高一函数经典难题讲解.doc
_1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),xR且xa,当f(x)的定义域为a-1,a-1/2时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为a-1,a-1/2时xa-1,a-1/2(a-x)1/2,11/(a-x)1,2f(x)=-1+1/(a-x)0,12.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1当x(-,1)时，f(x)单调增；当x1,2时，f(x)单调减；当x(2,+)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由，x>=a,x2-ax-a=0,x1=a+(a2+4a)/2;0<x<a<4时，x2-ax+a=0,x2,3=a土(a2-4a)/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，无实根，零点个数为1。a<0时，x<0,由，x>=a>-4,x2-ax-a=0,x1,2=a土(a2+4a)/2；x<a时x2-ax+a=0，x3=a-(a2-4a)/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m的值（2）当x（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。解：1、函数f(x)=log3 1-m(x+2)/(x-3)图象关于原点对称，则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。log3 1-m(2-x)/(-x-3)=-log3 1-m(x+2)/(x-3)log3 1-m(2-x)/(-x-3)=log3(x-3)/ 1-m(x+2)1-m(2-x)/(-x-3)=(x-3)/1-m(x+2)化简得 -x2+9=-m2(x2)+(2m-1)2所以 -m2=-1（2m-1)2=9解得 m=-1所以,函数解析式为f(x)=log3 (x+3)/(x-3)2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4)上的值域。t(x）=（x+3)/(x-3)=(x-3)+6/(x-3)=1+6/(x-3)当3<x<4时，0<x-3<11/(x-3)>1,6/(x-3)>6所以 t(x)=1+6/(x-3)>7那么,原函数在（3,4)上值域是（log3 (7)，正无穷）3、先求函数定义域(x+3)/(x-3)>0且x3 解得 x>3或x<-3(1)当x>3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+6/(x-3)单调递减，所以 函数f(x)=log3 t(x)单调递减。（2）当x<-3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+6/(x-3)单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。4.已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数.(1)求k的值(2)设f（x）=log4(a2x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围.解:（1）f(x)=log4（4x+1)+kx（KR）是偶函数，f(-x)=f(x),即log<4>4(-x)+1+k(-x)=log<4>(4x+1)+kx,log<4>4(-x)+1/(4x+1)=2kx,-x=2kx,k=-1/2.(2)f(x)=log4(4x+1)-x/2=log4(4x+1)-log4(2x)=log4(4x+1)/2x g(x)=log4(a · 2x-4/3a)联立 log4(4x+1)/2x=log4(a · 2x-4/3a) (4x+1)/2x=a·2x-4/3a 不妨设t=2x t0t2+1/t=at-4/3at2+1=at2-4/3at(a-1)t2-4/3at-1=0设u(t)=(a-1)t2-4/3at-1两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根1.当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍)2.当=0时 a=3/4 或a=-3 a=3/4时 t= -1/20 （舍） a=-3时 t=1/2满足3.当一正根一负根时(a-1) × u(0)0 (根据根的分布)a1综上所述，得a=-3或a15.这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f²(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。2.对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x值有三个，即除x=2外另有两个关于x=2对称的x。f(x)不等于1时对应的x值有两个，即两个关于x=2对称的两个x。3.题意说f²(x)+bf(x)+c=0对应的x根有5个，显然满足f²(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x值，设为x1,x2,x3;另一个f（x）对应两个x,设为x4,x5;根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f（x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B6. 已知函数,f(x)的值域是0【1，+）.求关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件?函数图像是一个“W”字样两个V字的连接点落到坐标原点的形状，也就是两个“V”字加原点7. 定义域为R的偶函数f(x),当x>0时，f(x)=lnx-ax(a属于R)，方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解（1）求x<0时，函数f(x)的解析式(2)求实数a的取值范围(1)f(x)为偶函数，有一个大于零的解，则一定会有一个小于零的解和他对应，f(x)=0在R上有5个不同的实数解，则f(0)=0，f(x)在x >0时有两个解当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a0时，y=lnx , y=-ax在x >0时都单调增，则f(x)=lnx-ax 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时，f(x)=lnx 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a0时，f '(x)=1/x-a 当x=1/a时，f '(x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+)单调减,在x=1/a取到最大值 要f(x)在x >0时有两个解,只要f(1/a)0，即ln(1/a)1,1/ae,得a1/e综上,a(0,1/e)8.定义域为R的偶函数f（x），当x0时，f（x）=lnx-ax（aR），方程f（x）=0在R上恰有5个不同的实数解（1）求x0时，函数f（x）的解析式；（2）求实数a的取值范围解答：解：（1）设x0，则-x0f（x）为偶函数，f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax（2）f（x）为偶函数，f（x）=0的根关于原点对称由f（x）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根且两个正根和二个负根互为相反数原命题当x0时f（x）图象与x轴恰有两个不同的交点下面研究x0时的情况：f（x）=0的零点个数y=lnx与直线y=ax交点的个数当a0时，y=lnx递增与直线y=ax下降或与x轴重合，故交点的个数为1，不合题意，a0由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切之间的情形 设切点(t，lnt)k(lnx)|xt，切线方程为：ylnt(xt)由切线与y=ax重合知a，lnt1te，a，故实数a的取值范围为(0，)9.函数y=loga(2x-3)+的图像恒过定点P，P在幂函数f(x)的图像上，则f(9)=_ 解:由于 loga(1) 恒等于0，所以 P坐标为（2，），而P在幂函数的图像上，所以设这个函数为 f(x)=xa，则 =2a，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9(-1/2)=1/9=1/3。10.函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P，P在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=_解:P点坐标为（-1，2），与a无关而幂函数f(x)=bx要经过P点，则2=b-1，所以b=1/2所以f(2)=(1/2)2=1/411. 若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1）且在x属于【0，1】时 f（x）=x的平方，则关于x的方程f（x）=(1/10)的x的平方在0,10/3上的实数根有几个f(x1)=f(x1)，则函数f(x)的周期为2，可以作出函数f(x)的图像。另外设g(x)=(1/10)x²，利用图像，得出方程f(x)=g(x)的根有2个。12.已知偶函数f（x）满足f（x1）=f（x-1），且x0,1，f（x）=（x-1）²，则f（7/2）=解:由f(x+1)=f(x-1) 则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)=f(1/2)=(1/2-1)²=1/413.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x+1（1）求函数f(x)的解析式，作出函数的图象。（2）写出单调区间，并求出函数f(x)的值域 解：（1）根据题意，当x0时，-x0， f(x)=-f(-x)=-2(-x) +1=-1-(1/2)x x0时,f(x)=1+2xx0时，f(x)=-1-(1/2)x(2)递增区间是(-，0)和(0,+)x0时，f(x)(0,2) x0时，f(x)(-2,0)f(x)的值域是(-2,0）(0,2）图像14.题目：设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)-g(x)=x²-3x+1,求f(x)和g(x)的解析式f(x)-g(x)=x²-3x+1f(-x)-g(-x)=（-x）²-3（-x）+1=-f(x)-g(x)【根据两个可得】解上述两个方程得f(x)=-3x g(x)=-x²-115.已知f（x)是定义在R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)的值为？解：g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)f(2011)=g(2012)f(2013)=g(-2012)f（2011）+f（2013）=016.若函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=_”解:f(x)+g(x)=1/（x1） （1）f(-x)+g(-x)=-1/（x+1） （2）由f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1） （3）（1）和（3）相加则有2f(x)=-1/（x1）-1/（x+1）则f(x)=1/(x2-1)17.函数f(x)对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x>0时,f(x)>3(1).求证:f(x)在R上是增函数(2).若f(3)=6,解不等式f(a2-3a-9)<4(1).证明：任取x1,x2,且x1<x2,x2-x1>0, f(x2-x1)>3,f(x2)= f(x2-x1)+x1= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+f(x2-x1)-3>f(x1),对任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数。(2)由f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=f(1)+f(1)-3+f(1)-3=3f(1)-6=6,得f(1)=4,f(a2-3a-9)<f(1),f(x)在R上为增函数，a2-3a-9<1,即(a-5)(a+2)<0,解得-2<a<5 , 解集为（-2,5）18.若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2属于R，都有f（x1x2）f（x1）f（x2）1成立，且当x>0时，f（x）>1.(1) 求证：f（x）1f（-x）10；(2)证：f(x)是R上的增函数(1)证明：令x1=x，x2=0 f(x)=f(0)+f(x)-1 即f(0)=1又令x1=x，x2=-x 则f(0)=f(x)+f(-x)-1又f(0)=1 f(x)+f(-x)=2 f（x）1f（-x）10 (2)证明：设 x1<x2,则x2-x1>0f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1当x>0时，f（x）>1 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1>1（注：已知条件）即是f(x2)+f(-x1)>2又f(x)+f(-x)=2（注：已证明） f(x2)+2-f(x1)>2 整理得：f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)f(x2)在实数R上，存在有任意x1<x2,f(x1)<f(2) f(x)是R上的增函数 19.设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y属于R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时有f(x)>1,且f(3)=41.求f(1),f(4)的值2.判断并证明f(X)的单调性3.若关于x的不等式f(ax-1)<f(f(4)x)的解集中最大的整数为2，求实数a的取值范围用代就行了解：（1）令x=y=1可得f（1+1）=f（1）+ f（1）1 令x=1 y=2可得f（1+2）= f（1）+f（2）1 已知f(3)=4 联立上式得f（1）=2 令x=1 y=3得f（1+3）= f（1）+ f(3)1=5（2）令y=1 带入已知的f（x+1）=f（x）+f（1）1 移项得f（x+1）f（x）=1 所以函数f（x）为增函数（3）由（2）知函数f（x）为增函数，所以有ax-1f（4）x 由题意知不等式（a-5）x-10的解集为x3（因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x3，这里你要想明白） 所以问题可以转化为对任意的x3都有（a-5）x-10 成立 令函数f（x）=（a-5）x-1 要满足任意的x3都有 f（x）0 当a0时，只要函数为增函数且f（3）0就行 有a-5 0 且 f（3）0推出 5 a当a=5时，f（x）=1，显然f（x）0的解集不是x3，不合题意。综上a的取值范围为5 a.- 4 -_
