“隔板法”word精品文档3页.doc

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流“隔板法”【精品文档】第 3 页“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异， 方法灵活， 能力要求高， 对于相同元素有序分组问题， 采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔 板法来求解 ,下面通过典型例子加以解决。所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例 1、（ 1） 12 个相同的小球放入编号为1， 2， 3， 4 的盒子中，问不同放法有多少种？（ 2） 12 个相同的小球放入编号为1， 2， 3， 4 的盒子中，问每个盒子中至少有一 个小球的不同放法有多少种？（ 3）12 个相同的小球放入编号为1，2， 3， 4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子 中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153=455 种（ 2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。（ 3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩 2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种例 2、（ 1）方程 x1x2x3x410 的正整数解有多少组？(2)方程 x1x2x3x410 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x1x2x3x103 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个，有 C384 种，所以该方程有84 组正整数解。（ 2）转化为10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个， 进而转化为14 个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有 C3286 种， 所以该方程有286 组非负整数整数解。（ 3）当x10 时，转化为3 个相同的小球装入9 个不同的盒子，可以有空盒，有C3165种。当x11时，转化为1 个小球装入9 个不同的盒子，可以有空盒，有C9 =9 种；所以该方程有165+9=174 组非负整数整数解。例 3、已知集合，选择的两个非空子集A, B ，且 A 中最大的元素比B 中最小的元素小，则选择方法有多少种？解：由题意知A, B 的交集是空集， 且A, B 的并集是的子集 C ，所以 C 至少含有两个元素，将 C 中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给A ，后边的给B ， A, B 至少含有1 个元素， 设 C 中有 n 个元素， 则转化为 n 个相同的小球装入2 个不同的盒子，则有12314151Cn 种装法，故本题有C5C5 C2C5 C3C5 C449种选择方法。总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0 个时，向每组元素数目至少 一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。