锐角三角函数培优-题型分类(答案版).doc

_锐角三角函数培优-题型分类【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义菁优网版权所有1（2009牡丹江二模）直线y=kx4与y轴相交所成锐角的正切值为，则k的值为（）AB2C±2D【分析】首先确定直线y=kx4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx4与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值【解答】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，4），即直线y=kx4与y轴相交所成锐角的邻边为|4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=，直线y=kx4与y轴相交所成锐角的正切值为，即|=4×，k=±2故选C【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理2（1998台州）如图，延长RtABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cotBCD=3，则tanA=（）AB1CD【分析】若想利用cotBCD的值，应把BCD放在直角三角形中，也就得到了RtABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比【解答】解：过B作BEAC交CD于EAB=BD，E是CD中点，AC=2BE，ACBC，BEBC，CBE=90°BEAC又cotBCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，tanA=，故选A【考点3】锐角三角函数的定义3将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接AC，则tanDAC的值为（）ABCD【分析】欲求DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中过C作CEAD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在RtACE中，求得DAC的正切值【解答】解：如图，过C作CEAD于EBDC=90°，DBC=DCB=45°，BD=DC，设CD=BD=1，在RtABD中，BAD=30°，则AD=2在RtEDC中，CDE=BAD=30°，CD=1，则CE=，DE=tanDAC=故选C【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题菁优网版权所有4（2007连云港）如图是一山谷的横断面示意图，宽AA为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，OA=0.5m，OB=3m（点A，O，OA在同一条水平线上），则该山谷的深h为30m【分析】过谷底构造相应的直角三角形，利用坡比定义表示山谷宽求解【解答】解：设A、A到谷底的水平距离为AC=m，AC=nm+n=15根据题意知，OBCDOBOA=1，OB=3，OA=0.5，OB=3=3，=6（+）×h=15解得h=30（m）【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题菁优网版权所有5（2007娄底）去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AFBC，斜坡AB长30米，坡角ABC=60°改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）【分析】连接BE，过E作ENBC于N，则四边形AEND是矩形，有NE=AD，AE=DN，在RtADB和RtBEN中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AD和BD、AE的长【解答】解：在RtADB中，AB=30米ABC=60°AD=ABsinABC=30×sin60°=1525.9826.0（米），DB=ABcosABC=30×cos60°=15米连接BE，过E作ENBC于NAEBC四边形AEND是矩形NE=AD26米在RtENB中，由已知EBN45°，当EBN=45°时，BN=EN=26.0米AE=DN=BNBD=26.015=11米答：AE至少是11.0米【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题菁优网版权所有6（2010新密市自主招生）某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，大灯A离地面距离1m（1）该车大灯照亮地面的宽度BC约是多少（不考虑其它因素）？（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h的速度驾驶该车，从60km/h到摩托车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由（参考数据：，）【分析】（1）本题可通过构造直角三角形来解答，过A作ADMN于D，就有了ABN、ACN的度数，又已知了AE的长，可在直角三角形ABE、ACE中分别求出BE、CE的长，BC就能求出了（2）本题可先计算出最小安全距离是多少，然后于大灯的照明范围进行比较，然后得出是否合格的结论【解答】解：（1）过A作ADMN于点D，在RtACD中，tanACD=，CD=5.6（m），在RtABD中，tanABD=，BD=7（m），BC=75.6=1.4（m）答：该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4m；（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求理由如下：以60 km/h的速度驾驶，速度还可以化为：m/s，最小安全距离为：×0.2+=8（m），大灯能照到的最远距离是BD=7m，该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有7（2010赤峰）关于三角函数有如下的公式：sin（+）=sincos+cossincos（+）=coscossinsintan（+）=利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）=（2+）根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角=60°，底端C点的俯角=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高【分析】先由俯角的正切值及BC求得AB，再由俯角的正切值及BC求得A、D两点垂直距离CD的长由二者相减即可求得【解答】解：由于=60°，=75°，BC=42，则AB=BCtan=42tan75°=42=42=42（），A、D垂直距离为BCtan=42，CD=AB42=84（米）答：建筑物CD的高为84米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有8（2010巴中）巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内（如图），测得树顶A的仰角ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角ADB=45°，若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM（结果保留两位小数，1.732）【分析】可在RtABD和RtABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BDBC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=ABBM即可求出树的高度【解答】解：设AB=x米RtABD中，ADB=45°，BD=AB=x米RtACB中，ACB=60°，BC=AB÷tan60°=x米CD=BDBC=（1）x=6，解得x=9+3，即AB=（9+3）米BM=HMDE=3.31.3=2，AM=ABBM=7+312.20（米）答：这棵树高12.20米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题菁优网版权所有9（2015甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度如果这时气球的高度CD为90米且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离【专题】计算题；压轴题【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可【解答】解：由已知，得ECA=30°，FCB=60°，CD=90，EFAB，CDAB于点DA=ECA=30°，B=FCB=60°在RtACD中，CDA=90°，tanA=，AD=90×=90在RtBCD中，CDB=90°，tanB=，DB=30AB=AD+BD=90+30=120答：建筑物A、B间的距离为120米【考点】解直角三角形的应用方向角问题10（2007徐州）如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在A处观测灯塔S在船的北偏东75°的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：1.41，1.73）【分析】问这艘船能否可以继续沿东北方向航行，只要证明D与S的距离要大于8海里，可以做与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C则ABC，ACS都是直角三角形，可以运用勾股定理来计算【解答】解：作与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C，过点S作SDAB于DAB=30×=6（海里），CAB=45°，ACB=90°，AC=BC=ABsin45°=6×=3（海里），CAS=75°，ACS=90°，SC=ACtan75°=3×（2+）=6+3（海里），BS=3+3（海里），DBS=ABC=45°，SD=BSsin45°=（3+3）×=3+38.28，这艘船可以继续沿东北方向航行【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形菁优网版权所有11（2010兰州）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8（1）若ACBD，试求四边形ABCD的面积；（2）若AC与BD的夹角AOD=60°，求四边形ABCD的面积；（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且AOD=，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含，a，b的代数式表示）【分析】（1）因为ACBD，所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半；（2）过点A分别作AEBD，CFBD，根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出AOD的面积，那么四边形ABCD的面积=4AOD的面积；（3）作辅助线AEBD，CFBD，利用正弦定理求出BCD、ABD的高，那么四边形ABCD的面积=BCD的面积+ABD的面积【解答】解：（1）ACBD，四边形ABCD的面积=ACBD=40（2）分别过点A，C作AEBD，CFBD，垂足分别为E，F 四边形ABCD为平行四边形，AO=CO=AC=5，BO=DO=BD=4在RtAOE中，sinAOE=，AE=AOsinAOE=AO×sin60°=5×= SAOD=ODAE=×4××5=5 四边形ABCD的面积S=4SAOD=20 （3）如图所示，过点A，C分别作AEBD，CFBD，垂足分别为E，F 在RtAOE中，sinAOE=，AE=AOsinAOE=AOsin同理可得CF=COsinCOF=CO×sin 四边形ABCD的面积S=SABD+SCBD=BDAE+BDCF=BDsin（AO+CO）=BDACsin=absin平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形12（2006潍坊）已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，ABC=点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE（1）当F为BC的中点时，求证：EFC与ABF的面积相等；（2）当F为BC上任意一点时，EFC与ABF的面积还相等吗？说明理由【分析】（1）SEFC=FC高h，SABF=BF高h，而EFC与ABF的面积相等且当F为BC的中点，所以必须证明h=h，而h=ABsin，h=EBsin，所以证明方向转化为求证EB=AB，而EB=CD，可利用证EBFDCF来解答，因此便可求证所求；（2）由于ABC和CDE为等底等高三角形，所以SABC=SCDE，又因为ACF和CDF同底等高，所以SAFC=SCDFSABCSAFC=SCDESCDF，即SABF=SEFC【解答】（1）证明：点F为BC的中点，BF=CF=BC=，又BFAD，BE=AB=b，A，E两点到BC的距离相等，都为bsin，（3分）则SABF=bsin=absin，SEFC=bsin=absin，SABF=SEFC；（5分）（2）解：法一：当F为BC上任意一点时，设BF=x，则FC=ax，四边形ABCD是平行四边形，（7分）在EFC中，FC边上的高h1=BEsin，（9分）又在ABF中，BF边上的高h2=bsin，SABF=bxsin，SABF=SEFC；（11分）法二：ABCD为平行四边形，SABC=SCDE=absin，又SAFC=SCDF，SABCSAFC=SCDESCDF，即SABF=SEFC（11分）菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形菁13（2009龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿ABC向终点C运动，连接DM交AC于点N（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：求证：ABNADN；若ABC=60°，AM=4，ABN=，求点M到AD的距离及tan的值（2）如图2，若ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6x12）试问：x为何值时，ADN为等腰三角形【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形【专题】压轴题；动点型【分析】（1）ABN和ADN中，不难得出AB=AD，DAC=CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等通过构建直角三角形来求解作MHDA交DA的延长线于点H由可得MDA=ABN，那么M到AD的距离和就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论【解答】解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=AD，1=2又AN=AN，ABNADN（SAS）作MHDA交DA的延长线于点H由ADBC，得MAH=ABC=60°在RtAMH中，MH=AMsin60°=4×sin60°=2点M到AD的距离为2AH=2DH=6+2=8在RtDMH中，tanMDH=，由知，MDH=ABN=，tan=；（2）ABC=90°，菱形ABCD是正方形CAD=45°下面分三种情形：（）若ND=NA，则ADN=NAD=45°此时，点M恰好与点B重合，得x=6；（）若DN=DA，则DNA=DAN=45°此时，点M恰好与点C重合，得x=12；（）若AN=AD=6，则1=2ADBC，1=4，又2=3，3=4CM=CNAC=6CM=CN=ACAN=66故x=12CM=12（66）=186综上所述：当x=6或12或186时，ADN是等腰三角形等边三角形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有14（2009莆田）已知：等边ABC的边长为a探究（1）：如图1，过等边ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成MNG，求证：MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边ABC内取一点O，过点O分别作ODAB、OEBC、OFCA，垂足分别为点D、E、F如图2，若点O是ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1 OD+OE+OF=a；结论2 AD+BE+CF=a；如图3，若点O是等边ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由【分析】（1）本题中ABC为等边三角形，AB=BC=a，ABC=60°，求出N，G的值，在直角AMB、CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；（2）判定是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论是否正确【解答】（1）证明：如图1，ABC为等边三角形，ABC=60°BCMN，BAMG，CBM=BAM=90°ABM=90°ABC=30°M=90°ABM=60°同理：N=G=60°MNG为等边三角形在RtABM中，BM=a，在RtBCN中，BN=a，MN=BM+BN=a（2）：结论1成立证明：如图3，过点O作GHBC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HMBC于点M，DGO=B=60°，OHF=C=60°，AGH是等边三角形，GH=AHOEBC，OEHM，四边形OEMH是矩形，HM=OE在RtODG中，OD=OGsinDGO=OGsin60°=OG，在RtOFH中，OF=OHsinOHF=OHsin60°=OH，在RtHMC中，HM=HCsinC=HCsin60°=HC，OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH=（GH+HC）=AC=a（2）：结论2成立证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：BE2+OE2=OB2=BD2+OD2，CF2+OF2=OC2=CE2+OE2，AD2+OD2=AO2=AF2+OF2，+得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，BE2+CF2+AD2=（aAD）2+（aBE）2+（aCF）2=a22ADa+AD2+a22BEa+BE2+a22CFa+CF2整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2AD+BE+CF=a18_