复数代数形式的乘除运算(-----侨中优质课比赛课件)ppt.ppt
已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di ( (a a，b b，c c，dRdR) )( (a+bi)a+bi)(c+di(c+di) =_.) =_.对任意对任意z z1 1，z z2 2，z z3 3CCz z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3) )交换律：交换律：结合律：结合律：( (a ac)+(bc)+(bd)id)i已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di ( (a a，b b，c c，dRdR) )设设OZOZ1 1， OZOZ2 2分别与复数分别与复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di对应对应. .x xo oy yZ Z1 1( (a a，b)b)Z Z2 2( (c c，d)d)Z Z向量向量OZOZ1 1+OZ+OZ2 2z z1 1+z+z2 2o ox xy yZ Z2 2( (c c，d)d)Z Z1 1( (a a，b)b)向量向量OZOZ1 1-OZ-OZ2 2z z1 1-z-z2 2已知两复数已知两复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di ( (a a，b b，c c，dRdR) )Z Z1 1( (a a，b)b)o ox xy yZ Z2 2( (c c，d)d)|z|z1 1-z-z2 2| |表示：表示：_. . 复平面中点复平面中点Z Z1 1与点与点Z Z2 2间的距离间的距离. .特别地，特别地，|z|z|表示：表示：_. .复平面中点复平面中点Z Z与原点间与原点间的距离的距离. .如：如：|z+|z+( (1+2i1+2i) )| |表示：表示：_._.点点( (-1-1，-2)-2)的距离的距离. .点点Z Z( (对应复数对应复数z z) )到到1.1.复数乘法运算：复数乘法运算：我们规定，复数乘法法则如下：我们规定，复数乘法法则如下：设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di=c+di 是任意两个复数是任意两个复数，那那么它们的乘积为：么它们的乘积为： ( (a+bia+bi)()(c+dic+di )= ac+adi+bci+bdi )= ac+adi+bci+bdi2 2 = ac+adi+bci-bd = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i = (ac-bd)+(ad+bc)i注意：注意：两个复数的积是一个确定的复数两个复数的积是一个确定的复数应用举例应用举例计算计算 (3+4i)(-2-3i)(3+4i)(-2-3i)解：原式解：原式= -6-9i-8i-12i= -6-9i-8i-12i2 2 = -6-17i+12 = -6-17i+12 = 6-17i = 6-17i分析：类似两个多项式相乘，把分析：类似两个多项式相乘，把i i2 2换成换成-1-1复数的乘法是否满足交换律，结合律以及复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？乘法对加法的分配律？请验证乘法是否满足交换律请验证乘法是否满足交换律? ?对任意复数对任意复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di=c+di则则z z1 1zz2 2=(=(a+bia+bi)()(c+dic+di )=ac+adi+bci+bdi )=ac+adi+bci+bdi2 2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i而而z z2 2zz1 1= (= (c+dic+di )( )(a+bia+bi)=ac+bci+adi+bdi)=ac+bci+adi+bdi2 2 =(ac-bd)+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1( (交换律交换律) )对任意对任意z z1 1 ,z ,z2 2 ,z ,z3 3 C. C. 有有 z z1 1zz2 2=z=z2 2zz1 1 ( (交换律交换律) ) (z (z1 1zz2 2)z)z3 3= z= z1 1(z(z2 2zz3 3) () (结合律结合律) )z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1zz2 2+z+z1 1zz3 3 ( (分配律分配律) )例例1.1.计算：计算：(1) (1-2(1) (1-2i i)(3+4)(3+4i i)(-2+)(-2+i i) )(2) (1+(2) (1+i i) )2 2(3) (3+4(3) (3+4i i)(3-4)(3-4i i) )点评：点评：实数集中的完全平方公式、平方差实数集中的完全平方公式、平方差等公式在复数集中仍然适用等公式在复数集中仍然适用. .记法：复数记法：复数z=z=a+bia+bi 的共轭复数记作的共轭复数记作zz= = a-bia-bi定义：实部相等，虚部互为相反数的两定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为个复数叫做互为共轭复数共轭复数口答：口答：说出下列复数的共轭复数说出下列复数的共轭复数z z=2+3i=2+3iz z= = 3 3z z= -6i= -6iz( =2-3i )( =2-3i )z ( =6i ( =6i ) )z( =3 )( =3 )注意：注意：当虚部不为当虚部不为0 0时的共轭复数称为时的共轭复数称为 共轭虚数共轭虚数 实数实数的共轭复数是它本身的共轭复数是它本身解：解：作图作图得出结论：得出结论：在复平面内，在复平面内，共轭复数共轭复数z z1 1 ,z ,z2 2所对应的点所对应的点关于关于实轴实轴对称。对称。 若若z z1 1 , z , z2 2是共轭复数，那么是共轭复数，那么在复平面内，它们所对应的在复平面内，它们所对应的点点有怎有怎 的位置关系？的位置关系？z z1 1zz2 2是一个怎样的数？是一个怎样的数？令令z1=a+bi,则则z2=a-bi则则z1z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2结论：结论：任意两个互为共轭任意两个互为共轭复数的乘积是一个复数的乘积是一个实数实数. .yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,o)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o6.6.共轭复数共轭复数的相关运算性质的相关运算性质: :ZZ 2222|ZZbaZZ 2121ZZZZ2121ZZZZzzRz zzzz 且且为纯虚数为纯虚数, 07.7.复数的除法法则复数的除法法则探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探 究复数除法的法则究复数除法的法则. .()()(0).() ()cdi xyiabi cdixyiabicdiabiabicdicdi满足的复数叫做复数除以复数的商记作：或()() () ()c di xyia bicx dydx cy ia bi 22cx dyac x cdyacdx cybd x cdybd2222acbdxcdbcadycd2222() ()(0)ac bd bc ada bic dii c dicdcd 说明：在计算时说明：在计算时, ,分子分母都乘以分母的分子分母都乘以分母的“实数化因式实数化因式”（共轭复数）从而使分母（共轭复数）从而使分母“实数化实数化”。()()即 ：abiabicdicdi a aa a( (b b - -c c ) )= =b b + +c c( (b b + +c c ) )( (b b - -c c ) )a ab b - -a ac c= =( (分分 母母 有有 理理 化化 ) )b b - - c c()()()()abi cdicdi cdi 222222()acbdbcad iacbdbcadicdcdcd7.7.复数的除法法则复数的除法法则)0()()(2222 dicidcadbcdcbdacdicbiadicbia例例2.(1+22.(1+2i) ) (3-4(3-4i) )先写成分先写成分式形式式形式然后分母实数化然后分母实数化分子分母同时乘分子分母同时乘以分母的共轭复以分母的共轭复数数结果化简成结果化简成代数形式代数形式ii1234 iiii(12 )(34 )(34 )(34 ) i51025 i1255 _ _的实部是_的实部是_2i2i1 13i3i4 41.复数1.复数2的值的值y y求x求x9i,9i,4 43xyi3xyiy)y)(x(x轭复数，且轭复数，且2.已知x、y互为共2.已知x、y互为共2 22 22 2- -20 05 54 4x x- -x x程程：3 3. .在在复复数数集集C C内内解解方方2 2ix 2其中z为复数其中z为复数, ,z z4.解方程：z4.解方程：z2 2izzz232110 或或或或aibxabxabxxxcbxax20;20;20,02, 12时，当时，当时，当的根为设实系数一元二次方程
