2022年2022年公务员考试行测笔记 .pdf

1 行测笔记一、资料分析（一）基本知识1、增长量、增加值、增加额、增长额增长量、增加值=终值 初值现值为 B，增长率为r,则增长量 = B - B / （1+r ）柱形图中两个柱长短的差值所代表的统计数值，若具体指标数值的曲线成线性，则在相邻时间段内，增加量相等，但增长率不同，即便是该曲线的斜率逐段增加也不能够判断增长率增加了，因为这跟基值大小有关。【此时可能能用到直尺，量“柱”的长短和“点”的高低】若表示某一数值的实际指标（一定是数值，不能是百分比之类的）呈线性增长，那么相同时间段的增长量相同，但在曲线上升时它的增长率降低了，在曲线下降时它的增长率的绝对值增大了= 2、增长率、增长了多少（用%表示）增长率终值 /初值 1 终值大于初值 1 初值 /终值 终值小于初值 两年混合增长率：如果第二期与第三期的增长率分别为r1,r2 ，那么第三期相对于第一期的增长率为r1 + r2 + r1 * r2 平均增长率：如果n 年间的增长率分别为r1,r2,r3 rn, 则平均增长率A（1+r|）n = B，中的 r 就是 n 的平均增长率，r=1nBA，累计增长率在数值上等于平均增长率。当nB 的增长率时，比值都在增长；当A 的增长率 =B 的增长率时，比值都不变；当A 的增长率 323.97*85.16%. 差分法：（1） “差分数”代替的是“大分数”，再跟“小分数”比较（2）变化型的差分法相当于将乘法型比较转化成除法型的比较；转化的时候，只需将两边各取一个数，到对方那边当分母即可；最后的大小顺序是不变的。放缩法：若 AB 且 CD 则有 A+CB+D ；A-DB-C 若 AB0 且 CD0 则有 A*CB* D ； “分组相加”再放缩，精度会提高：857+993+2034+2141+3942= （857+2141）+（2034+3942）+9933000+6000+1000=1000010983 凑整法：就是相互组合，是误差相互抵消估算法：综合型方法（三）常见陷阱（1）时间陷阱：给出与原文相近的时间、日期，并在选项中给出原文中的数据以混淆视听，如把时间的范围扩大等（2）单位陷阱：出现混用或不是标准的单位，如千米与里，公顷与亩，万元，百万元，又如饼图内数值不是占的百分比；几个分量不是所有的分量，那么他们所占的比分比的和自然不是100% （3）增长率和增加值陷阱：增长率下降了，不能判断增长值和实际数值减小了b 1+x%b 1-x%1 T1 TB CA D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 35 页 - - - - - - - - - 7 （4）增加值与实际数值陷阱：增加值减小了不能判断实际数值减小了（5）指数与数值陷阱：指数下降了，不能判断数值也下降了（6）统计陷阱：不完全统计2007 年 M 省部分城市经济状况GDP 总额（亿元）GDP 增额（亿元）增速M 6173.1 910.8 14.75% A 2517.3 337.2 13.40% B 1118.2 142.3 12.73% C 1162.4 131.7 11.33% D 563.7 182.2 32.32% 不能够判断在2007 年， M 省各城市中A 市的 GDP 增额最多能够判断在2007 年， M 省各城市中B 市的 GDP 总额居于第三位,但不能够判断D 的总额居于第四位（7）特殊表述：?增长最多 /增长最快：前者是“量” ，后者是“率”?最不恰当 /最有可能：最?不会超过 /不会低于：选择最大的数过/选择最小的数?可能正确 /可能错误：除去肯定错误过/除去肯定正确?一定正确 /一定错误：必须是能够确定的?每 /平均：待比较的分数都是后一个量除以前一个量；用累计值除以个数?以上说法正确的是/不正确的是：考虑“以上说法都正确/不正确”“A、B 选项都正确”是否会入选；按照D、C、B、A 的大致顺序可能会减少判断时间，但应遵循“简单着手”原则。?从材料中可以得到：选项中正确的表述不一定能够入选，所选的选项的正确性必须从材料中得到完全的验证；像“推断原因”“预测趋势”这类主观性很强的表述一般不对！（四）做题技巧文字题：（1）分清材料是并列结构，总分结构，分总结构，总分总结构中的哪一种（2）明晰材料结构，标出中心关键词及可能出错的地方。千万不要划数据，因为划数据意义不清容易出错，而是要划概念。出题具有次序性，一般前面的提问答案在资料前部分可以找到；后面的提问答案在后部分找。表格题：（1）定位表格中的某个数值，理解它的准确含义，从而把标题、横标目、纵标目、单位、注释全部串起来（2）注意横标目、纵标目之间的并列关系，包含关系图表题：定位图标中的某个数值，理解它的准确含义，从而把图名、单位、图例、图注、图解全部串起来综合题：注意各种类型材料间的联系小技巧：简单着手原则：（1）不需要计算的优于需要计算的（2）题干短的优于题干长的（3）单个运算的优于多步运算的（4）容易找到原信息的下列说正确 /错误的是（）这样的题目最好从后往前做，即按照D、C、B、A 的顺序；在题目中找不到根据但感觉又好像对的可能正确 /错误的项目不要选，而应选择一定正确或错误的项。用常识作题：（1）随着时间的推移，恩格尔系数肯定降低。（2）在上海世博会到来之前，上海的空气污染情况肯定是好转。（3）2008 年 10、11、12 月的一些经济增长指标大部分都是在下降，而2009 年上半年，尤其是第二季度，这些指标大部分都是在上升。注意区分“人均”与“每人” ，用“总体上”“基本上”“大约”等概括性的表示基本上都是正确的，而用“逐年”“一次” “全都”等绝对性的表示大部分都不对，但不绝对， 还是应该结合题目做具体判断。“月均” 不等于“各月” “年均” 不等于“每年” “人均”不等于“每人” 。在题干中出现括号，那么答案肯定是根据括号中的信息算出来的；若在材料汇中出现括号，那么在做题中很多时候都会用到，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 35 页 - - - - - - - - - 8 所以要特别注意括号中的信息。资料分析题大部分都是简单题目，所以做题的战略重点也就在这些简单题目，一来增提高准确率，二来能增加信心。所以一定要按照“保证简单题，把握中等题，争取难度题”的原则来突破资料分析。如果判断某道题特别复杂，那么这道题要么是有简便算法，要么就是出题者故意难为考生的，此时如果不能找出捷径就果断放弃。（五）总结部分以上总结了一些简便算法，但也只适用于资料分析的一部分题，有些题目注定是没有简便算法的，注定是必须运算的，所以在时间允许的范围内该算的还是要算，不能偷懒，能争取的一定要争取，成败往往就在那么零点几分。另外，多关注一些统计公报，从理解内容的角度多阅读一些统计材料等非常有利于提高对统计资料的理解力和理解速度。资料分析目前存在的问题是：做题速度不够，基础题准确率保证不了，改进措施：熟练掌握电子版资料分析笔记的所有内容，完了再到天津图书大厦做资料分析专题，尽量每天抽出时间把以前做过的资料分析题再做几遍。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 35 页 - - - - - - - - - 9 二、数字推理（一）基本知识基本数列自然数列1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 常数列5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 等差出列2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 等比数列1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 奇数列1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 偶数列2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 积数列例：3 2 6 12 72 和数列例：1 2 3 5 8 质数列2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 合数列4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 项数序列利用：第 1 项第 2 项第 3 项第 4 项第 5 项项数位列利用：该数 a 该数 b 该数 c 该数 d 该数 e 组合数列例：两个1 组三个1 组分数列例：分子规律分母规律交叉规律通分约分分子有理化分母有理化反约分数字数列1232 1331 1430 1529 图形数列九宫格四格型圆圈型方框型平方数列基数1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 +1 2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 122 145 170 197 226 -1 0 3 8 15 24 35 48 63 80 99 120 143 168 195 224 *2 2 8 18 32 50 72 98 128 162 200 242 288 338 392 450 基数256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 +1 257 290 323 362 401 442 485 530 577 626 677 730 785 842 901 -1 255 288 323 360 399 440 483 528 575 624 675 728 783 840 899 *2 512 578 648 722 800 882 968 1058 1152 1250 1352 1458 1568 1682 1800 立方数列基数1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 +1 2 9 28 65 126 217 344 513 730 1001 1332 -1 0 7 26 63 124 215 342 511 728 999 1330 *2 2 16 54 128 250 432 686 1024 1458 2000 2662 +5 6 13 32 69 130 221 348 517 734 1005 1336 合数列基数4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 +1 5 7 9 10 11 13 15 16 17 19 21 -1 3 5 7 8 9 11 13 14 15 17 19 *2 8 12 16 18 20 24 28 30 32 36 40 质数列基数2 3 5 7 11 13 17 19 +1 3 4 6 8 12 14 18 20 -1 1 2 4 6 10 12 16 18 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 35 页 - - - - - - - - - 10 *2 4 6 10 14 22 26 34 38 阶乘数列基数2 3 4 5 6 7 8 9 10 阶乘2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 +1 3 7 25 121 721 -1 1 5 23 119 719 *2 4 12 48 240 1440 2N数列N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2N1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 NN数列N 1 2 3 4 5 NN1 4 27 256 3125 多次方数列N 次-1 0 1 2 3 4 5 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1/2 1 2 4 8 16 32 3 1/3 1 3 9 27 81 243 4 1/4 1 4 16 64 256 1023 5 1/5 1 5 25 125 625 3125 特殊数列N 次0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N2+N: 0 2 6 12 20 30 38 56 72 90 110 N2-N: 0 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 N3+N: 0 2 10 30 68 130 222 350 520 738 1010 N3-N:0 0 6 24 60 120 210 336 504 720 990 质因数分解51=3*17 57=3*19 91=7*13 111=3*37 117=3*39 119=7*19 133=7*19 143=11*13 147=3*39=7*21 153=3*51=9*17 161=7*23 171=3*57=9*19 187=11*17 209=11*19 特殊数字考虑角度平方立方阶乘递推倍数26 52+1 33-1 4！+2 2*13 126 112+5 53+1 5！+5 2*63 （二）做题技巧（1）从大数出发寻找规律更快捷，因为能组成“小数”的组合太多了（2）先判断推理类型，在探索具体规律（三）数字比对和例题、数字敏感：自然数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1-21 的平方1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 1-11 的立方1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 n 的 n 次幂1 4 27 256 3125 2 的 n 次幂2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 35 页 - - - - - - - - - 11 、数列敏感：自然数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 (9) 质数：2 3 5 7 11 13 17 19 23 (29) 合数：4 6 8 9 10 12 14 15 16 (18) （二级）等差：2 3 5 8 12 17 (23) 和数列：2 3 5 8 13 (21) 、三种思维模式：1、横向递推：最常用，从前几组的规律推后一个数值；例如：2 3 5 8 13 (21) 2 5 11 23 47 (95) 2、纵向延伸：把每项数字都写成另一种形式(分解或换形式 )，找出规律：1/9 1 7 36 (125) 转化为：9-1 80 71 62 53 3、构造网络的思维模式：2 12 6 30 25 100 (96) 斜角相加 =上方数商6 5 4 、四种常用方法：逐差法：44 52 59 73 83 94 (107) 后项减前项差8 7 14 10 11 ?13 发现规律：差总是前项的各位数字之和。逐商法：1 1 2 6 24 (120) 商1 2 3 4 5 逐差法和逐商法是两大“根本大法”。局部分析法：利用已有的局部印象去找规律从中部察觉可能16 17 3 0 3 3 6 9 5 (4) 是加和取尾法。验证，果然是。整体分析法：1 2 3 4 7 6 (5) 从整体上看只是一组打乱了顺序的自然数而已，缺了5。、古典数字推理主要类型及特点：等差数列：题型：普通等差、二级等差、三级等差（重点）、等差数列变式某一级差为其他基本数列（重点）；特点：单调增减，变化幅度不大（通常前后项不超过2-3 倍，变式除外），5-6 项。解法：逐差法。例如：上级等差，公差为4：18 23 40 75 134 (223) 变式 :公差为公比为3 的等比数列：20 23 32 59 (140) 等比数列：题型：普通等比、二级等比、三级等比（变化太大，很少考）、变式（“X 倍数 +项”或者“ X 倍数 +数列”），倍数变化是重点；特点：整体单调增减，变化幅度比较大，连续给出4 项以上。解法：逐商法，从大数入手。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 35 页 - - - - - - - - - 12 例如：从分析 16 和 35 的关系入手3 7 16 35 (74) X 倍数后再加数列或常数X2+1 X2+2 X2+3 X2+4 变式 :当前项乘以3 加上前项 =后项2 1 5 16 53 (175) X 倍数后再加项x3+2 x3+1 x3+5 x3+16 和数列基本题型：两项和数列、三项和数列、全项和数列变式：加和变化+X；加和 *X；两项加和成数列。例如： 1， 1，2，6，8，11，（ 17）1+1+2=4 ；1+2+6=9;2+6+8=16;6+8+11=25;8+11+17=25 特点：某三项加和关系明显，一般小数字较多。积数列基本题型：两项积；三项积；全项积。变式：两项相乘加数列；两项相乘加项。特点：某三项乘积变化关系明显，变化幅度较大。例如： 3， 4，3，15，49，（ 738）4*3+3=15 ；15*3+4=49 ；49*15+3=738. 多次方数列基本题型：平方、立方、n 次方；变式：多次方 +数列；多次方 +项；多次方 +多次方。特点：从相对确定的大数入手，0，1 放后。例如： -1，0，31，80，63，24，5，（ 0）31=25-1;80=34-1;63=43-1,24=52-1,5=51-1;()=60-1.分式数列：题型：分子分母某一部分具有敏感性；特殊：等比数列变式易约分；等差数列变式易通分。补充：可以分成多个数列考虑的情况：幂ab，a、b 分别看做数列；根式；多位数：abc。例如： 1， 2/3，5/8，13/21 ，(34/55)前项分子 +分母=后项分子；前项分母+本项分子 =本项分母。组合数列特点：数列较长。题型：间隔（奇偶数列）；分段（两两、三三、首尾和中间）例题 1：5,4,10,8,15,16,(20),(32)。例题 2：1，2，8，24，7，35，4，28，2，（ 22）两两分段之后，两项之商分别为质数列：2,3,5,7,11。例题 3：0，1，0，5，8，17，9，（ 106）两两分段之后，两项之和分别为5 的 0 次， 1 次， 2 次， 5 次。例题 4：2，4，2，5，3，7，4，15，（ 11）偶数项的数字是相邻奇数项相加之和。例题 5：2，3，4，6，8，9，10，12，（ 14）偶数项的两倍，分别是相邻两个奇数项之和。例题 6:6,4,8,9,12,9,(16),26,30 首尾向中间推进，每两项之和成公差为6 的等差数列。质数列直接质数列，或者质数列的变式：质数乘以某数例题 1：31，37，41，43，（ 47）， 53例题 2：4，6，10，14，22，（ 26）【质数分别乘以2】例题 3：2，6，15，28，55，（ 78）【质数分别乘以自然数1，2，3，4，5，6】其他数列比较杂乱：如个、十、百位分别看待；描述性数字等。例一： 431，325，（ 642）， 167 ，844 ，639首先各数中的三个数两小相加等于大，其次百位和个位是轮流递增向上发展的自然数。例二： 12，1112 ，3112 ，211213 ，（ 312213 ）后数是对前面数字的组成的描述。例三： 3，3，9，15，33，（ 63）2 的 1 次方加 1，2 的 2 次方减 1，2 的 3 次方加 1，例四： 1/5，1，4，（ 12）， 24，24前项分别乘以5，4，3，2，1 得到后项。例五： 1，3，5，11，21，（ 43）比较简单的积数列，前项乘以2 按顺序加 1 或者减 1.例六： 2.5，6.5，26，30，（ 120 ）后项分别是前项+4，x4,+4,x4 得到。三、数学运算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 35 页 - - - - - - - - - 13 一、整除特点：能被 3 整除各位数字的和是3 的整数倍能被 4 整除（ 25）末两位数是4 的整数倍（ 25）能被 7 整除拿掉各位那个数- 个位数的 2 倍是 7 的整数倍（可循环）能被 6 整除既能被 2 整除又能被3 整除能被 9 整除各位数字的和是9 的整数倍能被 8 整除（ 125）末三位数是8 的整数倍（ 125）能被 11整除奇数位数字之和偶数位数字之和是11 整数倍能被 25 整除末两位数是25 的整数倍性质： （1）若 a， b， (a+b)中任意两个能被c 整除，那么另一个肯定也能被c 整除（2）若 a1，a2 an 中又能被 c 整除的数，那么a1*a2 * an 肯定能被c整除（3）若 a 能被 b 整除也能被c 整除，如果b、c 互质，那么a 也能被 b*c 整除（4）若中 A 有 c 因子，而 B 中没有 c 因子，那么结果中肯定有c 因子特例：能被7(11,13)整除 :分割作差法：将一个数右边3 位与其他位隔开，左右两边的数大的减去小的，若差能被7 整除，则该数能被7 整除。例如：3017 3|017 17-4=14 14能被 7 整除，所以3017 能被 7 整除。整除之经典运用（1）若 a 是 b 的mn，则ab=mn， （a+b）是 (m+n) 的整数倍， a 占（ a+b）的mmn，b 占（ a+b）的nmn。特殊地，若m=1，即 a占 b 的1n，则 （a+b）能够整除 (m+n) ，a 占（ a+b）的11n，b 占（ a+b）的。1211112nttSnvv（2）a 是 b 的 n 倍，则ab=n， （a+b）是 (n+1)的整数倍， a 占（ a+b）的1nn，b 占（ a+b）的。（3）若 a 比是 b 多mn，则 (a-b)整除 m，b 整除 n，a 整除 (m+n) 。（4）若 a 比是 b 多 n 倍,(a-b)整除 n。（5）问 a 占 A 的比例与 b 占 B 的比例谁的大，则反过来谁处的商大就是谁。二、奇偶性（1）奇数+ 奇数= 偶数（2）偶数+ 偶数= 偶数（3）奇数+ 奇数= 偶数（4）奇数* 奇数= 奇数（5）奇数* 偶数= 偶数奇偶性相同时，相加或相减都是偶数三、公约数和公倍数（1）最大公约数和最小公倍数的题目常和星期几的问题结合（2） “每隔一天”就是“每两天”，在计算最小公倍数时用“每几天”四、公式集锦（1）平方和、平方差： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2（2）立方和、立方差：a3+b3=（a+b） （a2-ab+b2） a3-b3=（a-b） （a2+ab+b2）（3）完全立方和、完全立方差：（a+b）3=a3+3a b2+3 a2b+b3 （a-b）3=a3+3a b2-3 a2 b -b3（4）等差通项： an=a1+（n-1）d 求和： sn= = a1*n + （5）等比数列： an=a1*qn-1 求和： sn= = a1*n （6）等差中项：n 为奇数： an+1= A Bn(a1+an) 2n(n-1)d 2a1(1+ qn) 1-qsnn2snn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 35 页 - - - - - - - - - 14 n 为偶数： an/2+a(n+1)/2= 【补】中位数：处于一列数中间位置那个当 N 为奇数时候，为（N+1）/2 位置的数；当N 为偶数时候，为中间两个数的平均数。（7）平方数列的和：1+4+9+ n2= （8）立方数列的和：1+8+27+ n3= 2 （9）2 的幂指数求和：20+21+22 +2n=2n+1-1 （10）拱形数列求和：1+2+3+（ n-1）+n+(n-1) +3+2+1=n2（11）组合数列求和：0122nnnnnnCCCC（12）裂项相消：= *( - ) = - （13）排列组合： Amn=n(n-1)(n-2) （ n-m-1 ）= Cmn= n(n-1)(n-2) （ n-m-1 = m! 注意两个口诀：有序排列，无序组合；分类加法；分步乘法。环状排列： N 人排成一圈，若计顺逆时针顺序有（N-1） ！种排法；若不计顺逆时针顺序有(1)!2N种排法常用方法?优先法：特殊元素?分类法：不重不漏?间接法：“至多”“至少”问题?捆绑法：相邻问题?插空法：不同元素不相邻问题?隔板法：相同元素的分配问题经典例题经典应用：1) 、瓶子标签问题（鸟儿飞错笼子，骑错单车，夫妻交换舞伴等等）：第一步、先选贴对的瓶子（用组合C），一旦选定就只有一一对应1 种方法；第二步，在剩下的瓶子中贴错标签的方法数（参考下面的速记公式）：瓶子数 (n 个) 1 2 3 4 5 6 贴法（ m种）0 1 2 9 44 265 n 每增加数字1，则 m增加此前2 项(n-1)、(n-2) 方法数之和再乘以（n-1). 2) 、隔板法：看到“至少” 2 字就应该想到这个方法。9 台同型电脑分3 所学校，每所至少1 台，求分法。1 2 3 4 5 6 7 8 9 也就是 8 个隔板任选2 个的问题。10 粒糖，每天至少吃1 粒，求有几种吃法？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 也就是 9 个隔板任选1-9 个或者不选的问题：1 天吃完：不选挡板C(9,0) 2 天吃完：选 1 挡板C(9,1) n(n+1) 2 A n(n+d)n(n+1)(2n+1) 6A d1 n1 n+dd n(n+d)1 n1 n+dn! m!n! m!(n-m)!名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 35 页 - - - - - - - - - 15 9 天吃完：选 8 挡板C(9,8) 10 天吃完：选 9 挡板C(9,9) 求和： C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+C(9,9)=29=512 记住公式： C(n,0)+C(n,1)+C(n,n)=2n3) 注意分类与分步的问题。（11）剩余定理A+B=C A/D=a B/D=b C/D=c ， 则 c=a+b 例： 6+8=14 ，那么 6/ 2=3, 8/2=4, 14/2=7, 显然 3+4=7 剩余定理在判断答案尾数时非常重要（7x+52=y,若 x 为自然数，则y 必被 7 除余 3） 。例如：饼干、面包问题；合格不合格品混杂问题等可用此法结合所给选项特征做题。例如：10M+24 说明尾数是4，若选项中仅有一项尾数是4，则非此莫属。（12）单位换算1 公顷 =15 亩= 1 亩=60 平方丈 = 20003平方米1 丈=10 尺1 米=3 尺五、常考题型（1）比例问题关键是“和谁比” ， “增加或减少多少” ，一定要注意用比例算出来的数是哪一期的。同一项工程，甲做需要3 小时，乙做需要4 小时，则可知甲乙效率比为4：3 完成同一项工程，甲乙效率比为3：4，则可知甲做4 小时的工作量相当于乙做3 小时的工作量。（2）工程问题工作量 =工作效率 * 工作时间；工作效率=工作量 /工作时间；工作时间=工作量 /工作效率在做题中，常把工作总量设为单位“1” ，那么效率就是（3）行程问题相遇问题核心是“速度和”追击问题核心是“速度差”环形运动问题中：环形周长=（速度 1+速度 2）* 两次相遇的时间间隔相向而行环形周长 =（速度 1 - 速度 2）*两次相遇的时间间隔同向而行基本比例：路程比 =速度比 * 时间比速度比 =路程比 /时间比时间比 =路程比 /速度比?若路程相等，则速度比等于时间的反比?若速度相等，则路程比等于时间的比?若时间相等，则路程比等于速度的比往返运动平均速度：v= 2v1 v2 ，其中 v1 和 v2 分别为往返速度v1+ v2 漂流瓶问题漂流所需时间 = 2 t逆t顺，其中 t逆为同一条航程船逆水航行的时间，t顺为顺水航t逆- t顺行的时间沿途数车问题发车时间间隔= 2t1 t2 ，车速= t1+ t2 ，其中 t1 为看见t1+ t2人速t1- t2 连续两辆从后面开来的车的时间间隔；t2 为看见连续两辆从前面开来的车的时间间隔。两次相遇问题?单岸型： s= ，其中 s1 为第一次相遇地点距离A 地的距离， s2为第二次相遇距离A 地的距离?双岸型： s=3s1 s2 ，其中 s1 为第一次相遇地点距离A 地的距离， s2为第二次相遇距离B 地的距离往返接人问题1 T3s1+s2 22 3+n车速人速名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 35 页 - - - - - - - - - 16 X=Y= S，其中 X、Y 分别是第一组人和第二组人步行的距离，n= ，适用于车速和人速都不变的情况X=Y= S，其中 v空车的速度， v 为坐人时的车速，v人为人步行的速度，适用于车拉人和不拉人时的速度不同，而前后两波人步行的速度都相同= ，其中 v1为第一组人步行的速度，v2为第二组人步行的速度，适用于车速不变，而前后两组人步行的速度不同（4）行船问题顺水速度：船速+ 水速逆水速度：船速- 水速船速 =（顺水速度+ 逆水速度） /2 水速 =（顺水速度逆水速度） /2 （5）电梯问题静止时能看到的电梯级数= （人速 +梯速） *顺电梯运动方向运动的时间（人速 -梯速） * 逆电梯运动方向运动的时间（6）利润问题利润率 = = - 1 利润 =成本* 利润率 =销售价- 成本成本 = = = = 销售价利润销售价 =成本（ 1+利润率） =成本 + 利润（7）年龄问题关键是年龄的差不变，而倍数年年在变（8）栽树问题?三要素：（1）总线路长（ 2）间距（ 3）棵树单边线型：总长=（棵树 -1）* 间距K=CJ+1单边环型：总长=棵树 *间距K=CJ单边楼间距：总长=（棵树 +1）* 间距K=CJ-1双边线型、环型、楼间距：对应单边型的2 倍双 =2K（9）方阵问题总人数 =N2，其中 N 为最外层每边人数；M 排 N 列的实心方阵人数为M*N N=最外层总人数 /4 + 1，其中 N 为最外层每边人数；最外层总数=4（N-1） ；M 排 N 列的实心方阵最外层人数为2M+2N-4 方阵外一层总人数比内一层总人数多8，外一层每边人数比内一层每边人数多2 去掉一行一列则总人数=2 倍的去掉的行或列的人数 1 正 N 边形的各边上元素的总数=N（n - 1） ，其中 n 为每边上元素的个数空心方阵人数 =最外层每边人数X2-(X-2* 层数 )2排方阵、列方程求解， “余几就加几，缺几就减几”（10）倒扣问题做错或不合格的数目=总共损失额/ 每隔损失额， 其中每隔损失额不仅包括倒扣的分数或钱数，还包括它要是合格能得到的分数或钱数（11）牛吃草问题基本公式：草场原有草量+ 草的生长量= 吃掉草量 草场原有草量 =（牛数 -每天长草量） * 天数原有水量 =（抽水机数 -单位时间漏水量）* 抽水时间关键是“每天草都在增长” “每时间都在往船里漏水”即“总量”增加；若“总量”变小，如酒瓶漏水，此时必须把“-”换成“ +”（12）剩余定理例：（13）抽屉原理原理 1：将多于n 个物品放入n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于2 销售价成本利润利润率利润成本销售价1+利润率1/v+ 1/v 2/v+1/v+1/ v人X Yv车/v1 1v车/v2 - 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 35 页 - - - - - - - - - 17 原理 2：将多于m*n 个物品放入n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1 核心原理：将m*n+1 个物品放入n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于m+1 （14）集合问题画文氏图，由中间向外推（15）统筹问题煎煎饼问题已知锅上只能同时煎两个煎饼，现在有奇数个煎饼需要煎，问怎样煎才能用时最短把其中一个煎饼的一面煎完了后拿出来，再煎另一个煎饼的一面，最后把这两个煎饼没煎的一面同时放在锅上煎。运费问题“非闭合” 货物集中问题： 在非闭合的路径上 （包括线形、 树形等， 不包括环形） 有多个“点”，每个点之间通过 “路” 来连通， 每个“点”上有一定的货物，需要用优化的方法把货物集中到一个“点”上的时候，通过以下方式判断货物的流向：判断每条“路”的两侧的货物总重量，货物在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重的一侧，并且与路径长短即两点间的运距没有关系，做题时一般利用“核心法则”，从中间路段开始判断。卸车问题设车站数目为M ，车辆数为N，则有：若 MN ，则需要工人最少的数目为前N 个用人最多的车站的用人数目之和若 MN ，则需要工人最少的数目为各个车站用人数目之和生产上衣和裤子问题（16）时钟问题钟面问题时钟一昼夜（ 24 小时）转 2 圈，分针一昼夜转24 圈时针与分针一昼夜重合22 次，垂直 44 次，成 180也是 22 次钟面问题很多本质上是追击问题，可选用公式T=T0+ ，也就是T=T0 * ，其中T0为需要追击的格数，T为需要追击的时间长度。坏表问题找准坏表的“标准比” ，然后按比例计算（17）浓度问题?溶液浓度 = = ?多次混合浓度问题设盐水瓶中盐水的质量为M ，浓度为CO，每次操作先倒出MO克盐水，再倒入MO克清水，如此反复N 次，则盐水的浓度变为=CO *（1+MOM）N 设盐水瓶中盐水的质量为M ，浓度为CO，每次操作先倒入MO克清水，再倒出MO克盐水，如此反复N 次，则盐水的浓度变为=CO *（MMMO）N （18）鸡兔同笼问题方法：（1）列方程组（ 2）代入法（ 3）整除法（ 4）利用倒扣原理（19）逆推问题?从结论往前推（20）分段计算问题题型：商品销售中打折或返钱，税金计算，水费思路：分区间计算要点：弄清分段点、细心计算（21）比赛问题淘汰赛所需场次：仅需决出冠、亚军N-1 仅需决出 1、2、3、4 名 N 溶质溶液溶质溶质 +溶剂TO1112 11名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 35 页 - - - - - - - - - 18 循环赛所需场次：单循环赛（任意两场打一场比赛）2NC双循环赛（任意两场打两场比赛）2NA（22）传球问题N 个人传 M 次球，记X=(1)MNN，则与 X 最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X 次接近的整数为传给自己的方法数【取整，取整1】（23）星期问题口诀“一年就是1，闰日再加1；一月就是2，多少再补算”（24）余数相关问题口诀“余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期”（25）乘方尾数问题底数留个位，指数末两位除以4 取余数，特殊地，余数为0 记为 4。底数为 0，1，5，6 的数，乘方尾数不变（26）质因数分解问题?题型：求约数个数，最大公约数、最小公倍数?形式：123123*rrrrmmNPPPP，则因数共有( 11)(21)(1)rrrm个?最大公约数：从1231123*rrrrmmNPPPP；1232123*JJJJmmNPPPP中，取各个数对中（ r1,j1 ） （r2,j2 ） （r3,j3 ）（ rm,jm ）的最小值，依次作为123,mP P PP的指数，最后再将这些数乘起来就是结果。?最小公倍数：从1231123*rrrrmmNPPPP；1232123*JJJJmmNPPPP中，取各个数对中（ r1,j1 ） （r2,j