中考数学 专题09 存在性-直角三角形（解析版）.doc

中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第9节 直角三角形的存在性 方法点拨一、勾股定理及其逆定理（1） 若ABC为直角三角形，那么：。（2）若，那么：ABC为直角三角形。二、直线与斜率的关系在平面直角坐标系中，若两直线垂直，（）三、 相似（1） 三角形相似，对应边成比例；ADBBEC， 例题演练1在平面直角坐标系中，直线x2与x轴交于点C，与抛物线yx2+bx+c交于x轴上方一点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC2BC（）求抛物线的解析式；（）点P是直线AB上方抛物线上的一点过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE3PE；求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（）直线x2与x轴交于点C，C（2，0）B（1，0），BC3，AC2BC，AC6，直线x2与抛物线yx2+bx+c交于点A，A（2，6），把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得：，解得：，抛物线的解析式为yx23x+4；（）点P是直线AB上方抛物线上的一点，设点P的坐标为（a，a23a+4），设直线AB的解析式为ykx+b（k0），把点A、B的坐标代入，得：，解得：，直线AB的解析式为y2x+2PDx轴于点D，交AB于点E，点E的坐标为（a，2a+2），DE2a+2，PEa23a+4（2a+2）a2a+2，DE3PE，2a+23（a2a+2），解得：a11（舍去），a2，当x时，y3×（）+4，点P的坐标为（，）；点M在直线PD上，设点M的坐标为（，m），A（2，6），B（1，0），AB，AM，BM，ABM为以AB为直角边的直角三角形，当AB为斜边时，AB2+AM2BM2，即45+（6m）2+m2，解得：m，点M的坐标为（，）；当AM为斜边时，AB2+BM2AM2，即45+m2+（6m）2，解得：m，点M的坐标为（，）综上所述，符合题意的点M的坐标为（，）或（，）2如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线ykx+n（k0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC5（1）试求出点B的坐标（2）分别求出直线BC和抛物线的解析式（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）点C （0，3），即OC3BC5，在RtBOC中，根据勾股定理得OB，即点B坐标为（4，0）（2）把B（4，0）、C（0，3）分别代入ykx+n中，得，解得直线BC解析式为；把A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）分别代入yax2+bx+c得，解得抛物线的解析式是（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：抛物线的解析式是，抛物线对称轴为直线x设点P坐标为（）当PCB90°时，有BP2BC2+PC2，BC225即+25，解得：m故点P1（）；当PBC90°时，有PC2PB2+BC2，BC225即+25，解得：m2故点P2（）；当BPC90°时，有BC2BP2+PC2即25+解得：m1，m2P3（，），P4（，）综上所述，使得BCP为直角三角形的点P的坐标为 （）或（）或（，）或（，）3已知抛物线L经过点A（1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c，把A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入yax2+bx+c，得解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）设平移后的抛物线为K：yx2+mx+n，抛物线yx2+mx+n经过点B（3，0），9+3m+n0，n93m，yx2+mx+93m，P（0，93m）；当y0时，由x2+mx+93m0，得x，x13，x2m3如图1，当m30，即m3时，BPQ不能是直角三角形；如图2，当m30，即m3时，存在BPQ是直角三角形，且只有BPQ90°一种情况.POQBOP90°，QPO90°BPOPBO，POQBOP，OP2OQOB，（93m）23（3m），m1，m23（不符合题意，舍去），抛物线K：yx2+x+1，抛物线L：yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线K：yx2+x+1（x）2+，1，4，抛物线L向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度4抛物线C：yax2+bx+c（a0），过点A（1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，）（1）求抛物线C的表达式；（2）已知抛物线yax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，）的距离与到直线y的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线C：yax2+bx+c（a0），过点A（1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，），解得：，抛物线C的表达式为：yx2x；（2）如图1，作PH直线y于点H，作MH直线y于点H，抛物线yax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，）的距离与到直线y的距离相等，MQMH，MP+MQMP+MH，当P，M，H三点在同一条直线上，MP+MH最小，M与M重合时，MP+MQ最小，P（3，4），PH4（），MP+MQ的最小值为；当x3时，y×3232，M（3，2）；（3）yx2xy（x2）2；抛物线对称轴为x2，设点坐称为（2，m），A（1，0），P（3，4），D（2，m），AP4，AD29+m2，PD21+（m4）2，以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，分三种情况讨论：DAP90°或ADP90°或APD90°当DAP90°时，AP2+AD2PD2，（4）2+9+m21+（m4）2，解得：m3，D1（2，3）；当ADP90°时，PD2+AD2AP2，1+（m4）2+9+m2（4）2，解得：m12+，m22，D2（2，2+）；D3（2，2）；当APD90°时，PD2+AP2AD2，1+（m4）2+（4）29+m2，解得：m5，D4（2，5）；综上所述，点D的坐标为（2，3）或（2，2+）或（2，2）或（2，5）5如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；（3）试探究：是否存在点P，使PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx22x3； （2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为yx3，设点P的坐标为（t，t22t3），则点H（t，t3），则PBC的面积SPHC+SPHB×PH×OB×3×（t3t2+2t+3）（t）2+，当t时，PBC的面积最大值为，此时点P的坐标为（，）； （3）点P为直线BC下方抛物线上一动点，故PBC90°，当PCB为直角时，由直线BC的表达式知，直线BC和x轴负半轴的夹角为45°，当PCB为直角时，则直线PC与x轴的夹角为45°，故直线PC的表达式为yx3，联立得：x22x3x3，解得x0（舍去）或1，即t1，当BPC为直角时，如图2，过点P作y轴的垂线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，设点P的坐标为（t，t22t3），BPM+PBM90°，BPM+CPN90°，PBMCPN，tanPBMtanCPN，即，解得t（不合题意的值已舍去）；综上，t的值为1或6如图，已知抛物线yax2+bx+c顶点坐标为（1，），交y轴于点A（0，3），交直线l：x2于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D（1）求抛物线解析式；（2）如图，E为直线l上位于点B下方一动点，连DE、BD、AD，若SBDE4SABD，求E点坐标；（3）如图，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ直线DE于点Q，若APQ为直角三角形，请求出P点坐标【解答】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x+1）2+，将A（0，3）代入ya（x+1）2+，得a+3，解得a，抛物线的解析式为y（x+1）2+，即yx2x+3（2）当x2时，y×4+3+33，B（2，3）由C（0，2），设直线BC的解析式为ykx+2，则2k+23，解得k，yx+2，由，得，D（，）；ABx轴，且AB2，SABD×2×（3），SBDE4SABD4×；设E（2，m），BEy轴，SBDE×（+2）（3m），×（+2）（3m），解得m1，E（2，1）（3）设直线DE的解析式为ypx+q，则，解得，yx+1如图2，设DE交x轴于点F，交y轴于点H，直线x2交x轴于点M，则F（1，0），H（0，1），M（2，0），在BM上取点G（2，1），连接FG、AG、BH，OFOH1，FOH90°，OFHOHF45°，MFEMEF45°，EPQ45°，MFMG1，ABAHBG2，ABG、BAH、FMG、FOH、PEQ都是等腰直角三角形，HBEHEB45°，BHE90°；GFMHFO45°，GFH90°，PQGFBHAGBMGF45°，AGF90°，当PQ与GF重合时，则APQAGF90°，此时P（2，1）；当PQ与BH重合时，则PAQBAH90°，此时P（2，3）；如图3，PAQ90°，作QTPE于点T，QRBA交BA的延长线于点R，设P（2，n），则PBn3，PEn+1，ETPTQT（n+1），AR（n+1）2，QR（n+1）4，PBAARQ90°，BPA90°PABRAQ，ABPQRA，解得n9，P（2，9）综上所述，点P的坐标为（2，1）或（2，3）或（2，9）7如图，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求点A，点B的坐标（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长（3）是否存在t的值，使AGF是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在直线yx+2中，令y0，得：x+20，解得：x2，令x0，得：y2，A（2，0），B（0，2）；（2）由（1）可知OA2，OB2，tanABO，ABO30°，运动时间为t秒，BEt，EFx轴，在RtBEF中，EFBEtanABOBEt，BF2EF2t，在RtABO中，OA2，OB2，AB4，AFABBF42t；（3）存在EGx轴，GFABAO60°，G点不能在抛物线的对称轴上，FGA90°，当AGF为直角三角形时，则有FAG90°，又FGA30°，FG2AF，EFt，EG4，FG4t，且AF42t，4t2（42t），解得：t，即当t的值为秒时，AGF为直角三角形，此时OEOBBE2t2×，E点坐标为（0，），抛物线的顶点为A，可设抛物线解析式为ya（x2）2，把E点坐标代入可得：4a，解得：a，抛物线解析式为y（x2）2，即yx2x+8已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点D（1）如图1，若点P为直线BC下方抛物线上任意一点，直线AD上有一动点E，当BCP面积最大时，求PEAE的最小值；（2）如图2，将BOC绕点O顺时针旋转得到B'OC'，点B，C的对应点分别是B'，C'，且C'恰好落在BCO的平分线上（C'与C不重合），点M是抛物线对称轴上的一个动点，则B'OM能否为直角三角形？若能，请直接写出点M的坐标，若不能，请说明理由【解答】解：（1）对于，令0，解得x1或3，令x0，则y，故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，），过点P作PHy轴交x轴于点H，交AD于点E，则点E为所求点，理由：由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为yx，则tanOBC，OBC30°，OCB60°，由ADBC知，DABOBC30°，EHAE，则PEAEPEENPNyP为最小，由BCP面积SPHB+SPHCPH×OB，故BCP面积最大，即PH的长度最大即可设点P的坐标为（x，x2+x），则点H的坐标为（x，x），则PH（x）（x2+x）（x2+3x），0，故PH有最大值，当x时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（，），PEAE的最小值为yP； （2）连接CC，C'恰好落在BCO的平分线上，OCB60°，OCOC，则OCCOCC30°，则COC120°，即BCO顺时针旋了120°，则BOB120°，BOA60°，过点B分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，则OMOBcos60°OBcos60°，MB，故点B的坐标为（，），由抛物线的表达式知，其对称轴为x1，故设点M的坐标为（1，m），由点O、M、B的坐标知，BM2（+1）2+（m）2，同理可得：OM2m2+1，OB29，当BM是斜边时，则m2+1+9（+1）2+（m）2，解得m；当OM是斜边时，则m2+19+（+1）2+（m）2，解得m；当OB是斜边时，则（+1）2+（m）2+m2+19，方程无解，故点M的坐标为（1，）或（1，）9如图，已知抛物线与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点D，点E在y轴上，且OEOBP是该抛物线上的动点，连接PA、PE，PD与AE交于点F（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设点P的横坐标为t（3t0）求PAE的面积的最大值；在对称轴l上找一点M，使四边形PAME是平行四边形，求点M的坐标；抛物线上存在点P，使得PEF是以EF为直角边的直角三角形，求点P的坐标，并判断此时PAE的形状【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，设所求抛物线的函数表达式为ya（x+3）（x1），把点C（0，3）代入，得：3a（x+3）（x1），解得：a1，该抛物线的函数表达式为y（x+3）（x1），即：yx22x+3；（2）【解法一】如图1，过点P作PHx轴于点H，交AE于点I，OEOB，E（0，1），设直线AE的函数表达式为ykx+b，将A（3，0），E（0，1）分别代入，得：，解得：，直线AE的表达式为，由题意，点P的坐标为（t，t22t+3），则点I的坐标为，且3t0，当时，PAE的面积最大值为【解法二】如图1，连接PO，由题意，点P的坐标为（t，t22t+3），SPAESPAO+SPEOSAOEAO|yP|+EO|xP|AOEO（t22t+3）+（t）t2t+3（t+）2+，a0，且3t0，当时，PAE的面积最大值为点M在抛物线yx22x+3的对称轴x1上，设点M的坐标为（1，m），由题意，点P的坐标为（t，t22t+3），四边形PAME是平行四边形，AE、PM为对角线，xP+xMxA+xE，即t13+0，解得：t2，点P的坐标为（2，3），yP+yMyA+yE，得3+m0+1，m2点M的坐标为（1，2）PEF是以EF为直角边的直角三角形分两种情况：（）若PEF90°，如图2，过点P作PGy轴于点G，PGEAOE90°，PEG+AEO90°，AEO+EAO90°，PEGEAO，EPGAEO，即，整理得t2t20，解得t11，t22（舍去），点P的坐标为（1，4），PGOE1，1，PEAE，PAE是等腰直角三角形（）若PFE90°，如图3，过点P作PHx轴于点H，PHDAOE90°，DPH+PDH90°，AFDPFE90°，PDH+EAO90°，DPHEAO，PHDAOE，即，整理得t2t60，解得t12，t23（舍去），点P的坐标为（2，3），H（2，0），PH3，AHOAOH321，PHOA，AHOE，PHAAOE90°，PHAAOE（SAS），PAE是等腰三角形综上所述，P的坐标为（1，4），PAE是等腰直角三角形；或P的坐标为（2，3），PAE是等腰三角形10如图，抛物线yax2+bx4（a0）经过点A（1，0），B（3，0）和点C（1）求抛物线的解析式；（2）作直线BC，点G是线段BC上一个动点，过点G作y轴的平行线交x轴于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点D，若设BEG的周长为C1，GDF的周长为C2，CC1+C2，点G的横坐标为m（0m3），请用含m的代数式表示C，并计算当m取何值时，C取得最大值；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，若以点P，C，B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标【解答】解：（1）将点A（1，0），B（3，0）分别代入抛物线的关系式中得，解得，抛物线的关系式为； （2）由题意得，点C（0，4），则BC5，OBC的周长为3+4+512，由点B、C的坐标得，直线BC的关系式为GEy轴，BEGBOC，FDBC，DGFOCB，FDGBOC，点G的横坐标为m（0m3），C1124m，即当时，C取得最大值； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x1，当BPC为直角时，过点P作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交y轴于点N，设点P的坐标为（1，m），则MBm，PM312，NP1，CNm+4，MPB+NPC90°，NPC+PCN90°，MPBPCN，tanMPBtanPCN，则，解得m2±，故点P的坐标为或；BCP为直角时，直线BC的表达式为yx4，PCBC，故设直线PC的表达式为yx+t，将点C的坐标代入上式并解得y4，故直线PC的表达式为yx4，当x1时，yx4，故点P的坐标为（1，）；当CBP为直角时，同理可得，直线PB的表达式为y（x3），当x1时，y（x3），则点P的坐标为（1，）；综上，点P的坐标为，或11已知抛物线yax2+2x+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与直线yx+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；（3）点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当FA'C是直角三角形时，直接写出点F的坐标【解答】解：（1）直线yx+3过点B和点C，B（3，0）、C（0，3），OBOC3，把A（1，0）、B（3，0）代入yax2+2x+c，得，解得，yx2+2x+3；yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的解析式为yx2+2x+3，顶点M的坐标为（1，4）（2）对于直线yx+3，当x1时，y2，N（1，2）设P（m，m2+2m+3）若MN是平行四边形的一边，如图1，则PQMN且MNPQ2，Q（m，m+3），m2+2m+3（m+3）2，解得：m12，m21（不符合题意，舍去），Q（2，1）若MN是平行四边形的对角线，如图2，线段MN的中点为坐标为（1，3），且点Q与点P关于点（1，3）成中心对称，Q（2m，m22m+3），点Q在直线yx+3上，m22m+3（2m）+3，解得m10，m22（不符合题意，舍去），Q（0，3）综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（0，3）（3）如图3，A'FC90°，作FGx轴于点G，则FGA'G，设F（m，m+3），则m+3m1，解得m2，F（2，1）；如图4，CA'F90°，作FGx轴于点G，则FA'G90°OACA'CO，tanA'CO，FGA'G，m+3（m1），解得m，F（，）综上所述，点F的坐标为（2，1）或（，）故答案为：（2，1），（，）