计算方法复习与思考.doc
_第一章 误差一、填空题：1、误差一般有四种类型，但在计算方法中主要讨论的是_ 和 。2、模型的准确解与用数值方法求得的解之差称为 。3、若=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是 ；相对误差限是 。4、若=315.46是x的具有五位有效数字的近似值，那么它的误差限是 ；相对误差限是 。5、设x>0,x的相对误差限为，那么lnx的绝对误差限为 。6、设x的相对误差为%，那么的相对误差限为 。二、选择题：1、以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为的是 。A.-2.20 B.0.2200 C.0.01234 D.-12.342、数值x*=2.197224577的六位有效数字的近似值x= 。A.2.19723 B.2.19722 C.2.19720 D.2.1972253、已知自然数e=2.718281828459045，取e2.71828，那么e具有的有效数字是 。A.5位 B.6位 C.7位 D.8位三、计算题：（注意事项）四、证明题：（误差、误差限与有效数字位的关系）第二章 插值法与数值微分内容：典型题例：一、 选择题1、过点两点的线性插值基函数满足 。 A. B. C. D.2、下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满足的条件是 。 A. B.P(x)在a,b上连续C. P(x)在各子区间上是线性函数D.P(x)在各节点处可导3、区间a,b上的三次样条插值函数是 。 A.在a,b上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次多项式； B.在a,b上连续的函数； C.在a,b上每点可微的函数； D.在每个子区间上可微的多项式。 二、填空题：1、如果设，则在（0，1），（1，4），（2，9），（3，16）四点对使用牛顿插值，则插值函数为 ；如果设，那么 ； 。2、如果设，则在（0，-5），（1，-6），（-1，-2），（-2，3）四点对使用牛顿插值，则插值函数为 ；如果设，那么 ； 。3、在Hermite插值中，在这个点上构造的两个插值基函数为_ 和 ，在这个点上构造的两个插值基函数为： 和 。4、若过三个点作二次插值多项式，并取，则微商 ；其截断误差分别为： ， ， 。5、设在区间a,b上取n+1个节点，给定这些点上的函数值，若要构造一个三次样条插值函数，则必须满足条件：（1） ；(2)在每个小区间上是一个 次多项式；（3） 。三、计算题1、取节点，对函数分别使用拉格朗日插值法、牛顿插值法产生二次插值多项式。2、设，在x=100,121,144三处的值很容易求得的，试以这三点建立的二次拉格朗日型和牛顿型插值多项式。3、取节点，对函数分别使用拉格朗日、牛顿插值法产生二次插值多项式。四、证明题：如：2.2，2.4第三章 数据拟合法一、填空题：1、数据拟合法的具体方法是：使用 原理，建立 方程组。2、在数据拟合中，经验函数，它不能通过变量替换化成直线，但可作变换 ，就化为包含两个自变量的数据拟合。3、数据拟合法总是在一组选定的基函数上构造基函数的线性组合，并从这个组合函数类中对给定数据找出最好的拟合曲线。例如：线性拟合，则是在基函数 上构造一次函数类，找出对给定数据拟合最好的直线方程；多项式拟合，则是在基函数 上构造m次多项式。二、计算题：1、利用最小二乘原理，用下列数据拟合一线性方程： x-0.4-0.200.20.4y0.7745970.8944271.00001.0954451.1832162、用一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合： x1925313844y19.032.349.073.397.8 3、 用一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合： x-0.4-0.200.20.4y1.07701.01981.00001.01981.07704、用一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合：（书上例题、习题）第五章 数值积分一、选择题：1、有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的。 A.1 B.3 C.5 D.72、已知等距节点的牛顿-科茨求积公式，那么 。 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：1、牛顿-科茨求积公式，那么 。2、在数值积分的计算公式中，梯形求积公式的代数精度为 ；抛物线求积公式的代数精度为 ；而的代数精度为 。3、使求积公式具有_ 次的代数精度，则称该求积公式是高斯求积公式。三、 计算题：1、使用梯形公式、抛物线公式和n=4的牛顿-科茨公式，计算定积分：。2、 使用梯形公式、抛物线公式和n=4的牛顿-科茨公式，计算定积分：。3、 计算积分：，要求保证有5位有效数字，问若用复化梯形求积公式，n应取多少？若用复化抛物线求积公式计算，n又应取多少？。四、证明题：1、证明：当n为偶数时，牛顿-科茨求积公式的代数精度可以达到n+1。2、在区间-1，1上对求积分，使用求积公式： （1） 求解， ，使它的代数精度最大；（2） 并证明求积公式的代数精度。3、确定求积公式的参数， ，使它的代数精度尽可能高，并证明其代数精度。第六章 解线性方程组的直接方法一、选择题：1、用选主元的方法解线性方程组AX=b，是为了 。 A.提高计算速度 B.增加有效数字C.减少舍入误差 D.方便计算2、高斯消去法解线性方程组，能进行到底的充分必要条件是 。 A.系数矩阵各阶顺序主子式不为零； B.系数矩阵主对角元素不为零； C.系数矩阵各阶主子式不为零； D.系数矩阵各列元素不为零。 二、填空题：1、用高斯消去法解n阶线性方程组总共需要的乘除法运算是_次。2、当A是 矩阵时，存在一个实的非奇异的下三角矩阵L使A=LLT且当限定L的对角线元素为正时，这种分解是唯一的。3、用列主元素法解线性方程组，第1次消元，选择的主元为 。解方程组：如1、用高斯消去法解下面的方程组：2、使用全主元素法解下面的方程组：3、用LU分解法解下面的方程组：第十章 非线性方程及非线性方程组解法一、选择题：1、用对分区间法求方程在区间2，3内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是 。 A.2，3 B.2，2.5 C.2.5，3 D.2.5，3.52、用对分区间法求方程f(x)=0在区间a,b上的根，那么对分有限区间的次数n 。 A.只与函数f(x)有关； B.只与误差限有关； C.与有根区间的长度、误差以及函数f(x)有关； D.只与有根区间的长度以及误差限有关。3、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，将方程f(x)=0表示成，则f(x)=0的根是 。A.y=x与的交点；B.y=x与x轴的交点的横坐标；C.与x轴的交点的横坐标；D. y=x与交点的横坐标。 4、用简单迭代法解方程（称为迭代函数），迭代函数在有根区间满足 ，则在有根区间内任取初始值x0，用公式所得的解序列收敛。A. B. C. D. 5、用牛顿法求方程f(x)=0的近似根，选择初始值x0应满足 。A. B. C. D. 二、填空题：1、牛顿法是由选取的初值x0处作函数f(x)的切线，用切线与 的交点来近似代替f(x)与x轴的交点。2、利用迭代法求解非线性方程的根，就初始值的选取来说，对分区间法属于 收敛方法；牛顿法属于 收敛法。三、 非线性方程求根题：如1、给定绝对误差限=0.05，如果用对分区间法求方程在区间0，1内的近似根，需对分区间多少次？并求满足条件的近似根。a=0,b=1,=0.05，则对分区间的次数为： 取n=4.即对分区间4次。 对分区间的计算过程如下表： xf(x)存在根的区间0-111.12（0，1）0.50.3307（0，0.5）0.25-0.28662（0.25，0.5）0.3750.814639（0.25，0.375）0.3125-0.1219（0.3125，0.375）所以 所求根为 2、 试用牛顿法求，写出它的迭代公式，并证明其收敛性（a为大于0的常数）。3、试用牛顿法求方程在区间1，4上的根，写出它的迭代公式，并证明产生的迭代序列收敛。12_
