专题24.11弧长及扇形的面积-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】.docx

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.11弧长及扇形的面积姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021南岗区校级一模）某扇形的圆心角为150°，其弧长为20cm，则此扇形的面积是（）A120cmB480cm2C240cm2D240cm2【分析】设扇形的半径为rcm，根据扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为207cm求出r的值，由扇形的面积公式即可得出结论【解析】设扇形的半径为rcm，扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20cm，150r180=20，解得r24 cm，S扇形=12×20×24240cm2故选：C2（2019杭州模拟）如图，点A，B，C在O上，若OB3，ABC60°，则劣弧AC的长为（）AB2C3D4【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理得到AOC2ABC120°，根据弧长的公式计算即可【解析】连接OA、OC，如图所示：则OAOAOB3，ABC60°，AOC2ABC120°，劣弧AC的长为120×3180=2；故选：B3（2021铁岭二模）如图，点A，B，C 在O上，O70°，AOBC，AO3，BC的长为（）A23B116C76D112【分析】根据平行线的性质，可以得到OBC的度数，然后根据OBOC，即可得到OCB的度数，从而可以求得BOC的度数，再根据弧长公式，即可求得BC的长【解析】连接OC，AOB70°，AOBC，AOBOBC70°，OBOC，OBCOCB70°，BOC40°，AO3，BC的长为：40××3180=23，故选：A4（2020秋云县校级期末）如图，已知AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，且BCD30°，CD43，则图中阴影部分的面积为（）A24B8343C4343D384【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，解直角三角形求出BC2BE，求出BE2，BC4，求出COB是等边三角形，求出OCOBBC4，再求出答案即可【解析】CDAB，AB过O，CD43，CEDE=12CD23，CEB90°，BCD30°，CBO90°BCD60°，BC2BE，由勾股定理得：BC2CE2+BE2，即（2BE）2（23）2+BE2，解得：BE2，BC4，CBO60°，OCOB，COB是等边三角形，OCOBBC4，阴影部分的面积SS扇形COBSCOB=60×4236012×4×23=8343，故选：B5（2019秋金坛区期中）如图，AB是O的直径，CD、EF是O的弦，且ABCDEFAB10，CD6，EF8，则图中阴影部分的面积等于（）A10B12C252D15【分析】连接DO并延长交O于点G，然后即可得到GCD90°，然后根据勾股定理可以得到CG的长，再根据图形，可知阴影部分的面积就是半圆的面积，然后代入数据计算即可解答本题【解析】连接DO并延长，交O于点G，则DCG90°，AB10，CD6，EF8，DG10，CG=GD2CD2=8，CGEF，连接OC、OE、OF，OEF的面积和BEF的面积相等，阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等，CGEF，扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等，阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，AB10，OA5，阴影部分的面积是：×52×12=252，故选：C6（2020秋松山区期末）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为4的“等边扇形”的面积为（）A4B8C8D4【分析】根据扇形的面积公式S=12lr，代入计算即可【解析】半径为4的“等边扇形”的面积为12×4×4=8，故选：B7（2020秋诸城市期中）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DEEF，若AD33，则CF的长为（）A94B34C64D【分析】连接AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到DAE45°，AE36，根据旋转变换的性质、弧长公式计算，得到答案【解析】连接AC、AF，由旋转的性质可知，BCEF，ABAE，DEEF，DEBCAD，在RtADE中，DEAD，DAE45°，AE=AD2+DE2=36，EAB90°45°45°，即旋转角为45°，FAC45°，在RtABC中，AC=AB2+BC2=(36)2+(33)2=9，CF的长=459180=94，故选：A8（2021上城区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC23，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则DE的长为（）A33BC233D3【分析】求出DAE的度数，再利用弧长计算公式求出即可【解析】由题意可知：AEADBC23，在RtABE中，sinAEB=ABAE=323=32，AEB60°，ADBC，AEBDAE60°，lDE=nr180=60×23180=233，故A、B、D错误，故选：C9（2021海曙区模拟）九章算术第一章“方田”中讲述了扇形面积的计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（）A323平方步B643平方步C120平方步D240平方步【分析】先求出扇形所在圆的半径，再根据扇形的面积公式求出答案即可【解析】扇形所在圆的直径是16步，扇形所在圆的半径是8步，弧长是30步，扇形的面积是12×8×30=120（平方步），即这块田面积为120平方步，故选：C10（2021金东区二模）如图，扇形AOB的圆心角是60°，半径是3，点C为弧AB的中点，过点C作CDOB交DA于点D，过点B作BEOA交DC延长线于点E，则图中阴影部分面积为（）A32B332C313D3+13【分析】连接OC，过C作CFOA交OB于F，作CHOB与H，求出CH和CF长，从图中可看出阴影部分的面积S四边形BECF，然后依面积公式计算即可【解析】连接OC，过C作CFOA交OB于F，作CHOB与H，点C为弧AB的中点，AOCBOC=12AOB=12×60°=30°，OC=3，HC=12OC=32，CFOA，CFBAOB60°，sin60°=HCCF，CF=3232=1，CDOB，BOCDCO，ODCD，CDOB，CFOA，四边形CDOF是菱形，OFODCF1，BFOBOF=31，OAOB，ADBF，S阴影S四边形BECFBFCH（31）×32=332故选：B11（2021龙湾区模拟）如图，在RtABC中，ACB90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F若CEDF=35，AC+BC15，则阴影部分的面积为（）A16B20C25D30【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积【解析】连接AF、BE，AC是直径，AFC90°BC是直径，CDB90°DFAB，四边形ABDF是矩形，ABDF，取AB的中的O，作OGCECEDF=35，设DF10k，CE6k，CG=12CE3k，OCOA5k，OG4K，AFBD4K，CFDE2K，AC=CF2+AF2=4k2+16k2=25kAC+BC15，25k+45k15，k=52，AC5，BC10，S阴影直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+SABC直径为AB的半圆的面积=12（AC2）2+12（BC2）2+12AC×BC12（AB2）2=18（AC）2+18（BC）218（AB）2+12AC×BC=18（AC2+BC2AB2）+12AC×BC=12AC×BC=12×5×1025故选：C二填空题（共7小题）12（2021合肥三模）如图，点A，B，C都在O上，若OB3，ABC30°，则劣弧AC的长为【分析】连接OA，OC利用弧长公式计算即可【解析】连接OA，OCAOC2ABC60°，AC的长=603180=，故答案为：13（2021莆田模拟）如果一个扇形的圆心角为90°，弧长为，那么该扇形的半径为2【分析】设该扇形的半径为R，根据弧长公式得到90R180=，然后解方程即可【解析】设该扇形的半径为R，根据题意得90R180=，解得R2故答案为214（2021包河区一模）如图，有一块半径为1米的扇形铁皮OCD，取弧CD的中点B，连接BD，若OCBD，则这块扇形铁皮的面积为3平方米【分析】连接OB，求出COBDOB，根据平行线的性质求出COD+ODB180°，COBOBD，根据等腰三角形的性质得出ODBOBD，求出COBDOBODB，求出COB60°，COD120°，再根据扇形面积公式求出答案即可【解析】连接OB，弧CD的中点是B，COBDOB，OCBD，COD+ODB180°，COBOBD，OBOD，ODBOBD，COBDOBODB，即3COB180°，解得：COB60°，COD60°+60°120°，扇形OCD的面积是120×12360=3（平方米），故答案为：315（2021潼南区一模）如图，在RtABC中，ACB90°，ABC30°，AC6，以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是933（结果保留）【分析】连接CD首先证明ADBD6，根据S阴=12SABCS扇形CDE，计算即可【解析】如图，连接CDACB90°，B30°，AC6，BAC60°，BC63，CACD，ACD是等边三角形ACD60°，ECD30°，AB2AC12，ACAD，ADBD6，S阴=12SABCS扇形CDE=12×12×6×633062360=933故答案为93316（2021大渡口区自主招生）如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧以C为圆心，6为半径作圆弧若图中阴影部分的面积分别为S1、S2，时，则S1S21336（结果保留）【分析】根据题意和图形，可以分别计算出S1+S3和S2+S3的值，然后用（S1+S3）（S2+S3）即可得到S1S2的值【解析】由图可知，S1+S3×42×14=4，S2+S36×6×62×14=369，（S1+S3）（S2+S3）4（369）即S1S21336，故答案为：133617（2021锡山区一模）如图，在O中，OA2，C45°，则图中阴影部分的面积为2【分析】由C45°根据圆周角定理得出AOB90°，根据S阴影S扇形AOBSAOB可得出结论【解析】C45°，AOB90°，S阴影S扇形AOBSAOB=90××2236012×2×2 2故答案为：218（2021盘锦）如图，A，B，C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 2（结果保留）【分析】根据三个扇形的半径都是2，由扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积【解析】三个扇形的半径都是2，而三个圆心角的和是180°，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为18022360=2故答案为：2三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021春瓯海区月考）如图，EAD是O内接四边形ABCD的一个外角，且EAD75°，DBDC（1）求BDC的度数（2）若O的半径为2，求BC的长【分析】（1）根据圆内接四边形性质求出C，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出BDC即可；（2）连接OB、OC，根据圆周角定理求出BOC，再根据弧长公式求出答案即可【解析】（1）四边形ABCD是O的内接四边形，DAB+C180°，EAD+DAB180°，CEAD，EAD75°，C75°，DBDC，DBCC75°，BDC180°CDBC30°；（2）连接OB、OC，BDC30°，BOC2BDC60°（圆周角定理），O的半径为2，BC的长是60×2180=2320（2020秋望江县期末）如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且ABCD于点E，连接AC，OC，BC（1）求证：ACOBCD；（2）若EB5cm，CD103cm，求圆O的直径；（3）求劣弧BC的长【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为AOC是等腰三角形，即可求证（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径；（3）求得圆心角的度数，利用弧长公式写出答案即可【解析】（1）CEED，CB=DBBCDBAC，OAOC，OACOCA，ACOBCD；（2）设O的半径为Rcm，则OEOBEB（R5）cm，CE=12CD=12×103=53cm，在RtCEO中，由勾股定理可得：OC2OE2+CE2，即R2（R5）2+（53）2，解得R10圆O的直径2R20cm；（3）在RtOEC中，OE1055=12OC，OCE30°，EOC60°，劣弧BC的长是60××10180=103cm21（2020秋东莞市期末）如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OCBD，交AD于点E，连接BC（1）求证：AEED；（2）若AB6，ABC30°，求图中阴影部分的面积【分析】（1）根据圆周角定理得到ADB90°，根据平行线的性质得到AEOADB90°，即OCAD，于是得到结论；（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到OCBABC30°，即可求得AOCOCB+ABC60°，根据垂径定理得出AC=CD，从而得出CODAOC60°，求得AOD120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【解析】（1）证明：AB是O的直径，ADB90°，OCBD，AEOADB90°，即OCAD，又OC为半径，AEED，（2）解：连接CD，OD，OCOB，OCBABC30°，AOCOCB+ABC60°，OCAD，AC=CD，CODAOC60°，AOD120°，AB6，BD3，AD33，OAOB，AEED，OE=12BD=32，S阴影S扇形AODSAOD=120×3236012×33×32=393422（2021贵阳）如图，在O中，AC为O的直径，AB为O的弦，点E是AC的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交O于点N，分别连接EB，CN（1）EM与BE的数量关系是 BE=2EM；（2）求证：EB=CN；（3）若AM=3，MB1，求阴影部分图形的面积【分析】（1）证得BME是等腰直角三角形即可得到结论；（2）根据垂径定理得到EMB90°，进而证得ABEBEN45°，得到AE=BN，根据题意得到EC=BN，进一步得到EB=CN；（3）先解直角三角形得到EAB30°，从而得到EOB60°，证得EOB是等边三角形，则OEBE=2，然后证得OEBOCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可【解析】（1）AC为O的直径，点E是AC的中点，ABE45°，ABEN，BME是等腰直角三角形，BE=2EM，故答案为BE=2EM；（2）连接EO，AC是O的直径，E是AC的中点，AOE90°，ABE=12AOE45°，ENAB，垂足为点M，EMB90°ABEBEN45°，AE=BN，点E是AC的中点，AE=EC，EC=BN，ECBC=BNBC，EB=CN；（3）连接AE，OB，ON，ENAB，垂足为点M，AMEEMB90°，BM1，由（2）得ABEBEN45°，EMBM1，又BE=2EM，BE=2，在RtAEM中，EM1，AM=3，tanEAB=13=33，EAB30°，EAB=12EOB，EOB60°，又OEOB，EOB是等边三角形，OEBE=2，又EB=CN，BECN，OEBOCN（SSS），CNBE=2又S扇形OCN=60(2)2360=13，SOCN=12CN32CN=12×2×32×2=32，S阴影S扇形OCNSOCN=133223（2021扬州）如图，四边形ABCD中，ADBC，BAD90°，CBCD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作B，交BD于点E（1）试判断CD与B的位置关系，并说明理由；（2）若AB23，BCD60°，求图中阴影部分的面积【分析】（1）过点B作BFCD，证明ABDFBD，得到BFBA，即可证明CD与圆B相切；（2）先证明BCD是等边三角形，根据三线合一得到ABD30°，求出AD，再利用SABDS扇形ABE求出阴影部分面积【解析】（1）过点B作BFCD，垂足为F，ADBC，ADBCBD，CBCD，CBDCDB，ADBCDB在ABD和FBD中，ADB=FDBBAD=BFDBD=BD，ABDFBD（AAS），BFBA，则点F在圆B上，CD与B相切；（2）BCD60°，CBCD，BCD是等边三角形，CBD60°BFCD，ABDDBFCBF30°，ABF60°，ABBF=23，ADDFAB·tan30°2，阴影部分的面积SABDS扇形ABE=12×23×230××(23)2360 =2324（2020秋余姚市期末）如图，已知，A，B是O上的点，P为O外一点，连接PA，PB，分别交O于点C，D，AC=BD（1）求证：PAPB；（2）若P60°，CD=3ACAOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接OA，OC，OD，OB，作OMAC于M，ONBD于N，设OP交O于E证明RtOMCRtOND（HL），推出OMON，再证明RtPOMRtPON（HL），可得结论（2）过点A作AJOC于J设OAOBR，则AJ=12R，首先证明AOC30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题【解析】（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，作OMAC于M，ONBD于N，设OP交O于EAC=BD，ACBD，OAOCOBOD，OMAC，ONBD，CMAM，BNDN，OMCOND90°，CMDN，在RtOMC和RtOND中，CM=DNOC=OD，RtOMCRtOND（HL），OMON，在RtPOM和RtPON中，OP=OPOM=ON，RtPOMRtPON（HL），PMPN，AMBN，PAPB（2）解：APB60°，PMOPNO90°，MON120°，POMPON，POMPON60°，CD=3AC，COE3COM，COM15°，AOC2COM30°，过点A作AJOC于J设OAOBR，则AJ=12RSAOC9，12R12R9，R6，S阴S扇形AOCSAOC=30××62360939