2022年数学中考难点知识点归纳 .pdf

数学中考知识点归纳一、数的整除（一般在0 的范围内）概念辨析1、最小的自然数是1；1 既不是质数也不是合数2、如果整数 a 能被整数 b 除尽 ，则说明 a 能被 b 整除 （）如果整数 a 能被整数 b 除尽， 而且商是整数 ，那么说明 a 能被 b 整除。若 b=na，且 n 为常数并为正整数，则说明a 为 b 的因数， b 为 a 的倍数。 A整除 B，即 BA，B既能整除 A又能整除 C，说明 B为 A,C的公因数3、质数（素数）的因数个数为2；合数的因数个数 2 个4、一个质数（素数）可以写成几个质数（素数）相加/ 相乘 的形式5、任何质数（素数）加上1 后都为偶数（合数）（）除 2 外，任何质数（素数）加上1 后都为偶数（合数）也可以这么说， 除 2 外，任何质数（素数）为奇数。 （奇数不一定为素数）6、若一个数 x=anbm，则该数 x=有(n+1)(m+1) 个因数7、如果 n 个整数的公约数只有1，则说明这 n 个整数互质 (n2 且为整数 ) 8、实数9、科学计数法（近似法） ：可以表示为 a10n的形式（n 为整数，且 1|a| 10）10、有效数字：如0.0105，前面的连续的2 个 0 都不算有效数字，后面开始的非零数字包括中间的0 也为有效数字，该数共有3 个有效数字。保留有效数字时，也遵循四舍五入的原则11、实数运算：1 级：+ - 2级： 3 级：n 次方 n次方根幂运算：1、规定， ( )n n=0 时，且（）0 时，则该数 =1 2、 ?=?其中 n 为偶数 ，且 a0 作幂运算时，底数必须化为正数，都是非负数；当 a0时，；而中 a 取值范围是 a0，中取值范围是全体实数。3、a-n=?（a0）?= ?-?另外，使用幂指数运算法则时，如果a 未知，实数有理数（可以化成?0的形式）正有理数0负有理数无理数正无理数负无理数实数整数正整数和0负整数分数有限小数无限循环小数无限不循环小数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页则认为 a0 4、aman=am+n aman=am-n (am)n=amn (m,n 为正整数， a0) 5、数轴上的点与实数一一对应（包括有理数、无理数）如果 a+b=0则 a 和 b 互为相反数，如果 ab=1，则 a 和 b 互为倒数（倒数之中的 a，b0）如果 ab，只有 a+cb+c 一定成立， acnbcn不一定成立（ c 的正负性），a 的偶次方 b 的偶次方不一定成立（ |a| |b| 不一定成立）6、一般地，把 几个 二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同 ，就把这 几个二次根式 叫做同类二次根式7、两个含有二次根式 的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式 ，那么这两个代数式叫做互为有理化因式二、整式与分式 (有理式和 无理式 统称代数式 ) 1、单项式和多项式统称为整式由数与字母的积 或字母与字母的积 所组成的代数式叫做单项式单独一个数或一个字母 也是单项式如果一个数字作为单项式，那么它的系数就是它本身； 单项式系数包括 前面的符号一个单项式中， 所有字母指数的和（不包括常数）叫做这个单项式的次数由有 限个 单项 式的 代数 和组 成的代 数式 叫做 多项 式 化 为最 简式 ，即（常数）（指数不为负数） 一个多项式有几项就叫做几项式。一元N次多项式有 最多 N+1项.多项式中， 次数最高的项 的次数，就是这个多项式的次数2、单项式与单项式相乘3、单项式与多项式相乘4、多项式与多项式相乘乘法公式：（积转化为和的形式）1、完全平方公式2、平方差公式 3、十字相乘公式4、立方差（和）公式因式分解（同乘法公式的方法，和转化为最简整式 的乘积的形式）2、分式：形如?的样子，其中 A.B 为整式一个分式的 分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式3、有理数的四则运算中， 绝对不会得到无理数 （为确定事件，不可能事件）4、无理数进行有理化的过程中需要进行分类讨论三、代数式与有理方程与函数0、常值函数注意： y=2 也可以表示为 f(x)=2的形式1、一元一次方程与不等式（不等式中，乘上号的要改变的符号方向）：形如 ax+b=0 其中 a0 若 a=0,b=0，x 有无数解；若 a0，b=0，x 无实数解（其实非一元一次方程）y=ax 为正比例函数（ a0） ，y=ax+b（a0，b0）为一次函数（ a,b决定经过的象限（正负性）若题目问y=ax+b 不经过某些象限，那么a,b 有可能 =0）y=?为反比例函数 (x ，y0，图像与坐标轴无交点 ) ，增减性与一次函数 相反2、二元一次方程：形如ax+y=0 一定有无数解，且x,y 成对出现精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3、三元一次方程：在24 题一般式求二次函数解析式中有所涉及4、一元二次方程1、形如 ax2+bx+c=0的形式 ，a0（必须首先考虑的条件）2、解法： 1、开平方法 2、配方法 3、因式分解法 4、公式法 5、整体代入法3、 根的判别式： =b2-4ac ， 若 0，则方程有 2 个不相等的实数根； 若 0，则方程 有 2 个相等的实数根；若 0，则方程无实数根二次函数 y=ax2+bx+c（a0） （一般式）可以转化为y=a(x-x1)(x-x2)（x1 ,x2分别为令 y=0 时，关于 x 的一元二次方程的两根）同时方程若0，则二次函数与x 轴与两个交点；若 0，则二次函数与 x 轴只有 1 个交点；若 0，则二次函数与 x 轴没有交点也可以转化为 y=a(x+m)2+k 的形式（顶点式）关于其性质： 1、a 的绝对值 越小，二次函数图像越宽 2 、a,b 同号，则二次函数的对称轴在Y 轴左侧；异号则在Y 轴右侧 3 、对称轴为直线x=-? 4 、 （0,c ）即为二次函数与Y轴的交点坐标（一定得为一般式，在顶点式时不要混淆）5、特殊的高次方程（一般用分组分解、提取公因式法）1、二项方程axn=b（a0，b0，n 为整数， n 为偶数时，则有两解2、同根情况的判断（即按照正常情况解即可）*xn=0 则 n 个解3、解的个数4、双二次方程（换元法，未知数都为偶次方）5、再次强调，解一元二次方程式（以ax2+bx+c=0 为例）时，若系数带有字母，则讨论的顺序应为：a0的正负性其他系数的情况（带根号讨论为非负数）5、分式方程（判断的时候，应根据化简前判断）（未知数一定有在分母位置的，计算出解后一定要检验是否会使分母的值为0）6、无理方程*根的判别 1 、根据根号内 的代数式 0 算出 x 的取值范围 ，然后进行比较（如果有两个含未知数的根号，那么判断其解集是否有交集）2、直接根据 根式外的结果一定为非负数来判断3、解完无理方程后，一定要将解代入检验，根据以上2 点进行判断，根式是否有意义以及等号两边是否相等7、对于一些含有根式和形如分式的函数，所对应的x 的取值范围也可由以上求得，同时还要遵守一个基本原则（分母0）四、长方体1、在同一个平面和异面的区别长方体的棱之间存在3 种关系：同一平面内平行、垂直（特殊相交）、异面垂直长方体的棱和面之间存在2 种关系：平行、垂直（相交）长方体的面和面之间存在2 种关系：平行、垂直相交2、测量工具1、铅垂线（直线平面平面平面：只需要1 次）2、长方形纸片 直线平面（ 1 次）平面平面（ 2 次） 3、合页型折纸 直线平面平面平面平面平面（都为2 次） 五、平行线与相交线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页1、平行线判定定理（同位角、内错角、同旁内角、平行线的传递性、平行线段分线段成比例逆定理） （在同一平面内）2、性质（同上 1，结论与条件互换，共5 种）3、两条直线相交所成的交角一定大于 0小于 180（规定）4、点到直线的距离（垂线）点到射线的距离（若点在射线所及范围之外，则最短距离即与端点的连线 ）点到线段的距离（若点在线段所及范围之外，则最短距离为点到线段延长线的距离）基本性质：过两点有且只有一条直线垂直的性质： 在同一平面内 ，过直线上或直线外 一点，有且只有一条直线与已知直线垂直线段的中垂线（直线）角平分线（射线）中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上*以 a 为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段a 的中垂线（ a 的中点除外 ）角平分线性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。（不包括角的顶点）逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上（不包括角的顶点 ）*因为中垂线和题目无图，经常会造成一些两解情况，即中垂线两边相等的线段六、三角形1、三角形三边关系（二边之和必第三边，差的绝对值 必第三边）2、三角形内角和 =180外角和 =3603、三角形外角等于 不与其相邻 的两内角和4、三角形中特殊的三条线：中线（线段）角平分线（射线）高（线段）这三条线必交于一点（证明）由角平分线还可从形内的3 条推广至形外的2 条加上形内 1条的交点 （旁心） （证明） （都用角平分线性质证明）同时也要注意由中线将三角形分为1:1 面积相等的 2 部分推导至 同高且底在同一直线上或同底 的面积比与线段比之间的转化（不局限于中线）三条中线的交点为三角形的重心，所截得中线的长度比为1:2 三条角平分线的交点为三角形的内心，即三角形内接圆的圆心所在5、特殊三角形1、等腰三角形*三线合一（常用辅助线）的判定必须先要以两边相等的等腰三角形为条件2、等边三角形（正三角形）共有 3 条特殊性质： 3 边相等 ；3 个内角相等 =60；有三条对称轴（直线）共有 3 条判定定理： 3 边相等； 2 边相等任一内角为60；两角为 603、直角三角形共有 2 条判定定理：一个内角为90；勾股定理逆定理（两边的平方之和等于第三边的平方）*推论： 一条边上的中线等于这条边长度的一半特别性质：便于解三角形和求锐角三角比（23、24、25 题中）4、等腰 +直角三角形5、全等三角形的判定（只需注意S.S.A 不可以即可）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页解三角形也可以此为依据，若出现SSA的情况，则说明可能有两解若不然，则说明已知3 个条件，已经使三角形确定，可以解。*旋转全等、翻折全等、平移全等6、图形的运动平移（观察平移的距离、方向和平移后重叠形成的图形）翻折（观察对称轴以及翻折后产生的新图形（三角形）旋转（观察旋转中心，旋转角度、尤其是逆时针旋转还是顺时针旋转）注意：三种运动所得到的新图形都全等于原图形，即线段相等、角度相等7、相似三角形1、比的性质*之需要注意合比和分比时，是上比上+下或上 -下*另外，在等比性质中，想要进行等比的比例式的分母之和0 2、黄金分割与黄金三角形*一条线段有 2 个黄金分割点短线段比长线段 等于 ?-?黄金三角型分为367272和 1083636两种，其中，三角形的短边比长边等于 ?-?3、平行线段分线段成比例及逆定理（不可以用横线段的比，井字形与A字形和八字形之间的转化）4、判定定理及性质七、四边形1、平行四边形 （无对称轴）性质（共 5 种） ：（1） ：平行四边形两组对边分别相等；（2） ：平行四边形两组对边分别平行；（3） ：平行四边形两组对角分别相等；（4） ：平行四边形一组对角线互相平分；（5） ：平行四边形两组邻角互补判定将（ 5）改为一组对边平行且相等，其他的条件和结论互换。混搭：1、一组对角加一组对边相等（NO ）2、一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线（NO ）3、一组对角相等且该组对角的对角线被另一条对角线平分（NO ）4、一组对边平行 , 另一组对边相等（ NO ）5、（连接分割成的两个三角形通过全等判定定理为SSA都为假命题）2、菱形 （2 条对称轴，对角线所在直线）判定定理（ 3） ： 四条边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形） 一组邻边相等的平行四边形是菱形（混搭时，看能不能先推出平行四边形）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页3、矩形 （2 条对称轴：每组对边中点的联线所在的直线）判定定理（ 3） ：1. 有三个角是直角的四边形是矩形2. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形3. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形（混搭时，同上原则）4、正方形 （4 条对称轴：即菱形和矩形的对称轴和）判定定理（ 3） ：1、有一个角是直角的菱形是正方形；2、一组邻边相等的矩形是正方形3、命题，非定理 ：对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形（混搭时，也是以平行四边形为基础）!: 矩形、菱形、正方形都为轴对称+中心对称图形！ ：平行四边形为中心对称5、*梯形1、性质：较长的平行的一边为下底，较短的平行的一边为上底2、判定定理：（2）1、只有一组对边平行，另一组对边不平行（一定要写）2、只有一组对边平行，但该组对边不相等（一定要写）*不平行没有几何符号可以表示，一定要用文字表述。3、特殊的梯形1、直角梯形（不常用于判定）常用辅助线： 1、作高（分割成矩形 +直角三角形） 2、延长不平行的两边相交于一点（利用直角三角形以及A字形相似）2、等腰梯形1、性质： *同一底边上的 两底角相等（其他即判定定理中结论与条件互换）2、判定定理：1、梯形 +对角线相等2、梯形 +两腰相等3、梯形 +同一底边上的 两底角相等常用辅助线：一般情况下：构造直角三角形（包括1、作双高 2、平移对角线 3、*平移两腰交于形内某特殊的点等 ）和平行四边形（矩形、菱形）当梯形中线段存在比例关系，可考虑将梯形两边延长也可考虑将梯形直接转化为一个三角形同样，梯形中线段存在比例关系，也可以通过分割成三角形，利用两边平行的基本性质进行线段比和面积比之间的转化（25 题中求 y 关于 x 的函数解析式）还有，梯形的中位线有时在证明题中，也可以起到很大的作用特殊情况，当梯形 平行的两边中点联结成线段时，辅助线有时候为联结一条对角线，取对角线中点，分别与两边中点联结，即转化为两个三角形中位线的问题（好处在于是两腰数量关系的转化，可以起到事半功倍的效果）即如图所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页4、梯形的两解题也同于三角形 SSA的两解题，如图所示： （翻折类型的）八、锐角三角比1、定义三角比角的取值范围0， 902、特殊角（ 30、45、60）的三角比3、直角三角形中锐角三角比遵循的规律sin =cos（90- ）tan =cot（90- ）tan cot =1 4、角度的加减运算中，（*分、秒为 60进制）5、要注意的是 sin值、cos 值必须 1 6、锐角三角比的应用1、一定要将有利于求的已知角放在已知或作出的直角三角形中。一般情况下已知角即特殊角 30、45、60，和已知该角的一个三角比。简洁地说， 1、已知的角和边最好不要破2、注意由三角形内角和找出隐藏角的度数（可能有利于简便地解题）2、仰角（从下往上看）俯角（从上往下看）俯角和仰角互为内错角相等若没有说明俯角、仰角则可能有两解坡度及坡比 =坡角的正切值（ tan ）坡度规定表示为 1:x 3、含有字母代数式锐角三角比应用（如测高题）4、对于下列已确定的三角形中，需要把握的辅助线做法为：A.S.A，往已知边上作高，并由两边RT 求出高 （设未知数）A.A.S，往未知边上作高，直接通过三角比、勾股定理求得其他量S.A.S，往已知边上作高，直接通过三角比、勾股定理求得其他量S.S.S，往已知边上作高，并设截得的其中一条线段为未知，另一条线段也可由未知数表示，通过高两边的RT 由勾股定理列方程解得（设未知数）5、在平面直角坐标系中解三角形时，A,一定要注意观察 正比例、一次函数以及两点坐标的联线所在直线与坐标轴的夹角是否存在特殊角30、45、60或三角比已知，将这些特殊角是否能够由对顶角、同角的余角相等、同角的补角相等等性质转化到需要求的三角形中B,同样也要注意自己 所解的三角形是否已经是RT ，不需要再作高设未知数求解C,24 题求某些特殊情况下的点坐标时，不仅仅需要观察点到x 轴，y 轴的距离所构成的矩形，还要观察这些垂线段是否在特别的三角形中（三个条件已定下来）6、 概而论之，要求得一未知边的长， 必须要将其放在三角形 （一般为 RT ）中。九、平面向量1、概念：具有方向的线段（有向线段）2、有向线段的长度：向量的模3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量； （可能在同一直线上）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页零向量也有相等向量，即零向量平行向量（共线向量） ：两个 方向相同或相反 的非零向量 叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即?/ ?； （即可能在同一直线上）单位向量：模等于1 个单位长度 的向量叫做单位向量相反向量：与 ?长度相等，方向相反的向量，叫做?的相反向量（可能在同一直线上）零向量也有相反向量，即零向量。4、若?=k? , 则? （其中， ? ?）当 k0，两向量方向相同当 k=0, 即零向量当 k0，两向量方向相反5、向量的运算1、向量加法的三角形法则2、平行四边形法则3、向量的加法满足 所有的加法运算定律 ，如：交换律、结合律。4、向量与实数相乘的运算设、是实数，那么满足如下运算性质：()?= (?) ( + )?= ?+ ?(? ) = ? ?( )?=( ?) = (?) | ?|=| | ?| 5、向量的线性运算及向量的分解十、函数解函数式需要注意以下几个基本要点：1、两点间距离公式：若有A （x,y ）B （p,q ） ，则 AB的长为(? - ?)?+ (?- ?)?2、中点公式：已知A（a,b ）B(c,d) ，则 AB中点的坐标为（?+?,?+?)3、若两条直线 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相平行，则 k1=k2，b1b2 4、一次函数（正比例函数）与坐标轴所围成的三角形中，与 x 轴的夹角的正切值即一次函数（正比例函数）中k 的绝对值 。5、若两点 A,B 纵坐标为 a,b ，横坐标相同，那么AB=|a-b| 若两点 C,D横坐标为 c,d ，纵坐标相同，那么CD=|c-d| 6、平面直角坐标系中，每个点点坐标与有序实数对 一一对应7、解关于函数图像的平移问题时，要注意观察所对应的解析式、点坐标，到底是平移前，还是平移后（其他运动也是这样）8、求一个 任意函数 平移后的解析式，均遵循向左平移则x 上+平移的距离 （左加） 、向右平移则x 上- 平移的距离 （右减） ，向上平移则在x 后的常数项中 +平移的距离 （上加） ，向下平移则在x 后的常数项中 -平移的距离 （下减）十一、统计与概率1、*辨析确定事件由必然事件（ p=1）和不可能事件（ p=0）组成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页2、不确定事件为0p1 3、在大量实验中频率随着次数的增加越来越接近概率4、如果有 n 个不同的数（ 1n）m个不同的数（ 1m ）, 则任意从两组中选两个数相乘， 可能的情况共有m n 种5、在统计初步中，平均数、中位数、众数（一组数据中 0 个）6、 *若有 4 组成绩，第一组为 060分，第二组为 6075分，第三组为 7590分，第四组为 90100分，在第一组的有2 个人，在第二组的有10 个人，在第三组的有 25 个人，在第四组的有15 个人， 此时不能说明众数一定在第三组（人数最多的一组）7、关于频率的计算中，一定要会以几组数据为一个整体 求得频率8、在频率分布直方图中，纵坐标为频率组距，频率则是图中对应矩形的面积，图中所有矩形的面积和（即频率和）=1 9、折线图反映一组数据的变化趋势；条形图反映一组数据的分布情况；扇形图反映一组数据中部分与总体的关系10、一组数据的 方差与标准差可能相等 （当方差 =1 时，标准差 =1）标准差为方差的算术平方根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页