高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.2条件概率讲义含解析湘教版选修2-3.doc

_1_82.2条件概率 读教材读教材填要点填要点 1 1条件概率条件概率设设A A，B B是事件是事件，且且P P( (A A)0)0，以后总是用以后总是用P P( (B B| |A A) )表示在已知表示在已知A A发生的条件下发生的条件下B B发生的条件概率发生的条件概率，简称简称条件概率条件概率2 2条件概率的计算公式条件概率的计算公式如果如果P P( (A A)0)0，则，则P P( (B B| |A A) )错误错误!. .3 3条件概率的性质条件概率的性质P P( (B B| |A A) )0,10,1如果如果B B与与C C为两个互斥事件，则为两个互斥事件，则P P( (B BC C| |A A) )P P( (B B| |A A) )P P( (C C| |A A) ) 小问题小问题大思维大思维 1 1P P( (B B| |A A) )P P( (A AB B) )吗？吗？提示：事件提示：事件( (B B| |A A) )是指在事件是指在事件A A发生的条件下，发生的条件下，事件事件B B发生，而事件发生，而事件A AB B是指事件是指事件A A与事件与事件B B同时同时发生，故发生，故P P( (B B| |A A) )P P( (A AB B) )2 2P P( (B B| |A A) )和和P P( (A A| |B B) )相同吗？相同吗？提示提示：P P( (B B| |A A) )是指在事件是指在事件A A发生的条件下发生的条件下，事事件件B B发生的概率发生的概率， 而而P P( (A A| |B B) )是指在事是指在事件件B B发生的条件下发生的条件下，_2_事件事件A A发生的概率，因此发生的概率，因此P P( (B B| |A A) )和和P P( (A A| |B B) )不同不同条件概率条件概率的计算的计算 例例 11在在 5 5 道题中有道题中有 3 3 道理科题和道理科题和 2 2 道文科道文科题如果不放回地依次抽取题如果不放回地依次抽取 2 2 道题，求：道题，求：(1)(1)第第 1 1 次抽到理科题的概率；次抽到理科题的概率；(2)(2)第第 1 1 次和第次和第 2 2 次都抽到理科题的概率；次都抽到理科题的概率；(3)(3)在第在第 1 1 次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的条件下，第 2 2 次抽到次抽到理科题的概率理科题的概率 解解 设第设第 1 1 次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件A A，第，第 2 2 次抽次抽到理科题为事件到理科题为事件B B，则第，则第 1 1 次和第次和第 2 2 次都抽到理科题次都抽到理科题为事件为事件A AB B. .(1)(1)从从 5 5 道题中不放回地依次抽取道题中不放回地依次抽取 2 2 道题的基本道题的基本事件总数为事件总数为 A A2 25 520.20.事件事件A A所含基本事件的总数为所含基本事件的总数为 A A1 13 3A A1 14 412.12.故故P P( (A A) )121220203 35 5. .(2)(2)因为事件因为事件A AB B含含 A A2 23 36 6 个基本事件个基本事件所以所以P P( (A AB B) )6 620203 31010. ._3_(3)(3)法一：由法一：由(1)(1)、(2)(2)可得，在第可得，在第 1 1 次抽到理科次抽到理科题的条件下，第题的条件下，第 2 2 次抽到理科题的概率为次抽到理科题的概率为P P( (B B| |A A) )错误错误!3 310103 35 51 12 2. .法二：因为事件法二：因为事件A AB B含含 6 6 个基本事件，事件个基本事件，事件A A含含 1212 个基本事件，所以个基本事件，所以P P( (B B| |A A) )6 612121 12 2. .条件概率的计算方法有两种：条件概率的计算方法有两种：(1)(1)利用定义计算，先分别计算概率利用定义计算，先分别计算概率P P( (A AB B) )和和P P( (A A) )，然后代入公式，然后代入公式P P( (B B| |A A) )错误错误!. .(2)(2)利用缩小样本空间计算利用缩小样本空间计算( (局限在古典概型局限在古典概型内内) )，即将原来的样本空间即将原来的样本空间缩小为已知的事件缩小为已知的事件A A，原原来的事来的事件件B B缩小缩小为为ABAB， 利用古典概型计算概率利用古典概型计算概率：P P( (B B| |A A) )错误错误!. .1 1抛掷红、蓝两颗骰子，设事件抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A A为为“蓝色骰蓝色骰子的点数为子的点数为 3 3 或或 6 6”，事件，事件B B为为“两颗骰子的点数之两颗骰子的点数之和大于和大于 8 8”(1)(1)求求P P( (A A) )，P P( (B B) )，P P( (A AB B) )；(2)(2)当已知蓝色骰子的点数为当已知蓝色骰子的点数为 3 3 或或 6 6 时，问两颗时，问两颗_4_骰子的点数之和大于骰子的点数之和大于 8 8 的概率为多少？的概率为多少？解解：(1)(1)设设x x为掷红骰子得的点数为掷红骰子得的点数，y y为掷蓝骰子为掷蓝骰子得的点数得的点数，则所有可能的事件为则所有可能的事件为( (x x，y y) )，建立一一对建立一一对应的关系，由题意作图如图应的关系，由题意作图如图显然：显然：P P( (A A) )121236361 13 3，P P( (B B) )101036365 51818，P P( (A AB B) )5 53636. .(2)(2)法一：法一：P P( (B B| |A A) )错误错误!5 51212. .法二：法二：P P( (B B| |A A) )错误错误!5 536361 13 35 51212. .条件概率条件概率的应用的应用 例例 22在一个袋子中装有在一个袋子中装有 1010 个球个球， 设有设有 1 1 个红个红球球，2 2 个黄球个黄球，3 3 个黑球个黑球，4 4 个白球个白球，从中依次摸从中依次摸 2 2 个个球球，求在第一个球是红球的条件下求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球第二个球是黄球或黑球的概率或黑球的概率 解解 法一法一：设设“摸出第一个球为红球摸出第一个球为红球”为事为事件件_5_A A，“摸出第二个球为黄球摸出第二个球为黄球”为事件为事件B B，“摸出第二个摸出第二个球为黑球球为黑球”为事件为事件C C，则则P P( (A A) )1 11010，P P( (ABAB) )1 12 210109 91 14545，P P( (ACAC) )1 13 310109 91 13030. .P P( (B B| |A A) )错误错误!1 145451 11010101045452 29 9，P P( (C C| |A A) )错误错误!1 130301 110101 13 3. .P P( (B BC C| |A A) )P P( (B B| |A A) )P P( (C C| |A A) )2 29 91 13 35 59 9. .所求的条件概率为所求的条件概率为5 59 9. .法二法二： n n( (A A) )1 1C C1 19 99 9，n n( (B BC C| |A A) )C C1 12 2C C1 13 35 5，P P( (B BC C| |A A) )5 59 9. .所求的条件概率为所求的条件概率为5 59 9. ._6_利用公式利用公式P P( (B BC C| |A A) )P P( (B B| |A A) )P P( (C C| |A A) )可使条件可使条件概率的计算较为简单概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提但应注意这个性质的使用前提是是“B B与与C C互斥互斥”2 2在某次考试中，要从在某次考试中，要从 2020 道题中随机地抽出道题中随机地抽出 6 6道题道题，若考生至少能答对其中的若考生至少能答对其中的 4 4 道题即可通过道题即可通过；若若至少能答对其中至少能答对其中 5 5 道题就获得优秀道题就获得优秀，已知某考生能答已知某考生能答对其中对其中 1010 道题道题，并且知道他在这次考试中已经通过并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率求他获得优秀成绩的概率解解：设事件设事件A A为为“该考生该考生 6 6 道题全答对道题全答对”，事事件件B B为为“该考生答对了其中该考生答对了其中 5 5 道题，另一道答错道题，另一道答错”，事，事件件C C为为“该考生答对了其中该考生答对了其中 4 4 道题，而另道题，而另 2 2 道题答道题答错错”，事件事件D D为为“该考生在这次考试中通过该考生在这次考试中通过”，事事件件E E为为“该考生考试中获得优秀该考生考试中获得优秀”，则，则A A、B B、C C两两互两两互斥，且斥，且D DA AB BC C，E EA AB B，由古典概型的概率公，由古典概型的概率公式及加法公式可知式及加法公式可知P P( (D D) )P P( (A AB BC C) )P P( (A A) )P P( (B B) )P P( (C C) )C C6 61010C C6 62020C C5 51010C C1 11010C C6 62020C C4 41010C C2 21010C C6 620201212 180180C C6 62020，P P( (A AD D) )P P( (A A) )，P P( (B BD D) )P P( (B B) )，P P( (E E| |D D) )P P( (A AB B| |D D) )P P( (A A| |D D) )P P( (B B| |D D) )_7_错误错误!错误错误!210210C C6 620201212 180180C C6 620202 2 520520C C6 620201212 180180C C6 6202013135858. .故所求的概率为故所求的概率为13135858. .解题解题高手高手妙解妙解题题盒子里装有盒子里装有 1616 个球，其中个球，其中 6 6 个是玻璃球，个是玻璃球，1010 个个是木质球，玻璃球中有是木质球，玻璃球中有 2 2 个是红球，个是红球，4 4 个是蓝球；木个是蓝球；木质球中质球中有有3 3个是红球个是红球， 7 7个是蓝球个是蓝球 现从中任取一个现从中任取一个( (假假设每个球被取到是等可能的设每个球被取到是等可能的) )是蓝球，问该球是玻璃是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？球的概率是多少？ 尝试尝试 巧思巧思 本题数据较多本题数据较多，关系有点复杂关系有点复杂，可采用可采用列表方法理顺关系列表方法理顺关系，这样不仅过程简单这样不仅过程简单，同时还能快同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率 妙解妙解 设事件设事件A A：“任取一个球任取一个球，是玻璃球是玻璃球”；事件事件B B：“任取一球，是蓝球任取一球，是蓝球”由题中数据可列表由题中数据可列表如下：如下：_8_红红球球蓝蓝球球小小计计玻璃玻璃球球2 24 46 6木质木质球球3 37 71010小计小计5 511111616由表知，由表知，P P( (B B) )11111616，P P( (A AB B) )4 41616，故所求事件的概率为故所求事件的概率为P P( (A A| |B B) )错误错误!4 41616111116164 41111. .1 1 若若P P( (A A) )3 34 4，P P( (B B| |A A) )1 12 2， 则则P P( (A AB B) )等于等于( () )A.A.2 23 3B.B.3 38 8C.C.1 13 3D.D.5 58 8解析：选解析：选 B B利用条件概率的乘法公式求解利用条件概率的乘法公式求解P P( (A AB B) )P P( (A A) )P P( (B B| |A A) )3 34 41 12 23 38 8. ._9_2 2用用“0 0”“”“1 1”“”“2 2”组成的三位数码组中组成的三位数码组中，若若用用A A表示表示“第二位数字为第二位数字为 0 0”的事件，用的事件，用B B表示表示“第第一位数字为一位数字为 0 0”的事件，则的事件，则P P( (A A| |B B) )( () )A.A.1 12 2B.B.1 13 3C.C.1 14 4D.D.1 18 8解析：选解析：选 B BP P( (B B) )3 33 33 33 33 31 13 3，P P( (ABAB) )3 33 33 33 31 19 9，P P( (A A| |B B) )错误错误!1 13 3，故选，故选 B.B.3 3从从 1,2,3,4,51,2,3,4,5 中任取中任取 2 2 个不同的数，事件个不同的数，事件A A：“取到的取到的 2 2 个数之和为偶数个数之和为偶数”，事件，事件B B：“取到的取到的 2 2个数均为偶数个数均为偶数”，则，则P P( (B B| |A A) )等于等于( () )A.A.1 18 8B.B.1 14 4C.C.2 25 5D.D.1 12 2解析：选解析：选 B BP P( (A A) )C C2 23 3C C2 22 2C C2 25 52 25 5，P P( (ABAB) )C C2 22 2C C2 25 51 11010，_10_由条件概率的计算公式得由条件概率的计算公式得P P( (B B| |A A) )错误错误!1 110102 25 51 14 4. .4 4若若P P( (A A) )3 31010，P P( (B B) )4 41010，P P( (A AB B) )1 11010，则则P P( (A A| |B B) )_，P P( (B B| |A A) )_._.解析：解析：P P( (A A| |B B) )错误错误!1 14 4，P P( (B B| |A A) )错误错误!1 13 3. .答案：答案：1 14 41 13 35.5.如图如图，EFGHEFGH是以是以O O为圆心为圆心，半径为半径为 1 1 的圆的内的圆的内接正方形接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内将一颗豆子随机地扔到该圆内，用用A A表示表示事件事件“豆子落在正方形豆子落在正方形EFGHEFGH内内”，B B表示事件表示事件“豆子豆子落在扇形落在扇形OHEOHE( (阴影部分阴影部分) )内内”，则，则(1)(1)P P( (A A) )_；(2)(2)P P( (B B| |A A) )_._.解析：圆的面积是解析：圆的面积是，正方形的面积是，正方形的面积是 2 2，扇形，扇形的面积是的面积是4 4，根据几何概型的概率计算公式得，根据几何概型的概率计算公式得P P( (A A) )_11_2 2，根据条件概率的公式得，根据条件概率的公式得P P( (B B| |A A) )错误错误!1 12 22 21 14 4. .答案：答案：(1)(1)2 2(2)(2)1 14 46 6某校高三某校高三(1)(1)班有学生班有学生 4040 人，其中共青团人，其中共青团员员1515 人人全班平均分成全班平均分成 4 4 个小组个小组，其中第一组有共青团其中第一组有共青团员员 4 4 人从该班任选一人作学生代表人从该班任选一人作学生代表(1)(1)求选到的是第一组的学生的概率；求选到的是第一组的学生的概率；(2)(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率的概率解：解：设事件设事件A A表示表示“选到第一组学生选到第一组学生”，事件事件B B表示表示“选到共青团员选到共青团员”(1)(1)由题意，由题意，P P( (A A) )101040401 14 4. .(2)(2)法一：要求的是在事件法一：要求的是在事件B B发生的条件下，事发生的条件下，事件件A A发生的条件概率发生的条件概率P P( (A A| |B B) )不难理解不难理解，在事件在事件B B发发生的条件下生的条件下( (即以所选到的学生是共青团员为前提即以所选到的学生是共青团员为前提) )，有有 1515 种不同的选择，其中属于第一组的有种不同的选择，其中属于第一组的有 4 4 种选种选_12_择因此，择因此，P P( (A A| |B B) )4 41515. .法二：法二：P P( (B B) )151540403 38 8，P P( (ABAB) )4 440401 11010，P P( (A A| |B B) )错误错误!4 41515. .一、选择题一、选择题1 1设设P P( (A A| |B B) )P P( (B B| |A A) )1 12 2，P P( (A A) )1 13 3，则则P P( (B B) )等等于于( () )A.A.1 12 2B.B.1 13 3C.C.1 14 4D.D.1 16 6解析：选解析：选 B BP P( (A AB B) )P P( (A A) )P P( (B B| |A A) )1 13 31 12 21 16 6，由由P P( (A A| |B B) )错误错误!，得，得P P( (B B) )错误错误!1 16 62 21 13 3. .2 24 4 张奖券中只有一张能中奖张奖券中只有一张能中奖，现分别由现分别由 4 4 名同名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( () )_13_A.A.1 14 4B.B.1 13 3C.C.1 12 2D D1 1解析：选解析：选 B B设第一名同学没有抽到中奖券为事设第一名同学没有抽到中奖券为事件件A A，最后一名同学抽到中奖券为事件，最后一名同学抽到中奖券为事件B B，则则P P( (B B| |A A) )错误错误!1 13 3. .3 3某地区空气质量监测资料表明，一天的空气某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是质量为优良的概率是 0.750.75， 连续两天为优良的概率连续两天为优良的概率是是0.60.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是气质量为优良的概率是( () )A A0.80.8B B0.750.75C C0.60.6D D0.450.45解析解析：选选 A A根据条件概率公式根据条件概率公式P P( (B B| |A A) )错误错误!，可可得所求概率为得所求概率为0.60.60.750.750.8.0.8.4 4从混有从混有 5 5 张假钞的张假钞的 2020 张百元钞票中任意抽张百元钞票中任意抽出出2 2 张，将其中张，将其中 1 1 张放到验钞机上检验发现是假钞，则张放到验钞机上检验发现是假钞，则第第 2 2 张也是假钞的概率为张也是假钞的概率为( () )_14_A.A.1 11919B.B.17173838C.C.4 41919D.D.2 21717解析：选解析：选 D D设事件设事件A A表示表示“抽到抽到 2 2 张都是假张都是假钞钞”，事件，事件B B为为“2 2 张中至少有一张假钞张中至少有一张假钞”，所以，所以为为P P( (A A| |B B).).而而P P( (ABAB) )C C2 25 5C C2 220201 11919，P P( (B B) )C C2 25 5C C1 15 5C C1 11515C C2 2202017173838. .P P( (A A| |B B) )错误错误!2 21717. .二、填空题二、填空题5 5有一批种子的发芽率为有一批种子的发芽率为 0.90.9，出芽后的幼苗成出芽后的幼苗成活率为活率为 0.80.8，在这批种子中，随机抽取，在这批种子中，随机抽取 1 1 粒，则这粒粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为种子能长成幼苗的概率为_解析：记解析：记“种子发芽种子发芽”为事件为事件A A，“种子长成幼种子长成幼苗苗”为事件为事件ABAB( (发芽发芽，又成活又成活) )，出芽后的幼苗成活率出芽后的幼苗成活率为为P P( (B B| |A A) ) 0.80.8 ， 又， 又P P( (A A) ) 0.9.0.9. 故故P P( (ABAB) ) P P( (B B| |A A) )P P( (A A) )0.72.0.72.答案：答案：0.720.726 66 6 位同学参加百米短跑比赛位同学参加百米短跑比赛，赛场共有赛场共有 6 6 条跑条跑_15_道道，已知甲同学排在第一跑道已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑则乙同学排在第二跑道的概率是道的概率是_解析解析： 甲排在第一跑道甲排在第一跑道， 其他同学共有其他同学共有 A A5 55 5种排法种排法，乙排在第二跑道共有乙排在第二跑道共有 A A4 44 4种排法种排法，所以所求概率为所以所求概率为A A4 44 4A A5 55 51 15 5. .答案：答案：1 15 57 7 100100 件产品中有件产品中有 5 5 件次品件次品， 不放回地抽取两次不放回地抽取两次，每次抽每次抽 1 1 件件，已知第一次抽出的是次品已知第一次抽出的是次品，则第则第 2 2 次抽次抽出正品的概率为出正品的概率为_解析：设解析：设“第一次抽到次品第一次抽到次品”为事件为事件A A，“第二第二次抽到正品次抽到正品”为事件为事件B B，则则P P( (A A) )5 51001001 12020，P P( (ABAB) )C C1 15 5C C1 19595A A2 21001001919396396，所以所以P P( (B B| |A A) )错误错误!95959999. .答案：答案：959599998 8抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记A A 出出_16_现的点数为奇数现的点数为奇数 1,3,51,3,5，B B 出现的点数不超出现的点数不超过过331,2,31,2,3若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过 3 3，则出现的则出现的点数是奇数的概率为点数是奇数的概率为_解析：由题意知解析：由题意知n n( (B B) )3 3，n n( (A AB B) )2 2，故在出，故在出现的点数不超过现的点数不超过 3 3 的条件下的条件下，出现的点数是奇数的概出现的点数是奇数的概率为率为P P( (A A| |B B) )错误错误!2 23 3. .答案：答案：2 23 3三、解答题三、解答题9 9一个盒子中有一个盒子中有 6 6 只好晶体管，只好晶体管，4 4 只坏晶体管只坏晶体管，任取两次任取两次，每次取一只每次取一只，每一次取后不放回每一次取后不放回若已知若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率第一只是好的，求第二只也是好的概率解解： 令令A A 第第 1 1 只是好的只是好的 ，B B 第第 2 2 只是好的只是好的 ，法一：法一：n n( (A A) )C C1 16 6C C1 19 9，n n( (ABAB) )C C1 16 6C C1 15 5，故故P P( (B B| |A A) )错误错误!C C1 16 6C C1 15 5C C1 16 6C C1 19 95 59 9. .法二法二：因事件因事件A A已发生已发生( (已知已知) )，故我们只研究事故我们只研究事件件B B发生便可发生便可，在在A A发生的条件下发生的条件下，盒中仅剩盒中仅剩 9 9 只晶只晶_17_体管，其中体管，其中 5 5 只好的，所以只好的，所以P P( (B B| |A A) )C C1 15 5C C1 19 95 59 9. .1010一袋中装有一袋中装有 6 6 个黑球，个黑球，4 4 个白球如果不放个白球如果不放回地依次取出回地依次取出 2 2 个球求：个球求：(1)(1)第第 1 1 次取到黑球的概率；次取到黑球的概率；(2)(2)第第 1 1 次和第次和第 2 2 次都取到黑球的概率；次都取到黑球的概率；(3)(3)在第在第 1 1 次取到黑球的条件下，第次取到黑球的条件下，第 2 2 次又取到次又取到黑球的概率黑球的概率解：设第解：设第 1 1 次取到黑球为事件次取到黑球为事件A A，第，第 2 2 次取到黑次取到黑球为事件球为事件B B，则第，则第 1 1 次和第次和第 2 2 次都取到黑球为事次都取到黑球为事件件A AB B. .(1)(1)从袋中不放回地依次取出从袋中不放回地依次取出 2 2 个球的事件数为个球的事件数为n n( () )A A2 2101090.90.根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理，n n( (A A) )A A1 16 6A A1 19 954.54.于是于是P P( (A A) )错误错误!545490903 35 5. .(2)(2)因为因为n n( (A AB B) )A A2 26 630.30.所以所以P P( (A AB B) )错误错误!303090901 13 3. .(3)(3)法一：由法一：由(1)(2)(1)(2)可得，在第可得，在第 1 1 次取到黑球的次取到黑球的条件下，条件下，_18_第第 2 2 次取到黑球的概率为次取到黑球的概率为P P( (B B| |A A) )错误错误!1 13 33 35 55 59 9. .法二：因为法二：因为n n( (A AB B) )3030，n n( (A A) )5454，所以，所以P P( (B B| |A A) )错误错误!303054545 59 9. .