《流体力学》复习提纲20111023.doc

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流流体力学复习提纲20111023【精品文档】第 30 页流体力学复习提纲学习重点四个基本：基本概念（术语）、基本原理（方法）、基本方程（公式）、基本计算（应用）复习思考题；自测题；习题第一章 绪论基本要求v 理解流体的主要物理性质，特别是粘滞性和牛顿内摩擦定律；v 理解连续介质假设和流体质点的概念；v 理解理想流体和实际流体、可压缩流体和不可压缩流体的概念；v 掌握作用在流体上的质量力、表面力的概念和表示方法。1-1 流体力学的任务及其发展简史1、流体力学的主要研究内容流体在外力作用下，静止与运动的规律；流体与边界的相互作用。流体力学研究流体的宏观运动规律，是宏观力学的一个独特分支。2、流体力学的研究方法和数学方法（1）研究方法：理论分析（Theoretical analysis）；实验研究（Experimental study）；数值模拟（Numerical simulation）。（2）数学方法（Mathematical method）：矢量分析(vector analysis)；场论（Field theory）。1-2 流体的主要物理力学性质（力学模型）1、流体的基本特性 流动性流体（气体和液体）区别于固体的主要物理特性是易于流动。流体几乎不能承受拉力，没有抵抗拉伸变形的能力。流体能承受压力，具有抵抗压缩变形的能力。流体不能承受集中力，只能承受分布力。运动流体具有抵抗剪切变形的能力，这种抵抗体现在限制剪切变形的速率而不是大小上，这就是流体的粘滞性。流体在静止时不能承受剪切力、抵抗剪切变形。流体只有在运动状态下，当流体质点之间有相对运动时，才能抵抗剪切变形。只要有剪切力的作用，流体就不会静止下来，发生连续变形而流动。作用在流体上的剪切力不论多么微小，只要有足够的时间，便能产生任意大的变形。2、流体质点概念和连续介质假设（1）流体质点概念宏观（流体力学处理问题的尺度）上看，流体质点足够小，只占据一个空间几何点，体积趋于零。微观（分子自由程的尺度）上看，流体质点是一个足够大的分子团，包含了足够多的流体分子，以致于对这些分子行为的统计平均值将是稳定的，作为表征流体物理特性和运动要素的物理量就定义在流体质点上。（2）理解流体质点概念的含义流体质点宏观尺寸充分小，微观尺寸足够大。流体质点是构成流体的最小单元。流体可以看成是由相互之间无任何间隙的大量的流体质点所组成。由流体质点的性质，便引出连续介质的概念。（3）流体微团流体中任意小的微元，包含了大量流体质点，当微元体积充分小并以某坐标点为极限时，流体微团就成为处于这个坐标点上的流体质点。流体微团的概念在流体力学中有着重要价值。（4）连续介质假设连续介质假设将流体区域看成由流体质点连续组成，占满空间而没有间隙，其物理特性和运动要素在空间是连续分布的，在流场中每一个流体质点都对应于一个空间点。连续介质假设是近似的、宏观的假设，连续介质概念的提出来自数学上的要求，它为建立流场的概念奠定了基础，也为数学工具（微积分、场论）的应用提供了依据，使用该假设的力学统称为“连续介质力学”。除了个别情形外，在流体力学中使用连续介质假设（即把流体可看成是连续介质）是合理的，实验已经证明基于连续介质假设而建立起来的流体力学理论是正确的。3、流体的粘滞性（1）流体粘性概念的表述运动流体具有抵抗剪切变形的能力，就是粘滞性，这种抵抗体现在剪切变形的快慢（速率）上。发生相对运动的流体质点（或流层）之间所呈现的内摩擦力以抵抗剪切变形（发生相对运动）的物理特性称为流体的黏性或黏滞性。黏性是指发生相对运动时流体内部呈现的内摩擦力特性。在剪切变形中，流体内部出现成对的切应力，称为内摩擦应力，来抵抗相邻两层流体之间的相对运动。粘性是流体的固有属性。但理想流体分子间无引力，故没有黏性；静止的流体因为没有相对运动而不表现出黏性。（2）牛顿内摩擦定律切应力剪切（角）变形速率：(，能否说明是理想流体？静止的粘性流体)动力粘度系数（，动力学量纲）；运动黏度（，运动学量纲），。当温度升高时，液体的粘性降低，而气体的粘性增大。牛顿内摩擦定律适用条件：一维、层流、牛顿流体。应用牛顿内摩擦定律的相关计算：平移和旋转缝隙内的剪切流动。牛顿流体与非牛顿流体4、理想流体假设理想流体假设是忽略粘性影响的假设，可近似反映粘性作用不大的实际流动，粘性作用不大是相对于其它因素的作用而言的。忽略粘性影响实际上就是忽略切应力，由于m是流体的客观属性，所以往往是在变形速率不大的区域将实际流体简化为理想流体。理想流体假设给流体问题的处理带来很大的方便，可以大大简化理论分析过程。5、流体的压缩性和膨胀性（Compressibility & Expansibility）（1）压缩性定义为流体的体积随压力的增大而变小的特性。用体积压缩系数或体积弹性模数表示。体积压缩性系数：；体积弹性模数：。E 越大，越不易被压缩。（2）膨胀性通常称热膨胀性，是指在压强不变的情况下，流体体积随温度升高而增大的特性。可用体积膨胀系数单位温度的体积相对变化率表示。体积膨胀系数：。越大，越易膨胀。（3）与液体相比，气体通常具有显著的压缩性和膨胀性。6、不可压缩流体假设不可压缩流体同样是流体力学中的重要假设模型之一。为研究问题方便，规定等温条件下，压缩系数和体积膨胀系数等于零的流体为不可压缩流体，即忽略不可压缩流体假设忽略压缩性和膨胀性。对于不可压缩流体有：，。在绝大多数情况下，不可压缩流体的密度为常数。从严格意义上来说，只有不可压缩、均质流体的密度才为常数。一般情况下可将液体看作不可压缩流体，只有在某些特殊情况下，如水下爆炸、水击、热水采暖等问题时，才必须考虑压缩性和膨胀性。尽管气体的压缩性和膨胀性比较显著，但当气流速度远小于音速时，密度变化不大，仍可采用不可压缩流体假设。7、液体的表面张力特性（1）表面张力由于分子间引力作用，在液体的自由表面上产生极其微小的拉力，称为表面张力。表面张力只发生在液体与气体、固体或者与另一种不相混合的液体的界面上。表面张力的作用使液体表面有尽量缩小的趋势，从而使表面积最小。表面张力现象是常见的自然现象，如水滴和气泡的形成、液体的雾化，毛细管现象等。表面张力的大小用液体表面上单位长度所受拉力来度量，用表面张力系数s 表示。表面张力方向垂直长度方向，沿着自由表面切向。表面张力很小，例如水在200C时的表面张力为0.0728N/m，一般可以不予考虑。但在液面曲率半径很小时，表面张力有时可达到不可忽略的程度。（2）毛细管现象将直径很小两端开口的细管竖直插入液体中，由于表面张力的作用，管中的液面会发生上升或下降的现象，称为毛细管现象。毛细管现象中液面究竟上升还是下降，取决于液体与管壁分子间的吸引力（附着力）与液体分子间的吸引力（内聚力）之间大小的比较：附着力>内聚力，液面上升；附着力<内聚力，液面下降。由液体重量与表面张力的铅垂分量相平衡，确定毛细管中液面升降高度，。为减小毛细管现象引起误差，测压用的玻璃管内径应不小于10mm。1-3 作用在流体上的力流体不能承受集中力，只能承受分布力。分布力按表现形式又分为：质量力、表面力。1、质量力(mass force，body force)质量力是指作用在隔离体内每个流体质点上的力，其大小与流体质量成正比。对均质流体也称为体积力。质量力是一种远程力。最常见的质量力是重力(Gravity)、惯性力（Iinertia force）。单位质量力（即单位质量流体所承受的质量力）矢：，单位质量力具有加速度的单位（m/s2）。当质量力仅为重力时，在直角坐标系中（z轴向上）：。2、表面力表面力是指作用在隔离体表面上的力，其大小与受力作用的表面面积成正比。表面力是相邻流体或其他物体对隔离体作用的结果。表面力分布在流体面上，是一种接触力。常见的表面力有压力（法向力）、切向力、表面张力(surface tension)。定义表面力的面积密度，即单位面积上流体所承受的表面力为应力(N/m2，Pa)，。应力是矢量，可分解成法向应力（或）和切应力（）。凡谈及应力，应注意明确以下四个要素：² 哪一点的应力（空间位置）作用点；² 哪个方位作用面（一般用作用面的法线方向表征）上的应力作用面；² 作用面的哪一侧流体是研究对象（表面力的受体），从而决定法线的指向受力侧；² 应力在哪个方向上的分量作用方向。附：流体力学课程中使用的单位制一些重要物理量的数值（见第一章课件）。第二章 流体静力学基本要求v 掌握流体静压强的概念及其特性，掌握流体静压强的计测和表示方法；v 掌握流体平衡微分方程，了解流体的绝对和相对平衡；v 熟练进行重力场中静止流体压强分布和平面与曲面上静水总压力计算。² 流体静力学(fluid statics)研究流体的平衡规律，由平衡条件求静压强分布，并求静水总压力。² 静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯性系中的绝对静止或非惯性系中的相对静止的情况，流体质点之间均没有相对运动，因此粘性将不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流体是实际流体还是理想流体。2-1 流体静压强特性1、流体静压强的两个基本特性静压强作用的垂向性：静止流体的应力只有内法向分量静压强（静止流体内的压应力）。静压强的各向等值性：静压强的大小与作用面的方位无关静压强是标量函数。2、静压强场静止流体的应力状态只须用一个静压强标量场来描述，有了这个静压强场，即可知道在任意一个作用点、以任意方位为法向的面元上的应力为：。2-2 流体平衡微分方程1、平衡微分方程的推导：静止流体中取微元体各坐标方向微元体受力分析（质量力、表面力）列各坐标方向的受力平衡方程。2、平衡微分方程欧拉平衡方程（1775）（1）分量形式： （2）矢量形式： 其中：，。（3）全微分（标量）形式：或3、平衡微分方程的物理意义（1）静压强场的梯度的三个分量是压强在三个坐标轴方向的方向导数，它反映了标量场在空间上的不均匀性(inhomogeneity)。（2）流体的平衡微分方程实质上反映了静止（平衡）流体中质量力和压差力之间的平衡。（3）静压强对流体受力的影响是通过压差来体现的。4、有势力场中的静压强在有势力场（如重力场）中，存在质量力势函数，其全微分等于单位质量力所作的功：质量力势函数表示单位质量流体的势能，称为质量力势能。2-3 重力场中液体的平衡1、重力作用下的平衡方程 z轴铅垂向上，流体均质、不可压缩（认为密度近似为常数）。2、静压强分布规律或为自由液面以下的深度，。重力场中连通的同种静止液体中：压强随位置高程z线性变化；等压面是水平面，与质量力（重力）垂直；测压管高度是常数。3、绝对压强、相对压强、真空（1）压强记值的零点（基准点）不同，有不同的名称：绝对压强：以完全真空为零点。相对压强（）：以当地大气压为零点。真空压强：相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。在液体指定以后高度也可度量压强，称为液柱高。特别地，将水柱高称为水头(head)。把真空压强转换成水柱高表示，称为真空度。4、位置水头、压强水头、测压管水头与能量守恒（1）位置水头：以任取水平面为基准面，铅垂向上为正。（2）压强水头：以大气压为基准，用相对压强代入计算。（3）测压管水头：在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。测压管内的静止液面上，其液面高程即为测点处的，所以叫测压管水头。测静压只须一根测压管。（4）各项水头也可理解成单位重量液体的能量：位置势能，压强势能，总势能。（5）液体的平衡规律表明：位置水头（势能）与压强水头（势能）可以互相转换，但它们之和 测压管水头（总势能）是保持不变的。5、测压原理（1）用测压管测量测压管的一端接大气，可得到测压管水头，再利用液体的平衡规律，可知连通的静止液体区域中任何一点的压强，包括测点处的压强。如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。（2）用比压计测量在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道的情况下，也可利用流体的平衡规律，知道其中任何二点的压差。尤其注意等压面的选取。注意：流体的平衡规律必须在连通的静止流体区域（如测压管中）应用，不能用到管道中去，因为管道中的流体可能是在流动的（动压强与静压强不同）。2-4 静止液体作用在物体表面上的总压力作用在物体表面A上的总压力：；完整的总压力求解包括其大小、方向、作用点。1、静止液体作用在平面上的总压力平行力系的合成：作用力垂直于作用面，指向沿作用面的内法线方向。静压强在平面上分布不均匀，沿铅垂方向呈线性分布。（1）压力图法求矩形平面上的静水总压力矩形平面单位宽度受到的静水总压力是压力分布图的面积。矩形平面受到的静水总压力通过压力分布图的形心。三角形压力分布图的形心距底。梯形压力分布图的形心距底。（2）分析法求任意形状平面上的静水总压力总压力的大小其中，作用面对x轴的静面矩。总压力的作用点D： 作用面对x轴的惯性矩；作用面对形心轴x0的惯性矩。结论：² 平面上静水压强的平均值为作用面（平面图形）形心处的压强。总压力大小等于作用面形心C处的压强乘上作用面的面积A。² 平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越大，所以总压力作用点位于作用面形心以下。2、静止液体作用在曲面上的总压力（1）静止液体作用在曲面上的总压力的计算由于曲面上各点的法向不同，对曲面A求解总压力时，必须先分解成各分量计算，然后再合成。 x方向水平力的大小其中：是曲面A 沿x轴向oyz平面的投影；是平面图形的形心C的浸深。结论：静止液体作用在曲面上的总压力在x方向分量的大小等于作用在曲面沿x轴方向的投影面上的总压力。 y方向水平力的大小y方向水平力大小的算法与x方向相同： z方向水平力的大小其中：是曲面A沿z轴向oxy平面的投影；称为压力体，是曲面A与之间的柱体体积。结论：静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大小等于压力体中装满此种液体的重量。总压力垂向分量的方向需根据压力体的情况判断。（2）压力体实压力体和虚压力体压力体应由曲面A 向上一直画到液面所在平面。压力体中，不见得装满了液体。实压力体 虚压力体（3）曲面上静水总压力的合成总压力各分量的大小已知，指向可以分别判断，总压力的大小和方向就确定了。特别地，当曲面是圆柱或球面的一部分时，总压力是汇交力系的合成，总压力必然通过圆心或球心。3、静止液体作用在物体上的总压力 浮力（1）阿基米德定律：静止液体作用在物体上总压力浮力的大小等于物体所排开液体的重量，方向铅垂向上，作用线通过物体被液体浸没部分体积的形心浮心。4、物体的沉浮设物体重量为G，浮力为F，有如下结论：当G >F 时，物体将下沉至水底沉体；当G <F 时，潜体将上浮而露出水面浮体。这样，物体排开液体的体积变小（浮力变小），直至重力等于浮力；当G = F 时，物体可以潜没于液体中，处于淹没平衡状态潜体。第三章 流体运动学基本要求v 了解描述流体运动的两种方法，建立以流场的观点描述流体运动的概念；v 掌握在欧拉法中质点导数和加速度的表示方法；v 理解流线和迹线的概念，掌握它们的微分方程及求解方法；v 了解流体微团速度分解定理，会判断流动是否有旋；v 掌握微元分析法，建立微分形式的连续方程，理解方程的物理意义。² 在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。² 流体运动学不涉及流动的动力学因素。² 连续性方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束。3-1 流体运动的描述方法1、拉格朗日法：着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程。以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的位移矢量为：，是拉格朗日变数，即 时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如，等。2、欧拉法：着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性。以研究流场中各个空间点上运动要素的变化情况作为基础，综合所有的空间点的情况，构成整个流体的运动。欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：，是空间点（场点）的位置坐标，称为欧拉变数。流速是在t时刻占据() 的那个流体质点的速度矢量。流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压强场等：，。如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间 t ，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。 欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。3、流体质点的加速度、质点导数速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质点，应该在拉格朗日观点下进行。若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数即可。求导时作为参数不变，意即跟定流体质点。若流场是用欧拉法描述的，流体质点加速度的求法必须特别注意：用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。跟定流体质点后，均随t变。矢量式：分量式：质点加速度=时变加速度(由流速随时间的不恒定性引起)+位变加速度(由流速在空间的不均匀性引起)3-2 有关流场的几个基本概念1、恒定流、非恒定流（定常流、非定常流）若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。否则，为非恒定流。恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。例如，恒定流的流速场：，。恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零。流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关,因此是相对的概念。2、迹线和流线（1）迹线定义：表示某一时刻流动方向的曲线。迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点相对应的概念。拉格朗日法中位移表达式即为迹线的参数方程。t是变数，是参数。在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数成为t的函数，所以迹线的微分方程为这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标（），它是t的函数。给定初始时刻质点的位置坐标，就可以积分得到迹线。（2）流线定义：某一流体质点在不同时刻占据的空间点的连线。流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于该曲线上的流体质点之速度矢量都和曲线相切。流线是与欧拉观点相对应的概念。利用流线可以形象化地描绘流场的空间分布情况。流线的微分方程为这是两个一阶常微分方程，其中t是参数（当常数看待）。可求解得到两族曲面，它们的交线就是流线族。流线的性质：除非流速为零或无穷大处，流线不能相交，也不能转折；在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在恒定流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。迹线和流线最基本的区别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应；而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。计算：已知速度场求流线和迹线方程(不能含有时间t)。（3）流动线条和流动显示流动线条包括四种：流线（streamline)、迹线(pathline)、烟线/脉线(streakline)、时线(timeline)烟线定义：由先后连续地经过同一场点的流体质点所组成的曲线。时线定义：由确定流体质点组成的流体线。流动往往靠流动线条来显示，而在实验中比较容易得到的流动线条是烟线和时线。3、流管和流量（1）流管、过流断面、元流和总流在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时刻过L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管。流管的性质：与流线一样，流管是瞬时概念，在对应瞬时，流体不可能通过流管表面流出或流入。过流断面：与流动方向正交的流管的横断面。过流断面为面积微元的流管叫元流管，其中的流动称为元流。过流断面为有限面积的流管中的流动叫总流。总流可看作无数个元流的集合。总流的过流断面一般为曲面。（2）体积流量、质量流量、断面平均流速（体积）流量Q：通过流场中某曲面A的流速通量 其物理意义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为体积流量，单位为m3/s。质量流量：单位为kg/s。流量计算公式中，曲面A的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。封闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。总流过流断面上的流速与法向一致，所以穿过过流断面A的流量大小为，其中为过流断面上某一点流速的大小。定义体积流量与断面面积之比为断面平均流速，它是过流断面上不均匀流速的一个平均值，假设过流断面上各点流速大小均等于，方向与实际流动方向相同，则通过的流量与实际流量相等。4、均匀流、非均匀流；渐变流、急变流（1）均匀流与非均匀流判别：根据位变加速度？例如，是均匀流。均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任何方向不变。后者是均匀流的一个特例。在实际流动中，经常会见到均匀流，如等截面的长直管道内的流动、断面形状不变，且水深不变的长直渠道内的流动等。恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。若总流为均匀流，其过流断面是平面。均匀流的这些运动学特性，给相关的动力学问题的处理带来便利，因此在分析流动时，应特别关注流动是否为均匀流的判别。（2）渐变流、急变流判别：根据是否接近均匀流？渐变流流线虽不平行，但夹角较小；流线虽有弯曲，但曲率较小。急变流流线间夹角较大；流线弯曲的曲率较大。渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定。5、流动按空间维数的分类：一维流动；二维流动（平面流动，轴对称流动）；三维流动。任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。二维流动流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。如：大展弦比机翼绕流： ，液体在圆截面管道中的流动：，一维流动流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动。如：。元流是严格的一维流动，空间曲线坐标沿着流线。在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间曲线坐标的值相当于指定总流的过流断面，但由于过流断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过流断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。注意：流动的维数(dimension)与流体速度的分量数不是一回事。6、系统和控制体由确定的流体质点组成的集合称为系统。系统在运动过程中，其空间位置、体积、形状都会随时间变化，但与外界无质量交换。有流体流过的固定不变的空间区域称为控制体，其边界叫控制面。不同的时刻控制体将被不同的系统所占据。站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。3-3 流动的质量守恒方程连续性方程² 连续性方程质量守恒定律对流体运动的一个基本约束。² 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即质点间不能有空隙。因此，净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。1、三维流动的连续性微分方程恒定流动的连续方程：极坐标中平面流动的连续方程： 或 2、不可压缩流体（）运动的连续性微分方程对于不可压缩流体的流动（不论恒定与否），连续方程均为：速度场的散度为零。速度场的散度： 流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。连续方程表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。3、恒定总流的连续性方程控制体：上游过流断面A1和下游过流断面A2之间的总流管。恒定条件下：² 总流管的形状、位置不随时间变化。² 总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，总流管内的流体质量也不随时间变化。² 没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个过流断面进出控制体。恒定总流连续方程通过恒定总流两个过流断面的质量流量相等。 或 均质不可压缩恒定总流连续方程通过恒定总流两个过流断面的体积流量相等。 或 或 对于不可压缩流体，根据连续方程，流线的疏密能够反映流速的大小。在流线谱中，流速的方向由流线的切线方向给出，而流线的疏密表示流速的大小，亦即流线密集的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须作相应变化。质量的总流入=质量的总流出。3-4 流体微团运动的分解² 考察和分析流体质点之间的相对位移和相对运动。² 涉及相对运动必须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。² 给出在同一时刻流体微团中任意两点速度之间的关系。² 分析流体微团的运动形式。1、亥姆霍兹速度分解定理流体微团中任意两点间速度关系的一般形式：流体的变形速率张量二阶对称张量：主对角线上三个元素是线变形速率，其余的是角变形速率。流体旋转角速度矢量，它恰是流速场的旋度矢量的一半。旋度 2、流体微团运动分析（1）以平面上的运动为例，解释和的含义，进而给出亥姆霍兹速度分解定理的物理意义，分析流体微团的运动。表示单位时间、x方向单位长度流体线段的伸长，即x方向的线变形速率。表示坐标面上流体直角减小速率的一半，也称为角变形速率。表示坐标面上两直角边旋转的平均速率，即直角平分线的旋转速率，也是直角顶点处流体平均旋转角速度矢量在轴上的分量。（2）亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义3、有旋流动和无旋流动判别：唯一的标准是看流速场是否满足旋度，写成分量形式为：有旋流动和无旋流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。要看流体微团在运动过程中是否绕自身轴旋转？作业：习题 3-3,4,5(1)(3)(10),6,9,11,12第四章 流体动力学基础基本要求v 了解理想流体运动方程（欧拉方程）的推导过程，知道不可压缩粘性流体运动方程（纳维斯托克斯方程），理解方程的物理意义；v 掌握理想流体运动方程 欧拉方程的伯努利积分及其成立的条件，并会应用伯努利积分；v 掌握流体运动的总流分析法，熟悉恒定总流条件下的连续方程、能量方程和动量方程，并能综合运用计算总流问题；v 知道基本平面势流的解及叠加原理。基本内容² 建立理想流体运动微分方程欧拉方程，介绍不可压缩粘性流体运动微分方程N-S方程。² 对理想流体运动微分方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。² 将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。² 引出无旋流动的速度势函数和不可压缩流体平面流动的流函数概念，讨论不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系（柯西-黎曼条件）以及求解势流问题的奇点叠加方法。4-1 流体运动微分方程1、运动理想流体的应力状态运动理想流体的应力只有法向应力动压强，它与静止流体（不论是理想流体还是粘性流体）的静压强在形式上相同运动理想流体动压强的大小与作用面方位无关（静止流体和运动理想流体中的四面体微元运动方程中的质量力（含惯性力）比起表面力均为高阶无穷小）。2、理想流体运动微分方程（欧拉方程）的建立取微元体，运用牛顿第二定律，对理想流体建立运动方程，描述动压强、质量力和流速之间的关系。欧拉方程矢量形式： 分量形式： 3、不可压缩粘性流体运动微分方程（纳维- 斯托克斯方程）运动粘性流体存在切应力，压应力与作用面的方位有关，但三个相互垂直的作用面上压应力之和与作用面的方位无关，它们的平均值定义为粘性流体的动压强。广义牛顿内摩擦定律假设应力与变形速率之间呈线性关系，在此基础上可建立不可压缩粘性流体运动微分方程纳维-斯托克斯（N-S）方程。N-S方程矢量形式 分量形式 其中：拉普拉斯算子，对跟随其后的量求调和量，如：4、流体动力学的定解问题控制流动的基本方程组：微分形式流体运动（N-S）方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：和，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。求解方法：只有在极少数简单流动的情况下，N-S方程才有解析解。而绝大部分流动都不能直接对N-S方程解析求解。因此，通常只能抓住问题的主要方面，在一些假设（如无粘假设、势流假设、减少维数等）条件的基础上对基本方程作相应的简化，才能进行进一步的解析处理。定解条件：初始条件是对非恒定流动指定初始时刻流场的速度和压强分布。边界条件是指运动方程的解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学条件。如常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。固壁条件理想流体的固壁条件称为可滑移条件，即流体不能穿越固壁，但可有切向相对运动，；粘性流体的固壁条件称为不可滑移条件，即附着在固壁上的流体质点与固壁不能有相对运动，。液体的自由表面动力学条件为自由表面上压强为常数（大气压）。5、理想流体运动微分方程（欧拉方程）的伯努利积分：理想、恒定、不可压、质量力有势运用运动微分方程求解各种流动问题时，需要对方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。这里限定在恒定条件下理想（不可压缩）流体运动方程沿流线的积分伯努利积分。伯努利积分：在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的值是一个常数。（流线常数）其中：W是力势函数，r 是不可压缩流体的密度。积分是在流线上进行的，不同的流线可以有各自的积分常数，称为流线常数。重力场中的伯努利积分伯努利方程对同一流线上任意两点1和2有： 4-2 实际流体的能量方程恒定总流的能量方程1、恒定元流的能量方程（1）伯努利方程的物理意义伯努利方程表示能量的平衡关系。伯努利积分： 单位重量流体所具有的位置势能（简称单位位置势能）；单位重量流体所具有的压强势能（简称单位压强势能）；单位重量流体所具有的总势能（简称单位总势能）；单位重量流体所具有的动能（简称单位动能）；单位重量流体所具有的总机械能（简称单位总机械能）。欧拉观点在理想流体的恒定流动中，位于同一条流线上任意两个流体质点的单位总机械能相等。拉格朗日观点在理想流体的恒定流动中，同一流体质点的单位总机械能保持不变。说明：² 总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。² 伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称为能量方程。² 伯努利方程在流线上成立，也可认为在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。² 伯努利方程可理解为：元流的任意两个过流断面的单位总机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过流断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各元流过流断面的总机械能（即能量流量）也相等。（2）伯努利方程的几何意义水头几何意义位置水头；压强水头；测压管水头；速度水头；总水头。水头线水头沿程变化的情况几何表示（3）元流能量方程的应用举例毕托管测速毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差速度水头，来测定流场中某点流速。实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。实际使用中，在测得，计算流速时，还要加上毕托管修正系数，即。2、恒定总流的能量方程（1）因总流是无数元流的累加，故理想流体恒定总流各过流断面上的能量流量相等。（2）为把总流能量方程的表达一维化，针对恒定均匀流（运动方程中只有重力、压差力和粘性力，无惯性力）恒定均匀流同一过流断面上各点的测压管水头相等，即同一过流断面上的测压管水头为常数。注：² 恒定均匀流的过流断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。² 只能在同一过流断面上应用上述结论，因为沿着流动方向动水压强分布不同于静水压强，导致不同过流断面上测压管水头可能是不同的常数。² 渐变流近似于均匀流，所以渐变流过流断面上的测压管水头可视为常数。² 急变流中同一过流断面上的测压管水头不是常数。于是，渐变流过流断面上测压管水头的积分速度水头的积分：引入断面平均流速和动能修正系数其中：，取决于断面上的流速分布，流速分布越均匀，越接近于1.0。（3）理想不可压缩流体恒定总流（流动无机械能损耗）能量方程的一维化表达注：上式中断面平均流速、动能修正系数和测压管水头的取值都是由所在过流断面唯一确定的，条件是过流断面应处于渐变流段中。（4）实际流体恒定总流的能量方程分析水力学问题最常用也是最重要的方程式恒定总流能量方程的几何表示水头线若测压管水头线在位置水头线以下，表示当地压