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    2022年单因素方差分析的计算步 .pdf

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    2022年单因素方差分析的计算步 .pdf

    一、 单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素(因子)A,且A有m个水平,分别记为,21mAAA在每一种水平下,做n次实验,在每一次试验后可得一实验值,记做ijx表示在第j 个水平下的第 i 个试验值mjni,2 , 1;,2 , 1。结果如下表3.1:表 3.1 单因素方差分析数据结构表观测值水平1A2AmA1 11x12xmx12 22x22xmx2n1nx2nxnmx为了考察因素A对实验结果是否有显著性影响,我们把因素A的m个水平mAAA,21看成是m个正态总体,而mjnixij, 2, 1;,2 , 1看成是取自第j总体的第i个样品,因此,可设mjniaNxjij,2 , 1;, 2 , 1,2。可以认为jjja,是因素A的第j个水平jA所引起的差异。 因此检验因素A的各水平之间是否有显著的差异,就相当于检验:maaaH210:或者0:210mH具体的分析检验步骤是:(一)计算水平均值令jx表示第j种水平的样本均值,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - jniijjnxxj1式中,ijx是第j种水平下的第i个观察值,jn表示第j种水平的观察值次数(二)计算离差平方和在单因素方差分析中,离差平方和有三个,它们分别是总离差平方和,组内离差平方和以及组间平方和。首先,总离差平方和,用SST代表,则,2)(xxSSTij其中,nxxij它反映了离差平方和的总体情况。其次,组内离差平方和,用SSE表示,其计算公式为:jijijxxSSE2其中jx反映的是水平内部或组内观察值的离散状况,即反映了随机因素带来的影响。最后,组间平方和,用SSA表示,SSA的计算公式为:22xxnxxSSAjjj用各组均值减去总均值的离差的平方,乘以各组观察值个数,然后加总, 即得到SSA。可以看出,它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素,也包括系统因素。根据证明,SSASSESST,之间存在着一定的联系,这种联系表现在:SSASSESST因为:22xxxxxxjjijijxxxxxxxxjjijjjij222在各组同为正态分布,等方差的条件下,等式右边最后一项为零,故有,222)()()(xxxxxxjjijij即SSASSESST名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - (三)计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST来说,其自由度为1n,因为它只有一个约束条件,即0)(xxij。对SSA来说,其自由度是1m,这里m表示水平的个数,SSA反映的是组间的差异,它也有一个约束条件,即要求:0)(xxnjj对SSE来说,其自由度为mn,因为对每一种水平而言,其观察值个数为jn,该水平下的自由度为1jn,总共有m个水平,因此拥有自由度的个数为mnnmj) 1(。与离差平方和一样,SSESSASST,之间的自由度也存在着关系,即)()1(1mnmn这样对SSA,其平均平方MSA为:1mSSAMSA对于SSE,平均平方MSE为:mnSSEMSE(四)方差分析表由 F 分布知, F值的计算公式为:MSEMSAF组内方差组间方差为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚,通常把有关计算结果列成方差分析表如下表 3.2:表 3.2 方差分析表方差来源离 差 平 方 和(SS)自由度(df)平均平方(MS)F值组间组内总差异SSASSESST1mmn1nMSAMSEMSEMSA/名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - (五)作出统计判断对于给定的显著性水平,由F分布表查出自由度为), 1(mnm的临界值F,如果FF,则拒绝原假设, 说明因素对指标起显著影响;如果FF,则接受原假设,说明因素的不同水平对试验结果影响不显著。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -

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