数列通项公式奇数项偶数项分段的类型 .pdf
名师精编优秀资料数列通项公式奇数项偶数项分段的类型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师精编优秀资料例 76 数列 an的首项 a11，且对任意nN，an与 an1恰为方程x2bnx2n0 的两个根 . ()求数列 an 和数列 bn的通项公式；()求数列 bn 的前 n 项和 Sn. 解： ()由题意 nN*， an an12nan1 an2an an1an2an2n12n2(1 分) 又 a1 a22a11a22 a1，a3， a2n1是前项为a11 公比为 2 的等比数列，a2，a4， a2n是前项为 a2 2 公比为 2 的等比数列a2n12n1 a2n2n nN*即 an为偶数，为奇数，nnnn2221又 bnanan1当 n 为奇数时， bn2n122n123 2n12当 n 为偶数时， bn2n22n22 2n2bn为偶数，为奇数，nnnn2121223()Sn b1b2b3 bn当 n 为偶数时，Sn(b1b3 bn1)(b2 b4 bn) 33 2n21244 2n2127 2n27( 当 n 为奇数时，Snb1b2 bn1bnSn1bn10 2n127( Sn为偶数，为奇数，nnnn7277210221例 77 数列na的通项222(cossin)33nnnan，其前n项和为nS. (1) 求nS; (2) 3,4nnnSbn求数列nb的前 n 项和nT. 解: (1) 由于222cossincos333nnn, 故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师精编优秀资料312345632313222222222()()()1245(32)(31)(3 )(6 )(3 ) )222kkkkSaaaaaaaaakkk1331185(94)2222kkk, 3133(49 ),2kkkkkSSa2323131(49 )(31)1321,22236kkkkkkkSSak故1,3236(1)(13 ),316(34),36nnnknnSnknnnk (*kN) (2) 394,42 4nnnnSnbn21 132294,2444nnnT112294413,244nnnT两式相减得1232199199941941944313138,12444242214nnnnnnnnnnT故2321813.33 22nnnnT例 78 数列221221,2,(1cos)sin,1,2,3,.22nnnnnaaaaan满足()求34,aa并求数列na的通项公式；( )设21122,.nnnnnabSbbba证明：当162.nnSn时，.解:( )因为121,2,aa所以22311(1cos)sin12,22aaa22422(1 cos)sin24.aaa一般地，当*21(N )nkk时，222121(21)211cossin22kkkkaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师精编优秀资料211ka，即21211.kkaa所以数列21ka是首项为1、公差为1 的等差数列，因此21.kak当*2 (N )nk k时，22222222(1cos)sin2.22kkkkkaaa所以数列2ka是首项为2、公比为2 的等比数列，因此22 .kka故数列na的通项公式为*21,21(N ),22 ,2 (N ).nnnnkkank k()由()知，2122,2nnnanba23123,2222nnnS2241112322222nnnS-得，23111111.222222nnnnS211111( ) 1221.122212nnnnn所以11222.222nnnnnnS要证明当6n时，12nSn成立，只需证明当6n时，(2)12nn n成立 . 证法一(1)当 n = 6 时，66(62)48312644成立 . (2)假设当(6)nk k时不等式成立，即(2)1.2kk k则当 n=k+1 时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222 (2)(2) 2kkkkk kkkkkk kkk由(1)、 (2)所述，当n 6 时，2(1)12n n.即当 n6 时，12.nSn证法二令2(2)(6)2nn ncn，则21121(1)(3)(2)30.222nnnnnnn nncc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师精编优秀资料所以当6n时，1nncc.因此当6n时，66 831.644ncc于是当6n时，2(2)1.2n n综上所述，当6n时，12.nSn例 79 设m个不全相等的正数12,(7)ma aam依次围成一个圆圈（） 若2009m，且121 00 5,a aa是公差为d的等差数列， 而1200920081006,a aaa是公比为qd的等比数列；数列12,ma aa的前n项和()nSnm满足：320092007115,12SSSa，求通项()nanm；解：因1200920081006,a aaa是公比为d 的等比数列，从而22000120081,aa d aa d由2009200812008200911212SSaaaa得，故解得3d或4d（舍去）。因此3d又313315Sad。解得12a从而当1005n时，1(1)23(1)31naandnn当10062009n时，由1200920081006,a aaa是公比为d 的等比数列得2009 (1)201011(10062009)nnnaa da dn因此200931,10052 3,10062009nnnnan例 80 已知数列 错误！未找到引用源。中， 错误！未找到引用源。（1）求证：数列 错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。都是等比数列；（2）求数列 错误！未找到引用源。前错误！未找到引用源。的和 错误！未找到引用源。；（3）若数列 错误！未找到引用源。前错误！未找到引用源。的和为 错误！未找到引用源。 ，不等式 错误！未找到引用源。对错误！未找到引用源。恒成立，求 错误！未找到引用源。 的最大值。解：（ 1） 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。2 分数列 错误！未找到引用源。是以1 为首项， 错误！未找到引用源。为公比的等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师精编优秀资料比数列；数列 错误！未找到引用源。是以 错误！未找到引用源。为首项， 错误！未找到引用源。 为公比的等比数列。4 分（2）错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。9 分（3）错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。当且仅当 错误！未找到引用源。时取等号，所以错误！未找到引用源。 ，即 错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。的最大值为 48 例82. 在单调递增数列na中，11a，22a，且12212,nnnaaa成等差数列，22122,nnnaaa成等比数列，,3,2,1n（1）分别计算3a，5a和4a，6a的值；（2）求数列na的通项公式（将na用n表示）；（3）设数列1na的前n项和为nS，证明：24nnSn，*nN解：（ 1）由已知，得31222123aaa，292322234aaa，632922345aaa，829624256aaa（2）12212,nnnaaa成等差数列，122122nnnaaa，,3,2,1n；22122,nnnaaa成等比数列，nnnaaa221222，,3,2,1n又1313aa，2435aa，3557aa， ；4924aa，91646aa，162568aa，猜想nnaann21212，222212nnaann，*nN，以下用数学归纳法证明之当1n时，1211313112112aaaa，22412212112149aaaa，猜想成立；假设) 1(kkn时，猜想成立，即kkaakk21212，222212kkaakk，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师精编优秀资料那么1222212121222121212221232kkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaa1212411412212121212121212kkkkaaaaaaakkkkkkk12)1(11)2(2kkkk，222122222232222223222422kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa222222222222222122kkkkkkkkaaaaaaaa221)1(2)1(121122kkkkkk1kn时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的*nN，猜想成立32125232573513112nnnnnaaaaaaaaaaaa2) 1(1123524131nnnnnn，22268462422nnnaaaaaaaaaa2) 1(1453423222222nnn当n为奇数时，8)3)(1(212121nnnnan；当n为偶数时，8)2(21222nnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师精编优秀资料即数列na的通项公式为为偶数为奇数nnnnnan,8)2(,8)3)(1(2（3）由（ 2），得为偶数为奇数nnnnnan,)2(8,)3)(1(812显然，2114341111aS；当n为偶数时，2222)2(1)2(18186161641414218nnnSn)2(1)2(18618616416414214218nnnn2118161614141218nn2421218nnn；当n为奇数（3n）时，)3)(1(82)1()1(411nnnnaSSnnn24)3)(2)(1(8242)3)(1(211424nnnnnnnnnnnnnnn. 综上所述，24nnSn，*nN例 83 已知等比数列na的公比为q，首项为1a，其前n项的和为nS 数列2na的前n项的和为nA ， 数列1(1)nna的前n项的和为nB （1）若25A，21B，求 na的通项公式；（2）当n为奇数时，比较nnB S 与nA 的大小； 当n为 偶 数 时 ， 若1q， 问 是 否 存 在 常 数（ 与n 无 关 ） ， 使 得 等 式()0nnnBSA恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由解: (1) 25,A21B, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师精编优秀资料22211115,1,aa qaa q12,1,2aq或11,2.aq21()2nna，或12nna. ( 2) 222112()nnnnaaqaa常数，2111( 1)( 1)( 1)nnnnnnaaqaa=常数，数列2na，1(1)nna均为等比数列，首项分别为21a ，1a ，公比分别为2q ，q当n为奇数时，当1q时, 1nSna ，21nAna ，1nBa ,21nnnB SnaA . 当1q时, 1nSa ，21nAna ，1nBna , 21nnnB SnaA . 当1q时, 设21()nkkN，21121(1)1kkaqSq，2221221211121221()(1)(1)11kkkkaqaqqAqq，212111211()(1)11kkkaqaqBqq, 212121kkkBSA综上所述，当n为奇数时，nnnB SA . 当n为偶数时，存在常数121aq，使得等式()0nnnBSA恒成立1q，1(1)1nnaqSq，2212(1)1nnaqAq，1(1)1nnaqBq ()nnnBSA =221112(1)(1)(1)111nnnaqaqaqqqq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师精编优秀资料222211122(1)(1)(1)111nnnaqaqaqqqq21122(1)(1)11nnaqaqqq=11(1)2()11naqaqq由题设，11(1)2()011naqaqq对所有的偶数n 恒成立，又1(1)01naqq，121aq存在常数121aq，使得等式()0nnnBSA恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
