2022年2021学年-初三数学-圆-综合练习题 .pdf

OFABCDEFEDCBOACEBODFA北京市丰台区 2015-2016学年度第一学期初三数学第 24章 圆 综合练习题一、与圆有关的中档题： 与圆有关的证明 （证切线为主） 和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图，BD为O的直径，AC为弦，ABAC，AD交BC于E，2AE，4ED（1）求证：ABEADB，并求AB的长；（2）延长DB到F，使BFBO，连接FA，判断直线FA与O的位置关系，并说明理由. 2. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DFBC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积3、如图，已知圆O 的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD（1）请证明：E是OB的中点；（2）若8AB，求CD的长4如图，AB是O的直径，点C在O上，BAC= 60 ，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作OCCD交PQ于点D（1）求证：CDQ是等腰三角形；（2）如果CDQCOB，求BP:PO的值5 已知 :如图 , BD是半圆O的直径 ,A是BD延长线上的一点，BCAE，交AE的延长线于名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - ABCDEOGF点C, 交半圆O于点 E，且E为?DF的中点 . （1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若662ADAE，求BC的长6.如图，ABC内接于 O，过点A的直线交 O 于点P，交BC的延长线于点D，且AB2=AP AD （1）求证：ABAC；（2）如果60ABCo， O 的半径为1，且 P 为弧 AC 的中点，求 AD 的长 . 7如图，在ABC中，C=90, AD是BAC的平分线，O是AB上一点 , 以OA为半径的O经过点D. （1）求证：BC是O切线；（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长 . 8如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CD AB 于 E，连结 AC、OC、BC. （1）求证：ACO= BCD ；（2）若 BE=2 ，CD=8 ，求 AB 和 AC 的长 . 9如图，已知BC为O的直径， 点A、F在O上，BCAD，垂足为D，BF交AD于E，且BEAE（1）求证：AFAB；（2）如果53sinFBC，54AB，求AD的长10如图，已知直径与等边ABC的高相等的圆O 分别与边AB、BC 相切于点D、 E，边AC 过圆心 O 与圆 O 相交于点F、G。（1）求证：DEACP；OPDCBAOACDB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - OQPCBAGFEDCOBA第 13题图（2）若ABC的边长为a，求ECG的面积 . 11如图，在ABC中，BCA=90，以BC为直径的O交AB于点P，Q是AC的中点（ 1）请你判断直线PQ与O的位置关系，并说明理由；（2）若A 30，AP=2 3，求O半径的长 . 12如图，已知点A是O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点，12ACOB，若点P是O上的一个动点 ,且30OBAo,AB=2 3时，求APC的面积的最大值13如图，等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作O交BC于点D，交AB于点G，过点D作O的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F. （1）求证：EFAB；（2）求cosF的值 . 14 （应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30的直角三角尺按图示的方式测量 . (1)若O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若O与AF相切 . 求证 : O与AE相切；(2)在满足 (1)的情况下， 当、分别为AE、AF的三分之一点时，且AF=3，求?BC的弧长 . 二、圆与相似综合ABCMNOPFABCDEGO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - EB15已知：如图，O的内接ABC中，BAC=45，ABC =15 ，ADOC并交BC的延长线于D，OC交AB于E. （1）求D的度数；（2）求证：2ACAD CE；（3）求BCCD的值 . 16如图， O 的直径为AB，过半径OA的中点G作弦ABCE，在 BC 上取一点D，分别作直线EDCD、，交直线AB于点MF、. 求COA和FDM的度数；求证：FDMCOM；如图，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线EDCD、，分别交直线AB于点MF、. 试判断：此时是否仍有FDMCOM成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。三、圆与三角函数综合17已知 O 过点 D（ 4，3） ，点 H 与点 D 关于y轴对称，过 H 作 O 的切线交y轴于点 A（如图 1） 。求O半径；求sinHAO的值；如图 2，设O与y轴正半轴交点P，点 E、F 是线段 OP 上的动点（与P 点不重合），联结并延长DE 、 DF交O于点 B、C，直线BC 交y轴于点 G，若DEF是以 EF 为底的等腰三角形，试探索sinCGO的大小怎样变化？请说明理由。图 1 图 2 OxyD(4,3)AHCFEPBGOxyD(4,3)图 1 图 2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - 四、圆与二次函数（或坐标系）综合18、如图，M 的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（ 0，3） 、 B（ 1， 0） ，抛物线233yxbxc经过 A、 B两点（1）求抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为P试判断点P 与 M 的位置关系，并说明理由；（3）若 M 与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD 及弧 ABD 围成的封闭图形PABD 的面积是多少？19如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心， 2 为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - 20 （以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的1O与x轴交于AB、两点， 圆心1O的坐标为(20)，二次函数2yxbxc的图象经过AB、两点，其顶点为F（1）求bc，的值及二次函数顶点F的坐标；（2）将二次函数2yxbxc的图象先向下平移1 个单位，再向左平移2 个单位，设平移后图象的顶点为C，在经过点B和点0,3D的直线l上是否存在一点P，使PAC的周长最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.五、以圆为背景的探究性问题21下图中 , 图(1)是一个扇形OAB ，将其作如下划分：第一次划分：如图 (2)所示，以 OA 的一半 OA1的长为半径画弧交OA 于点 A1，交 OB于点 B1，再作 AOB 的平分线，交?AB于点 C，交?11A B于点 C1， 得到扇形的总数为6 个，分别为：扇形 OAB 、扇形 OAC 、扇形 OCB、扇形 OA1B1、扇形 OA1C1、扇形 OC1B1；第二次划分：如图 (3)所示，在扇形OC1B1中，按上述划分方式继续划分，即以 OC1的一半 OA2的长为半径画弧交OC1于点 A2， 交 OB1于点 B2， 再作 B1OC1的平分线，交?11BC于点 D1，交?22A B于点 D2，可以得到扇形的总数为11 个；第三次划分：如图 (4)所示，按上述划分方式继续划分；依次划分下去. (1) 根据题意 , 完成右边的表格；(2) 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2008 个? 为什么 ? (3) 若图 (1)中的扇形的圆心角AOB=m ，且扇形的半径OA 的长为R我们把图 (2)第一次划分的图形中，扇形11OAC（或扇形11OC B）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为 S1；把图 (3)第二次划分的最小扇形面积记为S2；，把第n 次划分的最小扇形面积记为 Sn.求1nnSS的值 . 22圆心角定理是 “圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作?AOBAB（如图）；xyABO-245-1-32-1-21O1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，记作?1()2AOBABCD（如图）请回答下列问题：（1）如图，猜测?APBAB CD与、有怎样的等量关系,并说明理由；（2）如图，猜测?APBAB CD与、有怎样的等量关系,并说明理由 . （提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）23已知：半径为R 的O经过半径为r 的O圆心，O与 O 交于 M、N 两点（1） 如图 1， 连接OO交O于点 C， 过点 C 作O的切线交O于点 A、 B， 求OA OBg的值；（2）若点 C 为O上一动点 . 当点 C 运动到O内时，如图2，过点 C 作O的切线交O于 A、B 两点请你探索OA OBg的值与（ 1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；当点运动到O外时，过点C 作O的切线，若能交O于 A、B 两点请你在图3 中画出符合题意的图形，并探索OA OBg的值（只写出OA OBg的值，不必证明） POACDB图OBDAC图图CDOPAB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - OFABCDE北京市丰台区 2015-2016学年度第一学期初三数学第 24章 圆 综合练习题一、与圆有关的中档题： 与圆有关的证明 （证切线为主） 和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图，BD为O的直径，AC为弦，ABAC，AD交BC于E，2AE，4ED（1）求证：ABEADB，并求AB的长；（2）延长DB到F，使BFBO，连接FA，判断直线FA与O的位置关系，并说明理由. 1解：ABACQ，ABCC. CDQ，ABCD又BAEDABQ，ABEADBABAEADAB224212ABAD AEAEEDAEgg2 3AB（舍负）（2）直线FA与Oe相切连接OABDQ为Oe的直径，90BADo在Rt ABD中，由勾股定理，得2221224484 3BDABAD114 32 322BFBOBD2 3ABQ，BFBOAB（或BFBOABOA，AOB是等边三角形，FBAF60OBAOAB，30FBAF ）90OAFoOAAF又Q点 A 在圆上，直线FA与Oe相切DFEBCOA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - 2. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DFBC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积2 （1）证明：连接DO. ABC是等边三角形，C=60，A=60，OA=OD， OAD是等边三角形 . ADO =60. DFBC，CDF =30. FDO=180-ADO-CDF= 90.DF为 O 的切线 . （2）OAD是等边三角形，CD=AD=AO=21AB=2. RtCDF中，CDF =30，CF=21CD=1. DF=322CFCD. （3）连接OE，由（ 2）同理可知E为CB中点，2CE. 1CF，1EF. 233)(21DFODEFSFDOE直角梯形323602602DOES扇形32233DOEFDOESS扇形直角梯形3、如图，已知圆O 的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD（1）请证明：E是OB的中点；（2）若8AB，求CD的长3、 （ 1）证明：连接AC，如图FEDCBOAFEDCBOA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - CEBODFACFADQ，AECD且CFAE，过圆心O?ACAD，?ACCD，ACD是等边三角形30FCDo在RtCOE中，12OEOC，12OEOB点E为OB的中点（2）解：在OCEtR中8ABQ，142OCAB又BEOEQ，2OE3241622OEOCCE24 3CDCE4如图，AB是O的直径，点C在O上，BAC= 60 ，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作OCCD交PQ于点D（1）求证：CDQ是等腰三角形；（2）如果CDQCOB，求BP:PO的值4 （1）证明：由已知得ACB=90，ABC=30，Q=30，BCO= ABC=30. CDOC，DCQ=BCO=30，DCQ=Q，CDQ是等腰三角形 . （2）解：设O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=121AB，BC=3 . 等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，CQ=BC=3 . AQ=AC+CQ=1+3 ，AP=23121AQ，BP=ABAP=2332312PO=APAO=2131231，BPPO=3 . 5 已知 :如图 , BD是半圆O的直径 ,A是BD延长线上的一点，BCAE，交AE的延长线于点C, 交半圆O于点 E，且E为?DF的中点 . （1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若662ADAE，求BC的长5.解： （1）连接OE, E为?DF的中点，?DEEFOBECBE. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - OEOB，OEBOBE.OEBCBE.OE BC. BCAC， C=90. AEO= C=90. 即OEAC. 又OE为半圆O的半径，AC是半圆O的切线 .（2）设Oe的半径为x，OEAC，222(6)(6 2)xx. 3x. 12ABADODOB. OE BC，AOEABC.AOOEABBC. 即9312BC4BC. 6.如图，ABC内接于 O，过点A的直线交 O 于点P，交BC的延长线于点D，且AB2=AP AD （1）求证：ABAC；（2）如果60ABCo， O 的半径为1，且 P 为弧 AC 的中点，求 AD 的长 . 6.解： （1）证明：联结BPAB2=AP AD ，ABAP=ADAB BAD= PAB，ABD APB， ABC= APB， ACB= APB， ABC= ACB AB=AC. （2）由（ 1）知 AB=AC ABC=60，ABC 是等边三角形 BAC=60，P为弧 AC 的中点，ABP= PAC=12A BC=30， BAP=90，BP是 O 的直径，BP=2， AP=12BP=1，在 Rt PAB 中，由勾股定理得AB2= BP2 AP2=3， AD=AB2AP=37如图，在ABC中，C=90, AD是BAC的平分线，O是AB上一点 , 以OA为半径的O经过点D. （1）求证：BC是O切线；（2）若BD=5, DC=3, 求AC的长 . OPDCBADCBAOPOACDB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 7.（1）证明 : 如图 1，连接OD. OA=OD, AD平分BAC, ODA=OAD, OAD=CAD. ODA= CAD. OD/AC. ODB=C=90 . BC是O的切线 . 图 1 （2）解法一 : 如图 2，过D作DEAB于E. AED= C=90 . 又AD=AD, EAD=CAD, AEDACD. AE=AC, DE=DC=3. 在 RtBED中，BED =90 ,由勾股定理，得BE=422DEBD. 图 2 设AC=x（x0）, 则AE=x. 在 RtABC中，C=90 , BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得x2 +82= (x+4) 2. 解得x=6. 即AC=6. 解法二 : 如图 3，延长AC到E，使得AE=AB. AD=AD, EAD =BAD, AEDABD. ED=BD=5. 在 RtDCE中，DCE=90 , 由勾股定理，得CE=422DCDE. 5 分图 3 在 RtABC中，ACB=90 , BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得AC2 +BC2= AB2. 即AC2 +82=(AC+4) 2.解得AC=6. 8如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CD AB 于 E，连结 AC、OC、BC. （1）求证：ACO= BCD ；（2）若 BE=2 ，CD=8 ，求 AB 和 AC 的长 . 8、证明：（1）连结 BD，AB是O的直径，CD AB， A= 2又 OA=OC ，1= A2即：ACO= BCD DCAOBEBDCAOEBDCAO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - ABCDEOGFOGHAD解： （2）由（ 1）问可知，A= 2， AEC= CE B. ACE CBE.CEAEBECE CE2=BE AE又 CD=8 ， CE=DE=4 AE=8 AB=10 AC=.548022CEAE9如图，已知BC为O的直径， 点A、F在O上，BCAD，垂足为D，BF交AD于E，且BEAE（1）求证：AFAB；（2）如果53sinFBC，54AB，求AD的长9解： （1）延长AD与O交于点G 直径BC弦AG于点D， AFB=BAEAE=BE，ABE= BAE ABE= AFB AB=AF（2）在RtEDB中，sinFBC=53BEED设ED=3x，BE=5x，则AE=5x，AD=8x，在RtEDB中，由勾股定理得BD=4x在RtADB中，由勾股定理得BD2+AD2=AB2AB=45，222)54()8()4(xxx=1（负舍）AD=8x=810如图，已知直径与等边ABC的高相等的圆O 分别与边AB、BC 相切于点D、 E，边AC 过圆心 O 与圆 O 相交于点F、G。（3）求证：DEACP；（4）若ABC的边长为a，求ECG的面积 . 10. (1) ABCQ是等边三角形,60B,60A, QAB、BC是圆O的切线，D、E是切点，BD=BE. AB=GB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - OQPCBA60BDE,60A,有DE/AC. (2)分别连结OD、OE,作EHAC于点H. QAB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，90ADOOEC，OD=OE，AD=EC. ADOCEO,有AO=OC=12a. Q圆O的直径等于ABC的高 ,得半径OG=34a,CG=OC+OG=12a+34a. ,60EHOCCQ,30COE,EH=38a. 12ECGSQCG EH =12(34a+12a)38a, ECGS22336432aa=232 364a. 11如图，在ABC中，BCA=90，以BC为直径的O交AB于点P，Q是AC的中点（ 1）请你判断直线PQ与O的位置关系，并说明理由；（2）若A 30，AP=2 3，求O半径的长 . 11、解：（1）直线PQ与O相切 . 连结OP、CP. BC是O的直径，BPC90. 又Q是AC的中点，PQ=CQ=AQ . 3 4. BCA =90， 2+4=90. 1 2， 1+ 3=90. 即 OPQ=90. 直线PQ与O相切 . （2）A 30，AP=2 3，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - GFEDCOBA第 13题图 在 Rt APC中，可求AC=4. 在 Rt ABC中，可求BC=433. BO=233. O半径的长为233. 12如图，已知点A是O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点，12ACOB，若点P是O上的一个动点 ,且30OBAo,AB=2 3时，求APC的面积的最大值12、解 :连结OA. 由C是OB的中点 ,且12ACOB,可证得OAB=90.则O=60.可求得OA=AC=2. 过点O作OEAC于E，且延长EO交圆于点F则P(F)E是PAC的AC边上的最大的高. 在OAE中,OA=2,AOE=30, 解得3OE. 所以23PE. 故112(23)22PACSAC PEV. 即23PACSV. 13如图，等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作O交BC于点D，交AB于点G，过点D作O的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F. （1）求证：EFAB；（2）求cosF的值 . 13. 证明：（1）联结ODOC=ODODC=OCD又AB=ACOCD= BODC= BODABED是O的切线，OD是O的半径ODEFABEFABCMNOPGFEDCOBA第 13 题图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - （2）联结AD、CGAD是O的直径ADC= AGC=90ABEFDECGF=GCAAB=AC DC=12BC=5 RtADC中，2212ADACCDADgBC=ABgCGCG=12013AD BCABgRtCGA中，cosGCA=120169GCACcosF=12016914 （应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30的直角三角尺按图示的方式测量. (1)若O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若O与AF相切 . 求证 : O与AE相切；(2)在满足 (1)的情况下， 当、分别为AE、AF的三分之一点时，且AF=3，求?BC的弧长 . 14.解:（1）证明：连结OB、OA、OC. 根据题意, OCA=90 . 在ABO与ACO中, AB=AC,OA=OA,OB=OC, 所以ABOACO. 所以OCA=OBA=90.则AE是圆的切线 . (2)因OCA=OBA=90,且 EAD=FAG=30,则 BAC=120 . 又113ACAF, OAC=60 , 故3OC. 所以?BC的长为33. 二、圆与相似综合15已知：如图，O的内接ABC中，BAC=45，ABC=15，ADOC并交BC的延长线于D，OC交AB于E. FABCDEGOGFEDCOBA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - EB（1）求D的度数；（2）求证：2ACAD CE；（3）求BCCD的值 . 15 （1）解：如图3，连结OB. O的内接ABC中，BAC=45， BOC =2BAC =90 . OB=OC ，OBC = OCB =45 . ADOC ，D =OCB =45 . （2）证明：BAC =45，D =45， BAC =D . ADOC ，ACE =DAC . ACE DAC ACCEDAAC2ACAD CE（3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA . ADOC ，F=BOC =90. ABC =15， OBA =OBC ABC =30 . OA = OB ， FOA=OBAOAB =60，OAF =30 . 12OFOA. ADOC ，BOC BFD BCBOBDBF2BCBOOACDOFOF，即BCCD的值为 2. 解法二：作OMBA于M，设O的半径为r，可得BM=32r ，OM=2r，30MOE，3tan306MEOMr ，BE=2 33r ，AE=33r ，所以2BCBECDEA. 16如图， O 的直径为AB，过半径OA的中点G作弦ABCE，在上取一点D，分别作直线EDCD、，交直线AB于点MF、. 求COA和FDM的度数；求证：FDMCOM；如图，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线EDCD、，分别交直线AB于点MF、.试判断：此时是否仍有FDMCOM成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。BCAFEOD图 4 DOEACB图 3 CB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - （ 1）（第 16题）（ 2）16解：（1） AB 为直径，ABCE，AEAC，EGCG. 在COGRt中，OC21OG，03GOC.60COA. 又o60COAACCAE21CDE的度数的度数的度数的度数, 120CDE180oFDM. （2）证明：120COA180oCOM,FDMCOM. 在CGMRt和EGMRt中，EGCGGMGM，CGMRtEGMRt.EGCGMM. 又EGMDMF，DMFOMC. FDMCOM（3）结论仍成立 . 证明如下：CDE180oFDM，又的度数的度数的度数的度数COACACAE21CDE，COMCOA180oFDM. AB 为直径，ABCE，在CGMRt和EGMRt中，EGCGGMGM，CGMRtEGMRt. EGCGMM. FDMCOM. 三、圆与三角函数综合17已知 O 过点 D（4， 3） ，点 H 与点 D 关于y轴对称，过H 作 O 的切线交y轴于点A（如图 1） 。求O半径；求sinHAO的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - 如图 2，设O与y轴正半轴交点P，点 E、F 是线段 OP 上的动点 （与 P 点不重合），联结并延长DE 、DF 交O于点 B、C，直线 BC 交y轴于点 G，若DEF是以 EF 为底的等腰三角形，试探索sinCGO的大小怎样变化？请说明理由。OxyD(4,3)AHCFEPBGOxyD(4,3)图 1 图 2 17 (1)点4,3D在 O 上， O 的半径5rOD。（2）如图 1，联结 HD 交 OA 于 Q，则 HD OA 。联结 OH，则 OH AH 。 HAO= OHQ 。3sinsin5OQHAOOHQOH。（3）如图 2，设点 D 关于y轴的对称点为H，联结 HD 交 OP 于 Q，则 HD OP。又 DE=DF ， DH 平分BDC 。?BHCH。 联结 OH ，则 OH BC。AQHPOxyD(4,3)HQCFEPBGOxyD(4,3)图 1 图 2 CGO= OHQ 。3sinsin5OQCGOOHQOH名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - 四、圆与二次函数（或坐标系）综合18、如图，M 的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（ 0，3） 、 B（ 1， 0） ，抛物线233yxbxc经过 A、 B两点（4）求抛物线的函数解析式；（5）设抛物线的顶点为P试判断点P 与 M 的位置关系，并说明理由；（6）若 M 与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段 PD 及弧 ABD 围成的封闭图形PABD 的面积是多少？18解：（1）抛物线经过点A、B，.330,3cbc解得.3,332cb.3332332xxy（2）由3332332xxy得.334)1(332xy顶点 P 的坐标为（ 1，334） 在 Rt AOM 中,MA2MO2=OA2,OA=3,OB=1, MA2 (MA 1)2=3, MA=2. MB=2, MO=1, 即点 O 的坐标为（ 1， 0） MP=3342. 顶点 P 在圆外；（）连结OD ，点 M 在抛物线的对称轴上, 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - MPy轴, PADOADSS. 由线段PA、线段 PD 及弧 ABD 形成的封闭图形PABD 的面积 =扇形 OAD 的面积 . 在 Rt AOM 中,sinAMO=23, AMO=60 . 封闭图形PABD 的面积 =212043603MA19如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心， 2 为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由19解：（1）作CHx轴，H为垂足CH=1，半径CB=2， HBC=30 BCH=60 ACB=120（2）CH=1，半径CB=2，3HB，故(13 0)A，)031(，B（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（ 1，3） 设抛物线解析式为2(1)3ya x，把点)031 (，B代入解析式，解得1a所以222yxx（ 4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形所以，PCOD且PCOD名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - xyABO-245-1-32-1-21O1PCyQ轴，点D在y轴上2PC，2OD，即)20( ，D)20( ，D满足222yxx， 点D在抛物线上 存在)20( ，D使线段OP与CD互相平分20 （以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的1O与x轴交于AB、两点， 圆心1O的坐标为(20)，二次函数2yxbxc的图象经过AB、两点，其顶点为F（1）求bc，的值及二次函数顶点F的坐标；（2）将二次函数2yxbxc的图象先向下平移1 个单位， 再向左平移2 个单位， 设平移后图象的顶点为C，在经过点B和点0,3D的直线l上是否存在一点P，使PAC的周长最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.20.解： （1）由题意得，A(1 , 0) , B(3 , 0) . 则有10930.bcbc，解得4,3.bc二次函数的解析式为224321yxxx顶点F的坐标为（ 2，1） （2）将221yx平移后的抛物线解析式为2yx，其顶点为C(0,0). 直线l经过点B（3，0）和点D（0，- 3） ，直线l的解析式为3yx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 26 页 - - - - - - - - - 作点A关于直线l的对称点A，连接BA、CA，AA直线l，设垂足为E，则有A EAE，由题意可知，45ABE, 2AB，45EBA，2A BAB 90CBA. 过点A作CD的垂线，垂足为F,四边形CFA B为矩形3FAOB3, 2A直线CA的解析式为23yx. 2,33.yxyxQ的解为9,56.5xy直线CA与直线l的交点为点96,55P五、以圆为背景的探究性问题21下图中 , 图(1)是一个扇形OAB ，将其作如下划分：第一次划分：如图 (2)所示，以 OA 的一半 OA1的长为半径画弧交OA 于点 A1，交 OB于点 B1，再作 AOB 的平分线，交?AB于点 C，交?11A B于点 C1， 得到扇形的总数为6 个，分别为：扇形 OAB 、扇形 OAC 、扇形 OCB、扇形 OA1B1、扇形 OA1C1、扇形 OC1B1；第二次划分：如图 (3)所示，在扇形OC1B1中，按上述划分方式继续划分，即以 OC1的一半 OA2的长为半径画弧交OC1于点 A2， 交 OB1于点 B2， 再作 B1OC1的平分线，交?11BC于点 D1，交?22A B于点 D2，可以得到扇形的总数为11 个；第三次划分：如图 (4)所示，按上述划分方式继续划分；依次划分下去. (4) 根据题意 , 完成右边的表格；(5) 根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2008个? 为什么 ? (6) 若图 (1)中的扇形的圆心角AOB=m ，且扇形的半径OA 的长为 R我们把图 (2)第一次划分的图形中，扇形11OA C（或扇形11OC B）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S1；把名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - 图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S2；，把第n 次划分的最小扇形面积记为Sn.求1nnS