2022年数学系二年级本科数学分析期末考试题 .pdf
数学系二年级本科数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分，共 20 分）1、 函数)(xf在 a,b 上可积的充要条件是（）A 0,0 和0使得对任一分法，当 （）时，对应于i的那些区间xi长度之和 xi0,0,0使得对某一分法，当（）时，对应于i的那些区间xi长度之和 xi0,0使得对任一分法，当 （）时，对应于i的那些区间xi长度之和xi0,0，0使得对任一分法，当（）时，对应于i的那些区间xi长度之和 xi0, N（ ）0，使mn N 有)()(1xaxamnB 0, N0，使mn N 有)()(1xaxamnC 0, N（ ）0，使mn N 有)()(1xaxamnD 0, N（ ）0，使mn N 有)()(1xaxamn8、1)1(1nnxn的收敛域为（）A (-1,1) B (0,2 C 0,2）D -1,1 ）9、重极限存在是累次极限存在的（）A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件10、),(00|),(yxxyxf（）Axyxfyyxxfx),(),(lim00000Bxyxfyxxfx),(),(lim00000Cxyxxfyyxxfx),(),(lim00000D xyxxfx),(lim000二、计算题： （每小题6 分，共 30 分）1、dxxxx11211cossin2、计算由曲线2,0, 1xyyxy和2ex围成的面积3、求2xe的幂级数展开4、 已知),(),(vufxyyxfz可微，求yxz2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页5、 求yxyxyxf),(在（ 0，0）的累次极限三、判断题（每小题10 分，共 20 分）1、 讨论3coslnnn的敛散性2、 判断121nnnxx的绝对和条件收敛性四、证明题 （每小题 10 分，共 30 分）1、设 f(x)是-a，a上的奇函数，证明0)(aadxxf2、证明级数04)!4(nnnxy满足方程yy)4(3、 证明 S为闭集的充分必要条件是Sc是开集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页参考答案一、 1、D 2、B3、 D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B 二、 1、解：dxxxx11211cossin=dxxxx1121cossindxx11211（2 分）由于21cossinxxx为奇函数dxxxx1121cossin=0（2 分）dxx11211=2|arctan11x（2 分）所以积分值为2（1分）2、 解：两曲线的交点为（1，2） （2 分）所求的面积为：1/2 2 2+6221edxx（ 4 分）3、 解： 由于! 212nxxxenx（3 分） ，!)1(!212422nxxxennx（3 分）4、解：xz=yff21yz=xff21（3 分）22122112)(xyffyxffyxz（3分）5、解：1limlim000yyyxyxyyx， （3 分）1limlim000 xxyxyxyxy（3 分）三、 1、解：由于222coslnnn（6 分） ，又121nn收敛（ 2 分）所以原级数收敛（2分）2、解：当1| x时，有nxnxxx|12，所以级数绝对收敛（4 分） ，当1| x时，2112 xnxx，原级数发散（2 分）当1| x时，有1122)1(1)1(1nnnnnnxxxx，由上讨论知级数绝对收敛（4 分）四、证明题 （每小题 10 分，共 30 分）1、证明：aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(（1） （4 分）aaadttftdtftxdxxf000)()()()(（2） （ 4分）将式（ 2）代入（ 1）得证（ 2 分）2 、 证 明 ： 所 给 级 数 的 收 敛 域 为),(， 在 收 敛 域 内 逐 项 微 分 之 ， 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页114)!14(nnnxy124 )!24(nnnxy134 )!34(nnnxy144)4()!44(nnnxy（8 分）代入得证（ 2 分）3、证明：必要性若 S为闭集，由于S的一切聚点都属于S，因为，对于任意的cSx。x不是 S的聚点，也就是说，存在x 的邻域),(xO使得SxO),(，即cSxO),(，因此 Sc是开集。充分性对任意的cSx，由于 Sc是开集，因此存在x 的邻域),(xO使得cSxO),(，即 x 不是 S的聚点。所以如果S有聚点，它就一定属于S.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
