2022年平面向量的数量积授课教案 .pdf
名师精编优秀教案平面向量的数量积授课教案张辉授课内容 ：平面向量的数量积授课类型 ：复习课授课教师 ：张辉教学目标 ：通过物理中 功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。教学重点 ：平面向量数量积的运算教学难点 ：平面向量与其他知识点的综合问题的处理命题走向：本讲以选择题、 填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值59 分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测 09 年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页名师精编优秀教案教学过程：一知识点梳理（1）数量积的概念已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，则a b =a b cos叫做a与 b 的数量积（或内积）。规定 00a；向量的投影： b cos =|a baR，称为向量 b 在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（2） 数量积的几何意义：a b 等于a的长度与 b 在a方向上的投影的乘积。（3）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：22|a aaa。乘法公式成立2222abababab；2222abaa bb222aa bb；平面向量数量积的运算律交换律成立： a bb a；对实数的结合律成立：aba babR；分配律成立：abca cb ccab。向量的夹角： cos =cos,a ba bab=222221212121yxyxyyxx。当且仅当两个非零向量a与 b 同方向时， =00，当且仅当a与b 反方向时 =1800，同时 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（4）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量1122(,),(,)ax ybxy，则a b =1212x xy y 。（5）垂直：如果a与b 的夹角为 900则称a与b 垂直，记作ab 。两个非零向量垂直的充要条件：a ba b O02121yyxx，平面向量数量积的性质。（6）平面内两点间的距离公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页名师精编优秀教案设),(yxa，则222|yxa或22|yxa。如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式)。二：典例解析例 1：已知向量a=(cosa,sina),b=(cos ,sin)ab且.那么 a+b与 a-b 的夹角的大小是？分析：() ()cos,ababab abab ab，易得()()0abab2例 2：已知3,2ab。（1）若 a与 b 的夹角为0150，求2ab（2）若 a-b与 a 垂直，求 a 与 b 夹角的大小分析：通常用一个向量与自身做内积来求它的模，当两个向量互相垂直时它们的内积为 0 , 本题主要考察了内积的定义以及学生对向量的内积运算的理解。2222202(2)4444cos120ababaabbaabb解：3,231243222ab因为上式（-）+4例 3已知4,3a，1,2b，,mab2nab，按下列条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页名师精编优秀教案求实数的值。 （1）mn； （2）/mn；(3) mn。解析：4,32,mab27,8nab（1）mn082374952；（2）/mn07238421；(3) mn08845872342222251122。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。三练习：1判断下列各命题正确与否：（1）00a；（2）00a；（3）若0,aa ba c，则bc；（4）若a ba c，则bc当且仅当0a时成立；（5）()()a bcab c对任意, ,a b c向量都成立；（6）对任意向量a，有22aa。学生完成，教师点评：（1）错； （2）对； （3）错； （4）错； （5）错； （6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚a0为零向量，而a0为零。2. 已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（） A 5 B4 C3 D1 点评：选择 B,掌握向量数量积的逆运算Qbbaacos|，以及22|aa。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师精编优秀教案3(2005 广东 12)已知向量) 3, 2(a，)6,(xb，且ba/，则x。点评：ba/，1221yxyx，x362，4x。4.（06 湖南理，5） 已知, 0|2|ba且关于x的方程0|2baxax有实根, 则a与b的夹角的取值范围是（）A6,0 B,3 C32,3 D,6点评：选择 B 作业：P138 2，3 四思维总结1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）在实数中，若 a 0，且 a b=0，则 b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0。因为其中 cos 有可能为 0；（2）已知实数 a、b、c(b 0)，则 ab=bc a=c。但是a b= b cca；如右图：a b= |a|b|cos = |b|OA|，bc = |b|c|cos = |b|OA|a b=b c，但ac；(3)在实数中，有 (a b)c= a(b c)，但是 (a b)ca(b c)，显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与 c 不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（1）结合律不成立：ab ca bc；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师精编优秀教案（2）消去律不成立a ba c不能得到bc；（3）a b=0 不能得到a=0或b=0。3 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中， 都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、 平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题； 三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式22aa，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；课后记：在高考复习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞” 。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
