的测地曲率解因为正螺面的第一基本形式为2222d()duuav，螺旋线是正螺面的v- 曲线0uu，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页11 由2得d0ds由正交网的坐标曲线的测地曲率得02202ugGukuaGE五、证明题1. 设曲线：(s),rrrr证明：2()k-;r ,r ,r =k.rrr r r& & & & &证明由伏雷内公式，得=k=-,rrrr&，两式作点积，得=- k=- k,rrrr& &k =-.rr& &r=r=k,rrrrr& &，2()r=k+k=k+k -k += -k+k+krrrrrrrrr& & & &22() () ()r ,r ,r =, k, -k+k+k=, k, k=k.rrrrrrrrr r r& & & &2. 设曲线：(s),rrrr证明：3()()r ,r ,r=kk - k .r rr& & & & & & &证明由伏雷内公式，得r=krrr& &，2()r=k+k=k+k -k +=-k+k+krrrrrrrrr& & & &323()(2)r =-kk + -k +k-k+k +krrrr& & & & &232() () ( 3()(2) )r ,r ,r = k-k+k+k- kk + -k +k-k+k +krrrrrrrr r r& & & & & & & &g3232() ( 3()(2) )= k+k- kk + -k +k-k+k +krrrrr& &g33432=- k k + k k +k&3()=kk - k&3. 曲线( )rr srr是一般螺线，证明1:rRdsrrr也是一般螺线（R 是曲线的曲率半径）证明1rRdsrrr，两边关于 s微商，得11dsRRdsrrrr&1RRRrrr&Rr&，1rrP ，由于是一般螺线，所以也是一般螺线 . 4. 证明曲线( )sin ( ),s ( ), (r tat dta cot dtbta,br是常数）是一般螺线证明( )sin( ),cos ( ),rtatatbr( )( )cos( ),( )sin( ),0,rtattattr2( )( )cos( ),sin( ), 0( ) sin( )cos( )0rtatttatttr，,22( ),rratabrr32()( )rrra btrrr,，322( ) ,rraktabrrrr222( ) ,rrrbtabrrrrrrr,kab . 5曲面 S上一条曲线 (C), P 是曲线 (C)上的正常点，ngk,k ,k分别是曲线 (C)在点 P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222ngk =k+k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页12 证明测地曲率()gkkknrrrrr( , )knknrrrrrsink.(是主法向量r与法向量nr的夹角 ) 法曲率cosnkknkrr，222ngk =k+k.6. 证明曲线cos ,sin , 0ttretetr的切向量与曲线的位置向量成定角证明 对曲线上任意一点， 曲线的位置向量为cos ,sin , 0ttretetr，该点切线的切向量为：(cossin ),(sincos ),0ttrett ettr，则有：22cos22tttr rer re er rr r，故夹角为4. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角7证明：若 rr和 rr对一切 t 线性相关，则曲线是直线证明 若 rr和 rr对一切 t 线性相关，则存在不同时为0 的( ),( )f tg t使( ) ( )( )( )0f t rtg t rtrrr，则,( )( )0,tr trtrrr又3( )rrk trrrr，故t 有( )0k t. 于是该曲线是直线8 证明圆柱螺线btztaytax,sin,cos的主法线和 z轴垂直相交证明由题意有( )sin , cos ,( )cos ,sin ,0r tat at brtatatrr，由()()rrrrrrrrrrrrrrrrrrr知cos , sin ,0ttr. 另一方面z轴的方向向量为0,0,1ar，而0arr，故arr，即主法线与z轴垂直9证明曲线tazttaytaxcos,cossin,sin2的所有法平面皆通过坐标原点证明由题意可得( )sin2 , cos2 ,sinr tat atatr，则任意点的法平面为0)cos(sin)cossin(2cos)sin(2sin00000020taztattaytataxta将点（ 0,0,0 ）代入上述方程有左边)cos0(sin)cossin0(2cos)sin0(2sin00000020tatattatatata0右边，故结论成立10证明曲线222132225 ,1xt+ t , yttzt为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明2221 32225 , 1rt+ t ,tttr，3 4210 ,2r+ t,ttr，4 10,2r,r，0 0, 0r,r(,)0r rr,r rr0，所以曲线是平面曲线 . 它所在的平面就是密切平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页13 (0)32, 0r,r，(0)4 10,2r,r密切平面方程为12132004102xyz，化简得其所在的平面方程是2x+3y+19z270. 11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程( )rr srr，定点的向径为0Rv，则0( )( )r sRsrrr两边求微商，得( )( )( )( )ssss krrrrr&(1( )( )0ss krrr&由于,rr线性无关，100k&k0 曲线是直线 . 12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为( )rr trr，则曲面在任一点的密切平面方程为( ),( ),( )0r tr trtrrrr因任一点的密切平面过定点，所以( ),( ),( )0or tr trtrrrr, 即( ( ),( ),( )0r tr trtrrr所以( )rr trr平行于固定平面，所以( )rr trr是平面曲线 .13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e，证明曲线是直线或平面曲线.证明根据已知条件，得0.er r，两边求导，得0err&，由伏雷内公式得0kerr，)0k，则曲线是直线；)0err又有可知rer因 er是常向量，所以r是常向量，于是| | 0,r&所以0 ，所以曲线为平面曲线 .14. 设在两条挠曲线,的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行. 证明rr, 21dsdsggrr由伏雷内公式得211dsdsvv12rr=进而12rr15.证明挠曲线（0）的主法线曲面是不可展曲面. 证明 设挠曲线为( )rr srr，则挠率0，其主法线曲面的方程是：( )( )r stsrrr取( ),( )ar sbsrrrr，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页14 ( ),( )kasbsgrrrrrr所以, (, ,)( ( ),( ),k)( ),( ),k)( ),( ),)0a b bssssssr rrrrrrrrrrrr所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0）的副法线曲面是不可展曲面. 证明 设挠曲线为( )rr srr，则挠率0，其副法线曲面的方程是：( )( )r stsrrr取( ),( )ar sbsrrrr，则( ),( )asbsgrrrrr所以 , (, ,)( ),( ),)0a b bssr rrrrr，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证明 设曲线rr(s),rr则曲线的主法线曲面为rr s +vsrrr= ( )( ),srvkvkvrrrrrr=+（-）=(1-)( )vr =srr,2,svsvrrvkvn=rrvkvrrrrrrr2（1-）-（1-） （）沿曲线（ v0）n=rr，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2ncos0,kk所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面cos ,sin,raubucur沿每一条直母线只有一个切平面. 证明cos ,sin,cos , sin, 0( )rrrraubucuu abcu为直纹面(0,( ),( )0rrr）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面. 也可以用高斯曲率K=0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证是一平面曲线 . 证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角0，则cosr rg0两边求微商，得0ggrrrrgg由于曲线是曲率线，所以grrP，进而0gr rg，由伏雷内公式得0rrg 0 时，是一平面曲线n0vvg ，即nvv，nkcos =0k，又因为是曲率线，所以0ndnk drvvv即nv是常向量，所以是平面曲线 . 20求证正螺面上的坐标曲线（即u曲线族v曲线族）互相垂直证明 设正螺面的参数表示是( , )cos , sin ,r u vuv uv bvr，则cos ,sin ,0urvvr，sin , cos ,vruv uv br，cos ,sin ,0sin , cos ,0uvrrvvuv uv brr，故正螺面上的坐标曲线互相垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 21. 证明在曲面上的给定点处, 沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式2212cossinnkkk*n1inkk222cos（）+k s（）221incosk222s+k所以*nn12kkkk常数 . 22. 如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线 . 证明因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有,rrn从而(),rrr&n又因为曲线是平面曲线，所以0,进一步nrr&.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面( )( )zf xfy上曲线族 x=常数， y =常数构成共轭网 . 证明曲面的向量表示为( , ), ,( )( ) ,r x yx y f xf yrx=常数, y=常数是两族坐标曲线 .1,0,xrfr,0,1,yrgr. 0,0,0,0,0,0,0,xxxyyyrfrrgrrr因为20 xyxyrrMrEGFrrr, 所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族x=常数, y=常数构成共轭网 .24证明马鞍面 zxy上所有点都是双曲点证明参数表示为( ,), ,r x yx y xyr，则1,0,xryr，0,1,yrxr，0,0,0 xxrr，0,0,1xyrr，0,0,0yyrr，,1xyrryxrr，22,1|1xyxyrryxnrrxyrrrrr，0 xxLrnrr，2211xyMrnxyrr，0yyNrnrr，222221100011LNMxyxy，故马鞍面zxy上所有点都是双曲点25如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )uvuvIII与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的试证球面是全脐的证明 设球面的参数表示为( , )cos cos ,cos sin ,sinr u vRvu Rvu Rvr，则cos sin ,cos cos ,0urRvu Rvur，sincos ,sin sin ,cosvrRvuRvu Rvr，cos cos ,cos sin ,0uurRvuRvur，sin sin ,sin cos ,0uvvurrRvuRvurr，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页16 cos cos ,cos sin ,sinvvrRvuRvuRvr，22cosuuErrRvrr，0uvFrrrr，2vvGrrRrr，22(,)cosuvuurrrLRvEGFrrr，2(,)0uvuvrrrMEGFrrr，2(,)uvvvrrrNREGFrrr，1( ,)(,)L MNE F GR，故球面是全脐的26证明平面是全脐的证明 设平面的参数表示为( , ), ,0r x yx yr，则1