2022年数学符号知识 .pdf

精心整理欢迎下载加号和减号加减运算是人类最早掌握的两种数学运算，且载于人类最早的文字记载中。古埃及的阿默斯纸草书就载有加号（Sign for Addition）及减号（Sign for Subtraction）：向右走的两条腿“”是加号，而向左走的两条腿“”是减号。后者于莫斯科纸草书中则表示“平方”。古希腊的丢番图以两数并列表示相加，偶然亦以一斜线“”及曲线“”分别作加号和减号使用。古印度人一般不用加号，只有在公元三世纪的巴赫沙里（Bakhshali ）残简中以“yu”作加及“”作减。中国古代因注重以工具计算，一般运算全在算筹或算盘上进行，只记录其结果，因此并无采用甚么数学符号，记录时用文字表达运算。十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以两数并列作加而以一特别符号“s”作减号。法国人许凯（1484）、意大利人帕乔利（1494 ）及十六世纪大多数学家都以拉丁词语plus （加）与minus （减）之首字母分别作加号（或 p）和减号（或 m）。十五世纪后廿年之德国人是最早使用现代的加号“”与减号“”。德国德累斯顿（Dresden ）图书馆所保存之手稿卷c.80(1486) 中便正式使用了“”、 “”号。而最先于印刷的书内使用加号“”与减号“” 的是捷克人维德曼（1489 ）。从十五世纪末至整个十六世纪，意大利人仍以及作加减号。到了1608 年，德国人克拉维乌斯于罗马出版的代数 一书内采用了“”“”号，意大利人才开始采用这两符号，但到卡瓦列里时代已很纯熟。此外，英国首个使用这两符号（1557 ）的是雷科德，而荷兰则于1637 年由胡克引入这两符号，同时亦传入其它欧洲大陆国家，后渐流行于全世界。乘号乘法（ Multiplication ）亦是最早产生的运算之一，且出现于人类最早的文字记载当中。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页精心整理欢迎下载中国古人及古希腊的丢番图都不用乘号（Signs of multiplication） ，但后者则以两数并列表示相乘（与加法相同）。印度的巴赫沙里残简中，把数排成表示；排成表示x x施蒂费尔于1545 年出版的一本算术书内以大写字母M 及 D 分别表示乘和除。斯蒂文于 1634 年出版的书内亦采用了这符号， 他以表示现在的3xyz2。 这儿的 sec 及 ter 分别表示第二、三个未知数。韦达（ 1591 ）以 AinB 作为 A 与 B 的乘积。一些十五世纪的手稿及印刷品仍以并列表示相乘，如6x ，5x2等，但必须有字母才行，因5 表示 5+ 而非 5x ，这记法至今还沿用着。西方称“为圣安德鲁斜十字（St. Andrews cross） （因安德鲁为耶稣的十二门徒之一，传说他被钉在十字架上处死），这名称与数学全无关系。十六世纪出版的一些数学书就有采用这号，但开首并非现代用法，而是以它表示两个独立的乘法运算，如以表示现在的315172x174715 及 395903x295448两个乘法。奥特雷德于1631 年在其著作 数学之钥（clavis mathematicae） 中首次以“”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行，沿用至今。莱布尼茨于1698 年 7 月 29 日给伯努利的一封信内提出以圆点“ ”表示乘，以防“”号与字母相混淆。后来以“ ”表示乘法的用法亦相当流行，现今欧洲大陆派 （德、法、苏等国） 规定以“ ”作乘号。 其它国家则以“” 作乘号， “”为小数点。而我国则规定以“”或“”作乘号都可，一般于字母或括号前的乘号可略去除号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页精心整理欢迎下载1544 年，施蒂费尔于其出版的整数算术（Arithmetica integra） 中以一个或一对括号作除号（Signs for division），如以8)24 或 8)24( 表示 24 8；奥特雷德则以a)b(c 表示 b a=c ；马洪（ 1701 年）则以 D)A+B-C表示 (A+B-C) D。至 1545 年，施蒂费尔又改以大写德文字母D 表示除（ Division ），其后，斯蒂文亦采用了这符号，他以表示，而戈里马德 （1751 年）则以反写字母表示除， 如 124=3及 a2b2a2。另外，昆尼亚于1790 年出版的数学原理中，以平放的小写字母表示除。现今之除号“”称为雷恩记号（Rahns notation），是瑞士人雷恩于1659 年出版的一本代数书中引用为除号。至 1668 年，他这本书之英译版面世，这记号亦得以流行，沿用至今。此外，莱布尼兹于他的一篇论文组合的艺术“Dissertatio de arte combinatoria”内首以冒号“：”表示除，后亦渐通用，至今仍采用。等号相等（ equal ）是数学中最重要的关系之一。等号（ Sign of Equality）之出现与方程有关，数学于萌芽时期已有了方程的记载，因此亦有了表示相等关系的方法。“方程”的概念早于中国古代已出现，但它是以“列表”（算筹布列）的方法解之，并不需等号，而书写时则以汉字“等”或“等于”表示。阿默斯纸草书中以“”表示相等；丢番图则以“”或间中以“ ”为等号； 巴赫沙里残简中以相当于pha 的字母为等号；到了十五世纪，阿拉伯人盖拉萨迪以“”表示相等；雷格蒙塔努斯则以水平之破折号“”为等号，如表示 x2+3x=30 ；帕乔利亦以破折号为等号，但 较长且记于数字之下，如表示x2-y2=36 。雷科德于 1557 年出版的砺智石一书中，首次采用现今通用之等号“”，因此这符号亦称为雷科德符号（Recordes sign）。不过，这符号之推广很缓慢，其后的著名人物精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页精心整理欢迎下载如开普勒、 伽里略与费马等人常以文字或缩写语如aequals, aeqantar, ae, esgale 等表示相等； 1637 年，笛卡儿还以“” 表示现代“”号之意，而以“”为等号。直至十七世纪末期，以“”为等号才被人们所接受，并渐得通用。不等号不等号（ Sign of inequality）是用以表示两个量数之间大小关系的符号。现在常用的有“”（不等号）、“ ”（大于号）及“”（小于号）。年， 在法国数学家日纳尔的代数教程里，用 “ ff”代表大于， 以及用“”代表小于 。年，英国著名的代数学家哈里奥特（）在其出版的数学著作中，首先创用了“”（大于号）及“”（小于号），但未被实时采用。同时期的英国数学家奥特雷德（）亦发明了以“”表示大于，以“ ”表示小于的符号，这种符号，至十八世纪仍被采用。至近代，“”及“”分别表示大于及小于的符号，逐渐被统一及广泛采用。并以“”“ ”及“”来表示为大于、小于及等于的否定号。“大于”和“小于”符号英国人哈里奥特于1631 年开始采用现今通用之“大于”号及“小于”号，但并未为当时数学界所接受。直至百多年后才渐成标准之应用符号。1655 年沃利斯曾以表示“等于或大于” ，到了 1670 年，他以及分别表示“等于或大于”和“等于或小于”。据哥德巴赫于 1734 年 1 月写给欧拉的一封信所述，现今通用之和符号为一法国人布盖（1698-1758 ） 所首先采用。然后逐渐流行。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页精心整理欢迎下载庞加莱与波莱尔于1901 年引入符号 （远大于），很快为数学界所接受，沿用至今。括号括号 bracket 是用来规定运算次序的符号。括号主要分为四类，包括大括号 、中括号 、小括号 ( )以及比较少用的括线。最早出现的括号是小括号( )，于 1544 年出现。直至17 世纪，中括号 才出现于英国瓦里斯1616 1703 的著作中，至于括线则由1591 年韦达 1540 1603 首先采用，而大括号 则约在1593 年由韦达首先引入；至1629 年，荷兰的基拉德采用了全部括号，18 世纪后始在世界通用。分数符号分数分别产生于测量及计算过程中。在测量过程中， 它是整体或一个单位的一部份；而在计算过程中，当两个数（整数）相除而除不尽的时候，便得到分数。其实很早已有分数的产生，各个文明古国的文化也记载有关分数的知识。古埃及人巴比伦人亦已有分数记号，至于古希腊人则用L表示， 例如： L=1， L=2， 及 L=3等。至于在数字的右上角加一撇点，便表示该数分之一。至于中国，很早就已采用了分数，世上最早的分数研究出现于九章算术，在九章算术中，有系统的讨论了分数及其运算。（九章算术方田章大广田术指出：分母各乘其余，分子从之。这正式的给出了分母与分子的概念）。而古代中国的分数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页精心整理欢迎下载记数法，分别有两种，其中一种是汉字记法，与现在的汉字记数法一样：分之；而另一种是筹算记法：用筹算来计算除法时，当中的商 在上， 实（即被除数） 列在中间， 而法（即除数）在下，完成整个除法时，中间的实可能会有余数，如图所示，即表示分数。在公元 3 世纪，中国人就用了这种记法来表示分数了。古印度人的分数记法与中国的筹算记法是很相似的，例如。在公元 12 世纪，阿拉伯人海塞尔最先采用分数线。他以来表示。而斐波那契是最早把分数线引入欧洲的人。至 15 世纪后，才被逐渐形成现代的分数算法。在 1530 年，德国人鲁多尔夫在计算+的时候，以计算得，到后来才逐渐的采用现在的分数形式。1845 年，德摩根在他的一篇文章函数计算（The Calculus of Functions）中提出以斜线 /来表示分数线。由于把分数以 a/b 来表示，有利于印刷排版，故现在有些印刷书籍也有采用这种斜线 /分数符号。比例号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页精心整理欢迎下载比例号（ sign of proportion）是用来表示比例关系的记号，现代常用的比例号“：”是由世纪德国数学家莱布尼兹（）所创立的。而这样的比例号亦曾出现于年法国人克雷罗（）所出版的书内。小数符号中国是最早采用小数的国家。早于三世纪，刘徽注九章算术的时候，已指出在开方不尽的情况下，可以十进分数（小数）表示。在元朝刘瑾（约1300 年）所著的律吕成书中更把现今的106368.6312之小数部分降低一行来记，可谓是世界最早之小数表达法。除中国外，较早采用小数的便是阿拉伯人卡西。他以十进分数（小数）计算出的 17 位有效数值。至于欧洲，法国人佩洛斯于1492 年，首次在他出版之算术书中以点“”表示小数。但他的原意是：于两数相除时，若除数为10 的倍数，如123456 600，先以点把末两位数分开再除以6，即 1234.56 6，这样虽是为了方便除法，不过已确有小数之意。到了 1585 年，比利时人斯蒂文首次明确地阐述小数的理论，他把32.57记作或而首个如现代般明确地以“”表示小数的人则是克拉维乌斯。他于 1593 年在自己的数学著作中以46.5 表示 46 1/2=46 5/10。这表示法很快就为人所接受，但具体之用法还有很大差别。如 1603 年拜尔以表示现在的8.00798 以表示现在的 14.00003761 ，以或表示 123.459872 。纳皮尔于1617 年更明确地采用现代小数符号，如以25.803 表示 25 803/1000，后来这用法日渐普遍。四十年后，荷兰人斯霍滕明确地以“，”（逗号）作小数点。他分别记58.5 及 638.32 为 58,5及 638,32，及后除掉表示的最后之位数、等，且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页精心整理欢迎下载日渐通用，而其它用法也一直有用。直至十九世纪未，还有以等表示 2.5。现代小数点的使用大体可分为欧洲大陆派（德、法、苏等国）及英美派两大派系。前者以“， 作小数点，“”作乘号；后者以“”作小数点，以“，”作分节号（三位为一节）。大陆派不用分节号。我国向来采用英美派记法，但近年已不用分节号了。零号零是位值（ place value ）制记数法的产物。我们现在使用的印度阿拉伯数字，就是用十进制值制记数法的了。例 如要表示 203，2300 这样的数， 没有零号 （signs for zero ） 的话，便无法表达出来，因此零号有显著的用途。世界上最早采用十进制值制记数法的是中国人，但是长期没有采用专门表示零的符号，这是由于中国语言文字上的特点。除了个位数外，还有十、百、千、万位数。因此230 可说成二百三（三前常加有），意思十分明确，而203 可说成二百零三，这里的零是零头的意思，这就更不怕混淆了。除此之外， 由于古代中国很早（不晚于公元前世纪）就普遍地采用算筹作为基本的计算工具。在筹算数字中，是以空位来表示零的。由于中国数字是一字一音、一字一格的，从一到九的数字亦是一数一字，所以在书写的时候，一格代表一个数，一个空格即代表一个零，两个空格即代表两个零，十分明确。在中国的古书中，缺字一般用方块来表示，但他们常用的行书，很容易把方块画成圆圈，所以后来便以来表示零，而且逐渐成了定例。这种记数法最早在金大明历（ 1180 ）中已采用，例如以“四百三”表示 403，后渐通用。但是，中国古代的零是圆圈，并不是现代常用的扁圆。希腊的托勒密是最早采用这种扁圆号的人，由于古希腊数字是没有位值制的，因此零并不是十分迫切的需要，但当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页精心整理欢迎下载时用于角度上的60 进位制（源自巴比伦人，沿用至今），很明确的以扁圆号表示空位，例如代表 41o018 。后来印度人的号，可能是受其影响。在印度，也是很早就已使用十进制值记数法。他们最初也是用空格来表示空位，如3 7即是 307，但这方法在表达上并不明确，因此他们便以小点以表示空位，如 3.7 ，即是 307。在公元 876 年，在格温特（ Gwalior ，印度城市）地方的一个石碑上，发现了最早以扁圆作为零号的记载。印度人是首先把零作为一个数字使用的。后来，印度数字传入阿拉伯，并发展现今我们所用的印度阿拉伯数字，而在1202 年，斐波那契把这种数字（包括）传入欧洲，并逐渐流行于全世界。印度阿拉伯数字（包括）在中国的普遍使用是本世纪的事了。此外， 其它古代民族对零的认识及零的符号也作出了一定的贡献。 如巴比伦人创作了60 进位值制记数法。并在公元前2 世纪已采用作为零号。而美洲玛雅人亦于公元前创立了20 进位值制记数法，并以作为零号。负数符号负数是由中国古代的数学家最先所采用及应用的，在九章算术中便记载了负数及负数的运算法则。而在其它运算中，亦有不同的方式来表示正负数，如在筹算时，会以红色的筹表示正数，黑色的筹表示负数。但这种方法用于毛笔记录时，换色十分不便，因此在12 世纪，李冶首创了在数字上加斜划以表示负数（见图一）。(图一 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页精心整理欢迎下载图一所表示的是4.12x2-x+136-248x-2，这可以说是世上最早的负数记号。而西方对负数的认识则比中国较迟，到15 世纪后才正式应用负数。在运算中，亦有不同的负数符号以表示正负数。如在1800 年，威尔金斯用表示 -a；在 1809 年，温特费尔在数字前加上“”或“”来表示负数；而在1832 年，波尔约用“”表示负数。此外，后来亦有不同方式表示负数如a 表示负数， a 表示正数； am为负数， ap为正数； 又以表示负数，为正数。直至本世纪初，享廷顿才开始采用接近现在的负数符号形式，如-3,-2,-1,0,+1,+2,+3，并逐渐成为现在的正负数。虚数符号许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484 年，他在解方程4+x2=3x 时得到的x值，如以现代的符号表示他的成果，即x=3/2 5/2-4 ，由于 5/2-4 是负数，所以他认为不可能解这方程。而第一个对负数开方运算进行研究并得到虚数及其运算方法的人是卡尔达诺，在 1545 年，在他所著的大术中，记载了以下的乘法运算：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页精心整理欢迎下载当中相等于根号，m 是减（即负），表示-15，这就是最早表示虚数的方法。当时，他称负数的平方根为诡辩量，并且怀疑运算这些数的合理性，因此，卡尔达诺称正数的根为真实的根（real root ） ，负数的根为虚构的根（fictitious root ） 。但实和虚的用法与现代的不同。1637 年，在笛卡儿的几何学一书中第一次出现了虚数的名称。 imaginaires 代表虚的，及reelles 代表实的。1777 年，欧拉在一篇递交给彼得堡科学院的论文微分公式中首次以 i 来表示-1，但很少人注意到。直到1801 年，高斯才有系统地使用这个符号，并沿用至今。绝对值符号1841 年外尔斯特拉斯首先引用“”为绝对值符号（Signs for absolute value），及后为人们所接受，且沿用至今，成为现今通用之绝对值符号。于实教范围内，此外，他亦指出，复数之绝对值就是它的“模”。到了 1905 年，甘斯以“”符号表示向量之长度，有时亦称这长度为绝对值。若以向量解释复数，那么“模” ， “长度”，及“绝对值”都是一样的。这体现了甘斯符号之合理性，因而沿用至今。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页精心整理欢迎下载属于号属于号（ Sign of element）是用来表示一个元素属于另一个集合的记号。在年，意大利数学家皮亚诺（）首先使用“”来表示属于号。如，表示是集合的元素。皮亚诺在他的数学研究中，创作了许多符号，除“”外，还有以“”来表示含于号，及以来表示自然数的后继数。使用了这些数学符号后，皮亚诺的数学推理在表达上更加干净利落。他的工作， 更促进了日后符号逻辑的发展。含于号含于号（Inclusion sign ）是用来表示一个集合是另一个集合的真子集的记号。如，表示集合包含于集合内，或是的子集（Subset ）的意思。至于以“ ”来表示含于号的是由意大利数学家皮亚诺（）首先采用的。“因为”和“所以”符号雷恩是首个以符号表示“所以”（ therefore ）的人，他于1659 年的一本代数书中以“”及“”两种符号表示“所以”，其中以“”用得较多。而该书 1668 年之英译本亦以此两种符号表示“所以”，但以“”用得较多。琼斯于1706 年以“”表示“所以”。至18 世纪中，“”用以表示“所以”至少和 “”用得一样多。18 世纪初还没有人以“”表示“因为”。至1805 年，英国出版的大众数学手册中才首次以“”表示“因为”，但还没有以“”表示“所以”的应用那样广。到了1827 年，由剑桥大学出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页精心整理欢迎下载版的欧几里得几何原本中分别以“”表示“因为”，及以“”表示“所以”。这用法日渐流行，且沿用至今。阶乘符号1751 年，欧拉以大写字母M 表示 m 阶乘M=1 23.m 1799 年，鲁非尼在他出版的方程论著述中，则以小写字母表示m 阶乘，而在1813 年，高斯则以 (n)来表示 n 阶乘。而用来表示 n 阶乘的方法起源于英国，但仍未能确定始创人是谁。直至1827 年，由于雅莱特的建议而得到流行，现在有时也会以这个符号作为阶乘符号。而最先提出阶乘符号n!的人是克拉姆（1808 ），后来经过奥姆等人的提倡而流行，直至现在仍然通用。和式号以“”来表示和式号（ Sign of summation）是欧拉（）于年首先使用的，这个符号是源于希腊文（增加）的字头，“”正是的大写。排列组合符号1772 年，旺德蒙德以np表示由 n 个不同的元素中每次取p 个的排列数。而欧拉则于1771 年以及于 1778 年以表示由 n 个不同元素中每次取出p 个元素的组合数。 至 1872年，埃汀肖森引入了以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations）一直沿用至今。1830 年，皮科克引入符号Cr 以表示由 n 个元素中每次取出r 个元素的组合数；1869年或稍早些，剑桥的古德文以符号nPr 表示由 n 个元素中每次取r 个元素的排列数，这用法亦延用至今。按此法，nPn 便相当于现在的n!。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页精心整理欢迎下载1880 年，鲍茨以nCr 及nPr 分别表示由n 个元素取出r 个的组合数与排列数；六年后，惠特渥斯以及表示相同之意，而且，他还以表示可重复的组合数。至1899 年，克里斯托尔以nPr 及 nCr 分别表示由n 个不同元素中每次取出r 个不重复之元素的排列数与组合数，并以nHr 表示相同意义下之可重复的排列数，这三种符号也通用至今。1904 年，内托为一本百科辞典所写的辞条中，以表示上述 nPr 之意，以表示上述 nCr 之意，后者亦同时采用了。这些符号也一直用到现代指数符号指数符号（ Sign of power ）的种类繁多，且记法多样化。我国古代数学家刘徽于九章算术注（263 年）内以 幂 字表示指数， 且延用至今。我国古代称一数自乘为方，而乘方一词则于宋代以后才开始采用。于我国古代，一个数的乘方指数是以这个数于筹算（或记录筹算的图表）内的位置来确定的，而某位置上的数要自乘多少次是固定的，也可说这是最早的指数记号。古埃及人以表示一数自乘一次（莫斯科纸草书）。古希腊人丢番图以r表示x 2， Kr表示 x3，r 表示 x4，Kr表示 x5等。而阿拉伯人哈基则以词mal 表示 x2；kacb表示 x3；m l m l 表示 x4；m l kacb 表示 x5等。1572 年，邦别利（ 1526-1572 ）以表示未知量，以表示其平方，以表示其立方。1586 年，斯提文（ 1548-1620 ）分别以表示上述之意，如1表示 x3， 2表示 2x2等。 1591 年，韦达（ 1540-1603 ）把 A2及 A3分别记作A.quad 及 A.cubum 。至十七世纪，具有现代意义的指数符号才出现。最初的，只是表示未知数之次数，但并无出现未知量符号。如卡塔尔迪于1610 年出版的代数书中，以表示5x38x4=40 。比尔吉则把罗马数字写于系数数字之上，以表示未知量次数，如以表示 8x6+12x5-9x4+10 x3+3x2-7x-4 。 其后，开普勒等亦采用了这符号。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页精心整理欢迎下载罗曼斯开始写出未知量的字母，如以 A(4)+B(4)+4A(3)inB+6A(2)inB(2)+4AinB(3) 表示A4+B4+4A3B+6A2B2+4AB3。法国人埃里冈的记法大致相同，以系数在前指数在后的方式表示。如以a3 表示 a3， 2b4 表示 2b4，2ba2 表示 2ba2。1631 年，哈里奥特（1560-1621 ）改进了韦达的记法，以aa 表示 a2，以 aaa 表示 a3等。 1636 年，居于巴黎的苏格兰人休姆（ James Hume ）以小罗马数字放于字母之右上角的方式表达指数，如以Aiii表示 A3。这表示方式除了用的是罗马数字外，已与现在的指数表示法相同。一年后，笛卡儿（1596-1650 ）以较小的印度阿拉伯数字放于右上角来表示指数，如5a4，便是现今通用的指数表示法。不过，他把b2写成 bb，并且只给出正整指数幂。其后虽有各种不同的指数符号，但他的记法逐渐流行，且只把 bb 写成 b2，沿用至今。分指数幂最早见于奥雷姆的比例算法 一书内，他以表示 2， 以9p表示 9，以2p表示 2。他以及斯蒂文等人还提及过负指数幂，但正式的分指数和负指数都是英国人沃利斯（1616-1703 ）给出的，且他亦是西方最先采用负数指数的人。他在1655 年出版的无穷小算术中载有：平方数倒数的数列，的指数为 -2，；平方根倒数的，的指数为 -，这是一大进步， 只是他并无真正采用过a-1=，等指数符号。斯提文曾于十七世纪以及分别表示平方根及立方根。但现行的分指数和负指数符号为牛顿创设的。 他于 1676 年 6 月 13 日给伦敦皇家学会秘书长奥丁堡转交莱布尼兹的信中提到： 因代数学家把aa，aaa，aaaa 写作 a2，a3，a4等，所以我把，写作，又把，写作 a-1，a-2，a-3，把写作。最先采用虚数指数的是意大利人法尼亚诺（1682-1766 ），他于1719 年发现了关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页精心整理欢迎下载。 而莱布尼兹更于1679 年在写给惠更斯的信中讨论了方程：xx-x=24 ， xz+zx=b，xx+zz=c ，且引入了变指数。方根符号开方亦是最早产生的运算之一。古埃及人以“”表示平方根（root ）；七世纪印度人婆罗摩笈多以“ c”（ carani （平方根）之首个字母）表示平方根；十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以“”为平方根号（Sign for root ）。二世纪罗马人尼普萨斯以拉丁词语latus （意即“正方形的边”）记平方根，这词的首个字母“l”后更成为欧洲重要的平方根号之一。十二世纪， 蒂沃利的普拉托等人也采用这符号。十六世纪法国人拉米斯也采用这符号，如“l 27 ad l 12”得“l75”（即 27+ 12= 75）；法国数学家韦达亦用过这符号。到了1624 年，英国人布里格斯分别以“l”，“l3”，“ll”表示方根、立方根及四次方根。而另一于欧洲被广泛采用之方根号“”，亦是源自拉丁词语“radix ”（意即“平方根”）。这符号最先出现于由阿拉伯文译成拉丁文的几何原本（欧几里得着）第十卷中，其后斐波那契和帕乔利等人均采用这符号。及至十六至十七世纪间，许多数学家如： 塔尔塔利亚、韦达（亦采用“l”）等人都以“ ”为平方根号。于德累斯顿（1480）手稿内，在数字或字母前以一点“”表示求平方根；两点“”表示求四次方根；三点“”表示求三次方根及四点“”表示求九次方根。而于格丁根手槁（1524 ）内，则以“ ”表示平方根；“ ce”表示立方根及 “cce”表示九次方根等，如：（即），其中的cs 为 communis （意为结合），表示先加再开平方。德国人鲁多尔夫是较早以“”表示平方根的人之一。 他于 1557 年引入“”后， 又分别以“”及“ ”表示三次方根及四次方根。斯蒂文则分以“”及“ c”表示平方根及立方根，至1640 年，又以3)(表示3x2及以3)20+392 表示。1637 年，笛卡儿采用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页精心整理欢迎下载作平方 根号。 1647 年，奥特雷德以“r”表示平方根，以“ 12”或“表示十二次方根；1655 年，沃利斯以“3R2”表示；1721 年，哈顿分别以“”及“”表示三次方根及四次方根； 1732 年，卢贝尔以表示 25 的三次方根，与现代的符号无异。其后，各次方根号都逐渐以这形式表达，开始了现代符号的使用。代数方程的符号代数方程的符号（Signs for algebraic equations）是指方程中所涉及的各种符号，包括未知数符号及其它运算符号。我国古人早就有了关于方程的知识，九章算术内便有许多以方程求解问题的例子。由于我国古代是以算筹作计算工具，并以算筹的位置表示未知数及其次数，因此，只以算筹摆出其系数便可求解。南宋秦九韶于1247 年引入了一元高次方程的一般解法，除了以位置表示未知数及其次数外，还采用了一些专门术语，如下图：该图表示了一个四次方程：-x4+15245x2-6252506.25=0 。金代李冶等人则采用天元术，以天元明确地表示未知数的一次项，并建立了设立方程求解实际问题之方法。丢番图的多项式符号（Signs of polynomials），则如以表示x3+13x2+5x+2 。公元七世纪，印度的婆罗摩及多以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页精心整理欢迎下载表示 0 x2+10 x-8=x2+0 x+1 。1202 年，意大利人斐波那契以文字表示方程，如duo census,et decem radices equantur denariis 30 以 表示 2x2+10 x=30 。十五世纪，阿拉伯人盖拉萨迪以表示 x2+10 x=56 。1473 年，德国人雷格蒙格努斯以表示40 x2+120 x=800 。1484 年，法国人许凯以82. avec. 122. montent. 202表示 8x2+12x2=20 x2，当中 82.内的小 2 为未知数指数，并非8 的指数。1491 年，意大利人帕乔利以表示 x2-y2=36。当中以 co. (cosa) 表示x，ce. (censo) 表示 x2；他还以 cu (cubo) 、 ce. ce. (ceso de ceso)、po. ro (primo relata)、 ce. cu. (ceso de cubo)等分别表示x3、x4、x5、x6，。1525 年，德国人鲁多尔夫以Sit 1 z aequatus 1236 表示 x2=12x-36 。1535 年，奥地利人施雷勃尔以30se. 2pri 56N 表示多项式：30 x2-2x-56 。两年后，荷兰人黑克以4se. 51pri 30N. dit is ghelige 45表示 4x2-51x-30=45。1545 年，意大利人卡尔达诺以1. quad. 2 pos. aeq. 48 表示 x2+2x=48 。1550 年，德国人申贝尔以4Pri+3ra. equales 217N. 表示4x2+3x=217 。两年后，意大利人格利盖以44 表示x4-4x2=4x2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页精心整理欢迎下载1557 年，英国人雷科德以表示 14x2+15x=71x 。两年后，法国人比特奥以表示 x3-6x2+4x+9=24 。1572 年，意大利人邦贝利以或表示 x6+8x3=20 。五年后，法国人戈塞林以67QP8LM12CM18QQM35表示多项式67x2+8x-12x3-18x4-35，同时以1LP2qM20aequalia sunt 1LP30表示方程1x+2y-10=1x+30，当中引入了两个未知数符号。1585 年，比利时人斯蒂文以表示x3=-2x2+12x+48 。1593 年，法国人韦达以表示；至 1615年，他又以A cubus+B plano 3 inA,aequarl Zsolido 2 表示x2+3B2x=2Z3。1608 年，德国人克拉维乌斯以表示 3x+4y=29770。1629 年，法国人吉拉尔以表示 x2=12x-18 。两年后，英国人奥特雷德以表示。1634 年，法国人埃里冈以154a 71a214a3 a4 2/2 120 表示154a-71a2+14a3-a4=120 。三年后，法国人笛卡儿以表示x3-9x2+26x-4=0 。自此便开始以 x、y、z 等拉丁字母表示后几个字母之未知数。1693 年，英国人沃利斯以x4+bx3-cxx+dx+e=0 表示 x4+bx3-cx2+dx+e=0 。 其后便发展为现代代数方程符号。函数符号约翰伯努利于1694 年首次提出函数（function ）概念，并以字母n 表示变量z 的一个函数； 至 1697 年，他又以大写字母X 及相应之希腊字母表示变量 x 的函数。 同期（1695 年），雅伯努利则以p 及 q 表示变量x 的任何两个函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页精心整理欢迎下载1698 年，莱布尼茨以及表示x 的 两个函数；以及表示两个变量x,y 的 函数。1734 年，欧拉以f() 表示的函数， 是数学史上首次以“ f”表示函数。 同时，克莱罗采用大写希腊字母x，x及x（不用括号）表示x 的函数。 1745 年，达朗贝尔以 u,s 及u,s 表 示两个变量u,s 的函数，并以 (z)表示z 的函数。1753 年， 欧拉又以 :(x,t)表示x 与 t 的函数，到翌年，更以f:(a,n) 表示a 与 n 的函数。1797 年，拉格朗日大力推动以f、F、 及表示函数， 对后世影响深远。时至今日，函数主要都以这几个字母表达。1820 年， 赫谢尔以f(x) 表示x 的函数，并指出 f(f(x)=f2(x)及 fmfn(x)=fm+n(x)， 还以 f-1(x)表示其函数f 为 x 的量。 1893 年，皮亚诺开始采用符号 y=f(x) 及 x=f(y) ，其后又与赫谢尔符号结合，成为现今通用的符号：y=f(x) 及 x=f-1(y)。对数符号对数是由英国人纳皮尔创立的，而对数（Logarithm ）一词亦是他所创造的。这词是由一希腊文（拉丁文 logos ，意即：表示思想之文字或符号，亦可作“计算”或“比率”讲）及另一希腊词（数） 结合而成的。 纳皮尔于表示对数时套用logarithm整个词，并没作简化。至 1624 年，开普勒才把词简化为“ Log”，奥特雷得于 1647 年也是这样用。1632 年，卡瓦列里成了首个采用符号log 的人。 1821 年，柯分以“l”及“L”分别表示自然对数和任意且大于 1 的底之对数。 1893 年，皮亚诺以“logx ”及“Logx ”分别 表示以 e 为底之对数和10 为底之对数。同年，斯特林厄姆以“blog ”，“ln”及“logk”分别表示以 b 为底次对数，自然对数和以复数模k 为底之对数。1902 年，施托尔茨等人以“alog.b ”表示以a 为底的 b 的对数，后渐成现在之形式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页精心整理欢迎下载对数于十七世纪中叶由穆尼阁引入中国。十七世纪初，薛凤祚的历学会通有“比例数表”（ 1653 年，或作“比例对数表”），称真数为“原数”，对数为“比例数”。数理精蕴亦称作对数比例，说：对数比例乃西士若往纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表。因此，以后都称作对数了。符号 e 首先以 e 表示自然对数（ natural logarithm）的底是欧拉，他大约于1727 年或 1728 年的手稿内采用这符号，但这手稿至1862 年才付印。此外，他于其1736 年出版之力学第一卷及1747 年至 1751 年的文章内亦以e 表示自然对数的底。而 丹尼尔 伯努利、 孔多塞及兰伯特则分别于1760 年、 1771 年及 1764 年采用这符号。其后贝祖（1797 年）、克拉姆（ 1808 年） 等都这样用e，至今也是。到了十九世纪，我国曾以特殊符号表示自然对数的底。李善兰译的代数学（1859年）卷首有这样的一句：“又讷字代二、七一八二八一八，为讷白尔对数底率。”即以“讷”表示自然对数的底。华蘅芳于1873 年译的代数术卷十八有这样的一句：“则得其常数为二 七一八二八一八二八四五九四