2022年反比例函数中的面积问题 .pdf

1 反比例函数中的面积问题由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。 这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：一、利用反比例函数中 |k|的几何意义求解与面积有关的问题设 P为双曲线上任意一点，过点P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为 S=|PM| |PN|=|y| |x|=|xy| xy=k 故 S=|k| 从而得结论 1：过双曲线上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值 |k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论 2：在直角三角形 ABO 中，面积 S= 结论 3：在直角三角形ACB 中，面积为 S=2|k| 结论 4：在三角形 AMB 中，面积为 S=|k| 1已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）例 1（1）(2008广东省深圳市 )如图，直线 OA 与反比例函数的图象在第一象限交于 A 点，ABx 轴于点 B，OAB的面积为 2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 则 k分析：由图象知 ,k0,由结论及已知条件得 k=4 （2）（2008 甘肃省兰州市）如图，已知双曲线（） 经过矩形的边的中点，且四边形的面积为 2，则分析：连结 OB，E、F 分别为 AB、BC 的中点而由四边形 OEBF 的面积为 2 得解得 k=2 评注：第小题中由图形所在象限可确定k0，应用结论可直接求k 值。第小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k 的方程求 k 值。例 2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD 的顶点 A 是函数与函数在第二象限的交点，轴于 B，轴于 D，且矩形 ABOD 的面积为 3（1）求两函数的解析式（2）求两函数的交点 A、C 的坐标（3）若点 P 是 y 轴上一动点，且，求点 P 的坐标解： （1）由图象知 k0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段， 由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧， 组成如图 5 所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含 的代数式表示）分析：x,y 为正整数， x=1,2,4,8,16 即 A、B、C、D、E 五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x 对称，故有S=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 =13-26 例 7（2009 年济宁市）如图， A 和B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 分析：因为圆心 A 中的非阴影部分与圆B 中的阴影部分为对称图形，圆A中的阴影部分与圆B 中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。设圆 A 的圆心 A 的坐标为 (x,y)，由图可知， x=y A 点在反比例函数图象上，解得 x=1 从而所求面积为 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。四、 讨论与面积有关的综合问题例 8 （2008山东省） （1）探究新知：如图 1，已知 ABC 与ABD 的面积相等，试判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由（2）结论应用 ： 如图 2，点 M，N 在反比例函数（k0）的图象上，过点M 作 MEy 轴，过点 N 作 NFx 轴，垂足分别为E，F试证明： MNEF 若中的其他条件不变， 只改变点 M， N 的位置如图 3 所示，请判断 MN 与 EF 是否平行。解： （1）证明：分别过点C，D，作 CGAB，DHAB，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 垂足为 G，H，则 CGADHB90 CGDH ABC 与ABD 的面积相等， CGDH 四边形 CGHD 为平行四边形 ABCD（2）证明：连结 MF，NE利用同底等高的三角形面积相等，可知SEFMSEF N由（1）中的结论可知： MNEF如图所示，MNEF评注：本题综合性较强，难度较大。既考查分析问题的能力，又考查转化能力，知识与能力的考查融合的恰当。例 9 （2009 年济南）已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点， 其中过点作直线轴，交轴于点； 过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为 6 时，请判断线段与名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 的大小关系，并说明理由分析： （1）由点 A（3，2）在两函数图象上，可求得k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为(2)0 x3 (3)设 D 点坐标为（ 3，t） ，则 M 点坐标为（由四边形 OADM 的面积为 6 得 3+6+3=3t 解得 t=4 故点 M 为（D 点为（ 3，4）从而 M 点为 BD 中点， BM=DM 评注：第小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第小问考查分析图形的能力，第小问考查反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次分明， 有梯度，是一道较好的中考题目名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -