高考数学专题复习：分类讨论思想.doc

_For personal use only in study and research; not for commercial use分类讨论思想1分类讨论的常见情形（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c0，a=0， a0，a0解法是不同的.（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.2分类的原则（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3分类讨论的一般步骤第一，明确讨论对象，确定对象的范围；第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论.4. 分类讨论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.经典例题透析类型一：不等式中的字母讨论1、（2010·山东）若对于任意，恒成立，则a的取值范围是_.思路点拨：依据式子的特点，进行整理，分子分母同除以x.解析：对一切恒成立，在R+上的最大值.而 .当且仅当 即 x=1时等取号. .举一反三：【变式1】解关于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式为: ，（下面按两个根与的大小关系分类）（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；（1）当，即时，不等式的解集为：；（2）当，即或时，不等式的解集为：；综上所述，原不等式的解集为：当或时，；当时，；当或时，.【变式2】解关于的不等式:.解析：（1）当时，不等式为, 解集为；（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论： 即时，方程有两根 . 则原不等式的解为. 即时，方程没有实根， 此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为. 即时，方程有两相等实根为， 则原不等式的解为.（3）当时，恒成立，即时，方程有两根 . 此时，为开口向下的抛物线， 故原不等式的解集为.综上所述，原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 ；当时，解集为.类型二：函数中的分类讨论2、设为实数，记函数的最大值为，（）设，求的取值范围，并把表示为的函数；（）求；（）试求满足的所有实数.解析：（I）， 要使有意义，必须且，即 ，且 的取值范围是 ， 由得：， ，（II）由题意知即为函数，的最大值，时，直线是抛物线的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段， 由知在上单调递增，故；（2）当时，有=2；（3）当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，若即时，若即时，综上所述，有=（III）当时，； 当时， ， 故当时，； 当时，由知：，故； 当时，故或，从而有或， 要使，必须有，即， 此时， 综上所述，满足的所有实数为：或.举一反三：【变式1】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+)上恒有f(x)<3，求函数f(x).解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x(-1，+)时，f(x)>3，不满足题意；(2)当，则，此时，x(-1，+)时， 即f(x)<3，满足题意为所求.综上，.【变式2】已知函数有最大值2，求实数的取值.解析：令，则().(1)当即时， 解得:或（舍）；(2)当即时，, 解得:或（舍）；(3)当即时，解得（全都舍去）.综上，当或时，能使函数的最大值为2.3、已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）求在区间上的最小值.解析：（1）函数的定义域为（0，+） 对求导数，得 解不等式，得0xe 解不等式，得xe 故在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减（2）当2ae时，即时，由（1）知在（0，e）上单调递增， 所以 当ae时，由（1）知在（e，+）上单调递减， 所以 当时，需比较与的大小 因为 所以，若，则，此时 若2ae，则，此时 综上，当0a2时，；当a2时总结升华：对于函数问题，定义域要首先考虑，而（）中比较大小时，作差应该是非常有效的方法.举一反三：【变式1】设，（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+）上的单调性；（2）记f(x)在0<x1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式.解析：（1）设0<x1<x2<+ 则f(x2)-f(x1)= 由题设x2-x1>0，ax1·x2>0 当0<x1<x2时，f(x2)-f(x1)<0， 即f(x2)<f(x1)，则f(x)在区间0，单调递减， 当<x1<x2<+时，f(x2)-f(x1)>0， 即f(x2)>f(x1)，则f(x)在区间（，+）单调递增.（2）因为0<x1，由（1）的结论， 当0<1即a1时，g(a)=f()=2-; 当>1，即0<a<1时，g(a)=f(1)=a 综上，所求的函数y=g(a).【变式2】求函数在上的值域.解析：令，则(1)当0a1时， 0xa，f(x)0(只有a=1且x=1时f(x)=0) f(x)在0,a上单增，从而，值域为；(2)当a>1时， 0xa，f(x)在单增，在上单减， 并且，值域为；(3)当-1a<0时， 0x|a|，f(x)在0,|a|上递减 从而即，值域为(4)当a<-1时， 0x|a|，f(x)在单减，在上单增， ，又， ，值域为.类型三：数列4、数列an的前n项和为Sn，已知Sn是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.解析：设等比数列Sn的公比为q，则q>0q=1时，Sn=S1=a1当n=1时，a2=0，即当n2时，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，即(2)q1时，Sn=S1·qn-1=a1·qn-1当n=1时，即.当n2时，an=Sn-Sn-1=a1·qn-1-a1·qn-2=a1·qn-2(q-1)此时q>1时，0<q<1时，.总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q1两种情况进行讨论.举一反三：【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,（其中a0）的前n项和Sn.解析：数列的通项 an=an-1+an+a2n-2讨论：（1）当a=1时，an=n，Sn=1+2+n=（2）当a=-1时，（3）当a±1且a0时， .【变式2】设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:.解析：（1）当q=1时，Sn=na1，从而，（2）当q1时， 从而 由（1）（2）得:. 函数为单调递减函数. .【变式3】已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.()求q的值；()设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解析：()由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,a10，2q2-q-1=0，或，()若q=1，则当n2时，若当n2时，故对于nN+，当2n9时，Sn>bn；当n=10时，Sn=bn；当n11时，Sn<bn.【变式4】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且kN*，k2。（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；（2）若数列的首项a1=13，且满足，求数列 及的通项公式；（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。解析：（1）依题意：， ， 数列是首项为1，公差为5的等差数列。（2），（3）令， 则当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因， 而， 所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为18。类型四：解析几何5、已知椭圆C的方程为，点P（a,b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程.（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.思路点拨：本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识.解析：（1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）. 当x1x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b 由已知， y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及，得 点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0 当x1=x2时，l平行于y轴， 因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0）， 显然Q点的坐标满足方程. 综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0. 设方程所表示的曲线为L， 则由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0 由于=8b2(a2+-1)，由已知a2+1 所以当a2+=1时，=0， 曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）. 当a2+<1时<0，曲线L与椭圆无交点， 而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上， 所以曲线L在椭圆C内. 故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.（2）由，解得或， 又由，解得或， 则当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点. 曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0) 当a=0且0<|b|时, 即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时, 点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0) 当b=0且0<|a|1时， 即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时, 曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0). 当0<|a|<1且0<|b|<时, 即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时, 曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.举一反三：【变式1】讨论k的取值，说明方程表示的曲线.解析：方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线，故需要对k值就以上情况分类讨论.当k2=0即k=0时，方程化为，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线.当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0) 斜率不存在的两平行直线.当k2=2k-1,即k=1时，方程化为，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆当k0，k1时方程可化为当方程表示焦点在平行y轴直线上，中心在的椭圆当时，方程表示以为中心，焦点在x轴上的双曲线.【变式2】已知圆x2+y2=1和双曲线(x-1)2-y2=1，直线l与双曲线交于不同两点A、B，且线段AB的中点恰是l与圆相切的切点，求直线l的方程.解析：当l斜率不存在时，由对称性可知：l方程为x=-1当l斜率存在时设l方程为y=kx+b由l与圆相切l方程代入双曲线整理得(1-k2)x2-2(kb+1)x-b2=0 (1-k20)，>0设A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中点为M，由ABOM，整理得k2+1+2kb=0将k2+1=b2代入b2+2bk=0,b(b+2k)=0b0，否则l过原点与圆不相切b=-2k，解方程组得经检验>0l的方程为x=-1或.4.在数列中，其中0求数列的前项和解析：数列的通项公式和前项和的求解，是高考中考查的一个重点内容，对于它们的解决要掌握一些方法。答案：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和27_ 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。  , , . For personal use only in study and research; 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