高二数学《不等式的证明》习题(含答案).doc
_高二数学同步测试不等式的证明班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则（ ）ABC D2综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的（ ）A必要条件B充分条件C充要条件D必要或充分条件3在， ，其中正确的个数是 （ ）A0 B1C2D34下列函数中最小值是2的是 （ ） A BC D×5设，则x，y的大小是 （ ）A.BCD与m，n的取值有关 6已知a、b、m是正实数，则不等式（ ）A当a> b时成立B当a< b时成立C是否成立与m有关D一定成立7如果正数满足，那么 （ ），且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值不唯一，且等号成立时的取值不唯一8在中，a,b,c分别是所对应的边，则的取值范围是（ ） A（1,2） B C D9定义，其中是内一点，、分别是、的面积，已知中，则的最小值是 （ ）A8 B9 C16 D18 10设的最值情况是（ ）A有最大值2，最小值 B有最大值2，最小值0C有最大值10，最小值 D最值不存在一、 选择题答案12345678910二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11若a、b、c、dR，且有，则abcd的取值范围是 _12若，则函数的最小值是 _.13若的大小关系是_14某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以公里小时的速度匀速直达灾区，已知某市到灾区公路线长400公里，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于公里，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是_小时（车身长不计）15实数_，y=_三、解答题（本大题共6题，共75分）16（12分）已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证： 17（12分）已知A =, B = x + 1, 当x 1时，试比较A与B的大小, 并说明你的理由. 18（12分）已知，且 求证： 19（12分）证明：当时，不等式成立。要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。 请你根据、的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。20（13分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？喷水器喷水器 21（14分）已知二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点，若，且时， (1)试比较与c的大小； (2)证明： 高二数学同步测试不等式的证明参考答案一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ABCDABACDA二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11 12 13 1412 15. 1，2，1三、解答题（本大题共6题，共75分）16（12分）证明：左右=2（ab+bcac） a，b，c成等比数列， 又a，b，c都是正数，所以 17（12分）解析 A B = =， 由 > 0得x < 1或1 < x < 2 当x < 1或1 < x < 2时, A > B； 当 1< x < 1或x > 2时, A < B； 当x = 1或x = 2时, A = B18（12分）证法一：（比较法） 即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法） 因为显然成立，所以原不等式成立 点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设，则 由a+b=1，得，于是有所以， 这与矛盾 所以证法五：（放缩法） 左边右边 点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法）， 所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立 点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故19（12分）解：（1）证：,1，0， 原不等式成立 （2）a-1与a5-1同号对任何a0且a¹1恒成立，上述不等式的条件可放宽为且 （3）根据（1）（2）的证明，可推知：若0且，mn0，则有 证：左式-右式= 若a1，则由mn0Þam-n0,am+n0Þ不等式成立； 若0a1，则由mn0Þ0am-n1, 0am+n1Þ不等式成立.20（13分）解：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界。依题意得：，（）问题转化为在，的条件下，求的最大值。法一：，由和及得：法二：，=当，即，由可解得：。答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求。21（14分）(1)解：由已知的图象与x轴有两个不同的公共点，知有两个不同的实数根、，又由，且，知的两个根就是和c ，2分如果，由，知，即，4分而当0 < < c时，这与是的根矛盾，所以7分(2)证：，.又，9分，ac > 0，于是，故.11分又的图象的对称轴为，且的两根为c和，且，故14分7_
