专题21.12一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典.docx

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.12一元二次方程的应用：面积与几何问题（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020秋开封期末）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米则可列方程为（）A32×2032x20x540B（32x）（20x）540C32x+20x540D（32x）（20x）+x2540【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（32x）（20x）540【解析】设道路的宽为x，根据题意得（32x）（20x）540故选：B2（2021杭州模拟）如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A（62x）（42x）2400B（62x）（42x）+x22400C62×4262x42x2400D62x+42x2400【分析】设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（62x）（42x）2400【解析】设道路的宽为x米，根据题意得（62x）（42x）2400故选：A3（2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A35×2035x20x+2x2600B35×2035x2×20x600C（352x）（20x）600D（35x）（202x）600【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（352x）米，宽为（20x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解析】依题意，得：（352x）（20x）600故选：C4（2019秋江津区期末）如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）A12x（55x）375B12x（552x）375Cx（552x）375Dx（55x）375【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC55且ADBC可得ADBC=55-x2米，再由长方形的面积公式可得答案【解析】设榣栏AB的长为x米，则ADBC=55-x2米，根据题意可得，12x（55x）375，故选：A5（2019秋诸城市期末）如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A3cmB4cmC4.8cmD5cm【分析】观察图形可知小长方形的长为（x+40-2x2）cm，根据去除阴影部分的面积为950cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】依题意，得：40×302x22x（x+40-2x2）950，整理，得：x2+20x1250，解得：x15，x225（不合题意，舍去）故选：D6（2020秋泗阳县期末）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（）A32×2020x30x540B32×2020x30xx2540C（32x）（20x）540D32×2020x30x+2x2540【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程解答即可【解析】设道路的宽为x，根据题意得（32x）（20x）540，故选：C7（2020秋济阳区期中）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A5000150x4704B5000150xx24704C5000150x+x22=4704D（100x）（50x）4704【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解析】依题意，得：（100x）（50x）4704，故选：D8（2019秋东昌府区期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A32x+2×20x2x2570B32x+2×20x32×20570C（322x）（20x）32×20570D（322x）（20x）570【分析】将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为xm，则草坪的长为（322x）m，宽为（20x）m，根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解析】设道路的宽为xm，则草坪的长为（322x）m，宽为（20x）m，根据题意得：（322x）（20x）570故选：D9（2020平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为x+2和x的矩形拼接成大正方形若四个矩形和中间小正方形的面积和为4×35+22，则根据题意能列出的方程是（）Ax2+2x350Bx2+2x+350Cx2+2x40Dx2+2x+40【分析】根据正方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，变形后即可得出结论【解析】依题意，得：（x+x+2）24×35+22，即x2+2x350故选：A10（2020秦皇岛一模）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2设小路的宽度为xm，则下列方程：（162x）（9x）120；16×99×2x（162x）x120；16×99×2x16x+x2120其中正确的是（）ABCD【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为162x，9x；那么根据题意即可得出方程【解析】设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为162x，9x；根据题意即可得出方程为：（162x）（9x）120，或16×99×2x（162x）x120故选：C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2020秋兴隆台区期末）如图，在宽为13m，长为24m的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为264m2，求道路宽为多少？设宽为xm，则列出的方程是（13x）（242x）264【分析】设宽为xm，剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程【解析】设宽为xm，（13x）（242x）264故答案为：（13x）（242x）26412（2020秋来宾期末）如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中ABCDEFGHxm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么x2m【分析】由同底等高的平行四边形的面积和矩形的面积相等，可得出种植花草部分可合成长为（402x）m，宽为（26x）m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论【解析】种植花草部分可合成长为（402x）m，宽为（26x）m的矩形，依题意得：（402x）（26x）864，整理得：x246x+880，解得：x12，x244（不合题意，舍去）故答案为：213（2020秋集贤县期末）如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：x235x+340【分析】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论【解析】设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×2020×2x30x+2xx532，整理，得：x235x+340故答案为：x235x+34014（2020山西）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒则剪去的正方形的边长为2cm【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可【解析】设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：2(x+b)=12a+2x=10ab=24，解得a102x，b6x，代入ab24中，得：（102x）（6x）24，整理得：x211x+180，解得x2或x9（舍去），答；剪去的正方形的边长为2cm故答案为：215（2020秋滨海县期中）如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒则剪去的正方形的边长为1cm【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（52x）cm，宽为（3x）cm，根据长方形铁盒的底面积是6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解析】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（52x）cm，宽为62-x（3x）cm，依题意得：（52x）（3x）6，整理得：2x211x+90，解得：x11，x2=92，当x1时，52x3，3x2，符合题意；当x=92时，52x40，不合题意，舍去故答案为：116（2020秋仪征市期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（402x）（302x）600【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（402x）cm，宽为（302x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（402x）cm，宽为（302x）cm的长方形，依题意，得：（402x）（302x）600故答案为：（402x）（302x）60017（2020秋天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB12cm，BC6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s【分析】设运动时间为xs（0x6），则PB（122x）cm，CQ（6x）cm，利用三角形面积的计算公式结合PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解析】设运动时间为xs（0x6），则PB（122x）cm，CQ（6x）cm，依题意，得：12（122x）（6x）16，整理，得：x212x+200，解得：x12，x210（不合题意，舍去）故答案为：218（2019春任城区期中）如图，在RtABC中，B90°，AB5，C30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点DE运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF则当t52时，四边形AEFD的面积是ABC面积的一半【分析】易证四边形AEFD为平行四边形，当点DE运动的时间是t秒时，CD2t，AEt，CF=3t，BFBCCF53-3t，根据四边形AEFD的面积是ABC面积的一半，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论【解析】C30°，AB5，DF=12CD，CF=32CD，BC=3AB53点E的速度为点D速度的一半，AE=12CDDF又B90°，DFBC，AEDF，四边形AEFD为平行四边形当点DE运动的时间是t秒时，CD2t，AEt，CF=3t，BFBCCF53-3t，依题意，得：AEBF=12×12ABBC，即t（53-3t）=12×12×5×53，整理，得：4t220t+250，解得：t1t2=52故答案为：52三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2020秋清江浦区期末）如图，有长为23m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5m的门如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少m？【分析】设AB的长为xm，则BC的长为（23+0.5×23x）m，根据花圃的面积为45m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论【解析】设AB的长为xm，则BC的长为（23+0.5×23x）m，依题意得：x（23+0.5×23x）45，整理得：x28x+150，解得：x13，x25当x3时，23+0.5×23x1510，不合题意，舍去；当x5时，23+0.5×23x910，符合题意答：AB的长为5m20（2021春栖霞区月考）为了提升小区形象，改善业主居住环境，开发商准备对小区进行绿化利用长度为64m的篱笆和一段小区围墙搭建如图所示的矩形花圃（接口忽略不计），花圃分为三块形状大小相同的矩形，分别用来种植不同的花卉则花圃的一边AB为多长时，花圃的面积为192m2【分析】设ABxm，则平行于墙的一边长为（644x）m，根据花圃的面积为192m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论【解析】设ABxm，则平行于墙的一边长为（644x）m，依题意得：（644x）x192，整理得：x216x+480，解得：x14，x212答：花圃的一边AB长为4m或12m时，花圃的面积为192m221（2020秋盐城期末）2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？【分析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（203x）m，宽为（82x）m的矩形，根据两块绿地的面积之和为102m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论【解析】设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（203x）m，宽为（82x）m的矩形，依题意得：（203x）（82x）102，整理得：3x232x+290，解得：x11，x2=293（不合题意，舍去）答：人行通道的宽度是1米22（2020秋同心县期末）“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米？【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，ABx米，则BC（102x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可【解析】设ABx米，则BC（9+12x）米，根据题意可得，x（102x）12，解得x13，x22，当x3时，AD45，当x2时，AD65，可利用的围墙长度仅有5米，AB的长为3米答：AB的长度为3米23（2020春越城区校级月考）如图，在ABC中，B90°，AB12cm，BC16cm点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为t秒（1）当t为何值时，PBQ的面积等于35cm2？（2）当t为何值时，PQ的长度等于82cm？（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止问：当t为何值时，PBQ的面积等于32cm2？【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再分三种情况，根据三角形的面积公式列方程即可【解析】根据题意知BPABAP12t，BQ2t（1）根据三角形的面积公式，得12PBBQ35，t（12t）35，t212t+350，解得t15，t27故当t为5或7时，PBQ的面积等于35cm2（2）设t秒后，PQ的长度等于82cm，根据勾股定理，得PQ2BP2+BQ2（12t）2+（2t）2128，5t224t+160，解得t1=45，t24故当t为45或4时，PQ的长度等于82cm（3）当0t8时，12PBBQ32，即12×2t×（12t）32，则t212t+320，解得t14，t28当8t12时，则CQ2t16，BQBCCQ16（2t16）322t，PB12t，则PBQ的面积=12PBBQ=12×（12t）×（322t）32，解得：t20或8（均舍去）；当12t16时，12PBBQ32，（16t）（t12）32，t228t+2240，2824×1×2241120，故方程无实数根综上所述，当t为4或8时，PBQ的面积等于32cm224（2012秋武进区期中）如图，ABC中，C90°，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动；（1）若P，Q两点同时出发，几秒后可使PQC的面积为8cm2？（2）若P，Q两点同时出发，几秒后PQ的长度为1255cm；（3）PCQ的面积能否等于ABC面积的一半？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由【分析】（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，APxcm，PC（6x）cm，CQ2xcm，此时PCQ的面积为：12×2x（6x），令该式8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）利用CP6x，则CQ2x，由勾股定理定理可得解；（3）ABC的面积的一半等于12×12×AC×BC12cm2，令12×2x（6x）12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在【解析】P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设CP6x，则CQ2x，（1）PQC的面积为8cm2，即12（6x）（2x）8，解得x2或4，故2秒或4秒后PQC的面积为8cm2；（2）PQ的长度为1255cm即（2x）2+（6x）2=1445，解得x1x21.2，故1.2秒后PQ的长度为1255cm（3）由题意得：SABC=12×ACBC=12×6×824，即：12×2x×（6x）=12×24，x26x+120，624×12120，该方程无实数解，所以，不存在使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半的时刻